第15课时二次函数的应用

第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用1.

根据点的坐标，求距离、长度等有些物体的运动路线、有些图形是抛物线，经常会涉及求距离、长度

等问题，一般可以把它转化成求点的坐标进行求解.2.

根据数量关系列函数表达式并求最大（小）值或设计方案在生产和生活中，经常会涉及求最大利润、最省费用等问题，这类问

题一般是先列出函数表达式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数表

达式和自变量的取值范围求出函数的最大（小）值.类型之一利用二次函数解决抛物线型实际问题1.

三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同.当水

面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下

降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度

为20米，则单个小孔的水面宽度为（

B

）A.

4

 米B.

5

 米C.

2

 米D.

7米B【解析】如答图，建立平面直角坐标系.设大孔对应的函数关系式为y＝

ax2＋c，其图象过点B（5，c－1.5），F（7，0），答图【解析】如答图，建立平面直角坐标系.设大孔对应的函数关系式为y＝

ax2＋c，其图象过点B（5，c－1.5），F（7，0），答图

＝－0.06x2＋2.94，c－1.5＝1.44.当x＝10时，y＝－0.06×102＋2.94＝

－3.06，∴H（10，－3.06）.设右边小孔顶点坐标为D（t，1.44），则

右边小孔对应的函数关系式为y＝m（x－t）2＋1.44，过点G（t＋2，

0），则0＝m（t＋2－t）2＋1.44，解得m＝－0.36，∴右边小孔对应的

函数关系式为y＝－0.36（x－t）2＋1.44，当y＝－3.06时，－3.06＝－

类型之二利用二次函数解决最大利润问题2.

［2023•南充］某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每

日产销x件.已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6），售价8

元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价

12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，

y（单位：元）与每日产销x（单位：件）满足关系式y＝80＋0.01x2.（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1，w2（单位：元），请分别

写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围.解：（1）由题意，得w1＝（8－m）x－30（0＜x≤500），w2＝（20－12）x－（80＋0.01x2）＝－0.01x2＋8x－80（0＜x≤300）.解：（1）由题意，得w1＝（8－m）x－30（0＜x≤500），w2＝（20－12）x－（80＋0.01x2）＝－0.01x2＋8x－80（0＜x≤300）.（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润.（A产品的最大日利润用

含m的代数式表示）解：（2）∵4≤m≤6，∴8－m＞0，∴w1随x增大而增大，∴当x＝500时，w1最大，最大为（8－m）×500－30＝（－500m＋

3 970）元；w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01（x－400）2＋1 520，

∵－0.01＜0，∴当x＜400时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大，最大为－0.01×（300－400）2＋1 520＝

1 420元.解：（2）∵4≤m≤6，∴8－m＞0，∴w1随x增大而增大，∴当x＝500时，w1最大，最大为（8－m）×500－30＝（－500m＋

3 970）元；w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01（x－400）2＋1 520，

∵－0.01＜0，∴当x＜400时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大，最大为－0.01×（300－400）2＋1 520＝

1 420元.（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.

［利润＝（售价－成本）×产销数量－专利费］解：（3）当－500m＋3 970＞1 420，即4≤m＜5.1时，该工厂应该选择产

销A产品能获得最大日利润；当－500m＋3 970＝1 420，即m＝5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都

能获得最大日利润；当－500m＋3 970＜1 420，即5.1＜m≤6时，该工厂应该选择产销B产品

能获得最大日利润.综上所述，当4≤m＜5.1时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利

润；当m＝5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；

当5.1＜m≤6时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润.解：（3）当－500m＋3 970＞1 420，即4≤m＜5.1时，该工厂应该选择产

销A产品能获得最大日利润；当－500m＋3 970＝1 420，即m＝5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都

能获得最大日利润；当－500m＋3 970＜1 420，即5.1＜m≤6时，该工厂应该选择产销B产品

能获得最大日利润.综上所述，当4≤m＜5.1时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利

润；当m＝5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；

当5.1＜m≤6时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润.类型之三利用二次函数解决最大面积问题3.

［2025•内江模拟］在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示

的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD

（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m.（1）求花园的面积S与x的函数关系式.解：（1）∵AB＝x m，∴BC＝（28－x） m，则S＝AB•BC＝x（28－x）＝－x2＋28x，即S＝－x2＋28x（0＜x＜28）.解：（1）∵AB＝x m，∴BC＝（28－x） m，则S＝AB•BC＝x（28－x）＝－x2＋28x，即S＝－x2＋28x（0＜x＜28）.（2）在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树

围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.①若花园的面积为192 m2，求x的值；解：（2）①∵AB＝x m，则BC＝（28－x） m，∴x（28－x）＝192，解得x1＝12，x2＝16（不合题意，舍去）.答：x的值为12.解：（2）①∵AB＝x m，则BC＝（28－x） m，∴x（28－x）＝192，解得x1＝12，x2＝16（不合题意，舍去）.答：x的值为12.

②∵AB＝x m，∴BC＝（28－x） m，∴S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196.∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，

∴当x＝13时，S取到最大值为S＝－（13－14）2＋196＝195.答：花园面积S的最大值为195 m2.一、选择题1.

［2025•成都模拟］鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如

图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛

物线.若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），画

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列表如下：x…1234…y…010－3…关于此函数下列说法不正确的是（

D

）DA.

函数图象开口向下B.

当x＝2时，该函数有最大值C.

当x＝0时，y＝－3D.

若在函数图象上有两点A（x1，－4），B

，则x1＞x2

图1

图2A.

10 mB.

12 mC.

24 mD.

48 mC3.

［2024•天津］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）

与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2

（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中正确结论的个数是（

C

）A.

0B.

1C.

2D.

3C

A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个A

A.

4.75 mB.

4.5 mC.

5 mD.

5.5 mC二、填空题6.

［2024•自贡］九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空

地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空

缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝

3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的

矩形菜地，则该菜地最大面积是

m2.46.47.

［2024•成都模拟］如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安

装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽AB＝16米，抛

物线顶点C到AB的距离为12米.根据计划，安装矩形显示屏MNPQ的高

MQ为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离

左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏MNPQ的宽QP的

最大长度为

米.6三、解答题8.

［2024•南充］2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售

A，B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件

A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元.（1）A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？解：（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132－

x）元，根据题意，得3x＋5（132－x）＝540，∴x＝60，∴每件B类特产的售价为132－60＝72（元）.答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件.解：（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132－

x）元，根据题意，得3x＋5（132－x）＝540，∴x＝60，∴每件B类特产的售价为132－60＝72（元）.答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件.（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若

每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产

降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x

的取值范围.解：（2）∵每件A类特产降价x元，且每降价1元，每天可多售出10件，∴y＝60＋10x＝10x＋60（0≤x≤10）.解：（2）∵每件A类特产降价x元，且每降价1元，每天可多售出10件，∴y＝60＋10x＝10x＋60（0≤x≤10）.（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能

按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数

关系式，并求出当每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润

是多少元？（利润＝售价－进价）解：（3）∵w＝（60－50－x）（10x＋60）＋100×（72－60）＝－10x2＋40x＋1 800＝－10（x－2）2＋1 840.∵－10＜0，∴当x＝2时，w有最大值1 840.答：每件A类特产降价2元时，总利润w最大，最大利润为1 840元.解：（3）∵w＝（60－50－x）（10x＋60）＋100×（72－60）＝－10x2＋40x＋1 800＝－10（x－2）2＋1 840.∵