2026年高考数学二轮复习专题14 二项式定理中的系数等问题4大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点14：二项式定理中的系数等问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津卷二项式定理系数问题以5分填空题（10-11题）为主，考指定项系数/常数项，核心是通项公式+组合数运算，难度基础-易。预测2026年：命题形式：5分填空（10-11题）；载体为二项式/多项式相乘，穿插含参（如(ax+b)n求a值）。基础型：指定项系数/常数项（保分），通项+定r+算系数。中档型：多项式相乘（如(x+1)(2x-1)5求x3系数），分拆通项再合并同类项。新情景：含参求系数（如系数为120求n/a）、系数和（赋值法）、有理项个数，强化多解与边界验证。考向1：二项展开式的特定项求二项展开式的特定项的常用方法1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．1．（2025·天津滨海新·三模）在二项式的展开式中常数项为．2．（2025·天津河东·一模）在的二项展开式中，常数项是．（用数字作答）3．（2025·天津·一模）以下说法不正确的是（

）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．的展开式中常数项为15D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立4．（2025·天津河西·模拟预测）二项式的展开式的常数项是．5．（2025·天津·一模）的展开式中的常数项为．考向2：二项式系数与系数最值1、二项式系数先增后减中间项最大（1）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；（2）如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．1．（2025·天津河西·二模）在的展开式中，偶数项的二项式系数和为128，则常数项为.2．（2025·天津南开·一模）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为．3．（2025·天津·模拟预测）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于．4．（2025·天津北辰·三模）若展开式的二项式系数和为128，则展开式中的系数为.5．（2025·天津滨海新·三模）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为.考向3：系数和问题系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．③求值，根据题意，得出指定项的系数和．1．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为.2．已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为．3．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为．4．（2025·天津·一模）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．5．（2025·天津·模拟预测）已知展开式中的常数项是，则实数的值为考向4：杨辉三角形及应用1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.1．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为．2．如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则．3．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则.5．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为．（建议用时：60分钟）1．（2025·天津南开·模拟预测）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）2．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为．3．（2025·天津红桥·模拟预测）在的二项展开式中，x的系数为．4．（2025·天津河西·模拟预测）的展开式中的系数为.5．（2025·天津·一模）在的展开式中，的系数为．6．（2025·天津·二模）在的展开式中，常数项为.7．（2025·天津和平·三模）若二项式的展开式中，的系数为，则．8．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为．9．（2025·天津·二模）在的展开式中，的系数为.（用数字作答）10．（2025·天津·一模）数列是公差不为0的等差数列，．已知为等比数列，且，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列中的项落在区间中的项数为．（i）求数列的前项和；（ii）设数列满足，若存在正整数满足当时，，且，求．11．（2025·天津河东·二模）在的二项展开式中，含的项的系数是.（用数字作答）12．（2025·天津和平·二模）在的展开式中，常数项为.（用数字作答）13．（202