2026年高考数学二轮复习专题12 数列递推归类（题型）（天津）（原卷版）

专题12数列递推归类目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译目录第一部分题型破译微观解剖，精细教学典例引领方法透视变式演练【选填题破译】题型01叠加法题型02叠乘法题型03待定系数法题型04同除以指数题型05取倒数法题型06已知通项公式与前项的和关系求通项问题第二部分综合巩固整合应用，模拟实战题型01叠加法【例1-1】（2026·天津武清·月考）求下列数列的通项公式(1)已知数列满足，求；(2)正项数列满足，求．【例1-2】（2026·天津红桥·月考）数列中，，，则．数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和【变式1-1】（2026·天津滨海新·月考）已知数列满足，则的最小值为.【变式1-2】（2025·天津南开·调研）已知数列满足，，则数列的通项公式.【变式1-3】（2025·天津·调研）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则.题型02叠乘法【例2-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足，，且是公比为的等比数列，，则（

）A． B．C． D．【例2-2】（2025·天津·月考）在数列中，，.则（

）A．4 B．2 C． D．数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式【变式2-1】（2025·天津滨海新·月考）已知数列的项满足，而，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2025·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是【变式2-3】（2026·天津和平·调研）已知数列满足，数列的首项为2，且满足(1)求和的通项公式(2)设，求数列的前n项和题型03待定系数法【例3-1】（2025·天津·调研）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为.【例3-2】（2025·天津西青·联考）已知数列，下列结论不正确的是（）A．若为等比数列，则数列是等差数列B．若，，则C．若，，则D．若为等差数列，则数列是等比数列形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．【变式3-1】（2025·天津·调研）某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（

）（参考数据：，，，）A．1240 B．1260 C．1280 D．1290【变式3-2】（2025·天津和平·调研）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93【变式3-3】（2025·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（

）①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型04同除以指数【例4-1】（2026·天津河北·月考）已知数列中,,（）则.【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知数列中，，且，则（

）A． B． C． D．形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）设数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2025·天津·一模）已知正项数列中，，则数列的通项（）A． B．C． D．题型05取倒数法【例5-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足：，.(1)数列是否为等差数列？请说明理由；(2)求；(3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由.【例5-2】（2026·天津南开·开学考试）数列中，，求.对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．【变式5-1】（2025·天津·一模）已知数列满足：，.若，(1)求证：为等差数列.(2)求数列的通项公式【变式5-2】（2025·天津红桥·调研）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）已知数列满足递推关系，则（

）A． B． C． D．题型06已知通项公式与前项的和关系求通项问题【例6-1】（2026·天津蓟州·月考）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)集合共有4个元素，求实数范围.【例6-2】（2026·天津滨海新·月考）若数列的前项和是，则数列的通项公式是.对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．【变式6-1】（2026·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（

）A． B． C． D．【变式6-2】（2026·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式6-3】（2026·天津河北·月考）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式（2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式.1．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)设，为的前n项和，求.2．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则.3．（2025·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)若，求数列的前项和．4．（2025·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为．5．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．（ⅰ）求数列的通项公式及；（ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．6．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第项．7．（2025·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．8．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项.(1)求和的通项公式：(2)若，求数列的前项和；(3)设，求数列的前项和.9．（2025·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．10．（2025·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；