第24章 解直角三角形期末复习（知识清单）学生版-华东师大版（2024）九年级上册

甯■条件明选播切式可行的M・方法

知识点一测量

◎合理的选择测量方法

测量就是我们用所学过的知识解决生活和工作中的实际问题。在选择方法时，一定要先异清实际问题

的条件，再选择切实、可行的测量方法，在测量问题中，一般包括测量角度和长度。.

◎掌握测量的各种原理以及测量的一般步骤，

在测量的过程中，有些数据是可以直接测量得到的，如跳高的高度，跳远的距离都可以亘接用刻度尺

直接测量出结果，但也有些长度无法直接量出。.

方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形。利用对应线段成比例的性质计算巴所求线段的

长。.

方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的

长度，再利用相似比计算出实际长度。.

方法三：条件允许的话，还可以构造一个和原三角形全等的三角形来测量后可直接得出。，

◎测量时应注意的问题

☆在测量时要注意测量的方法必须是切实可行的，尽量操作简单.

☆要考虑环境、气候、人的视力等多方面的因素

☆注意单位要统一。.

☆在具体测量时，要注意选择测量方法。测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减小误差。.

知识点二直角三角形的性质

☆直角三角膨两个锐角互余.

☆直角三角形斜边上的中线等上斜边的一半.

☆在直角三角形中，30°直所对的直用边等于斜边的一半.

◎勾股（弦）定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即

勾股定理在西方文献中乂称为毕达哥拉斯定理.

知识点三锐角三角函数

◎锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做/A的锐角:.角函数.（其中：0VNA<90°）

X定义表达式图形

.▲ZA的对边a

正弦sinA=-

斜边cA

1

逢NA的邻边

余弦cosA=————DOSA="

斜边c

j

一③的对边c\

NAa

正切tanA=---------------tanA=-

ZA的邻边B

◎锐角三角函数的关系

在RtZ\ABC中，若NC为直角，则NA与NB互余时，有以下两种关系：

☆同角三角函数的关系：siMA+cosXf.〃大A二吗

COX/1

☆五余两角的三角函数关系：sinA—cosB.sinB=cosA.tan力•tanB=1

◎锐角三角函数的性质

sinA随NA的增大而增大

性质前提：0°V/AV90°cosA随NA的增大而减小

tanA随NA的增大而姆大

知识点四三角函数值的计算

◎特殊角的三角函数值

三角函数一30°45°60°

1V3

sina漫

2TT

V21

cosa

—T2

V3

tana1V3

T

记忆口诀：一二三:，三二一，三九二十七

◎用计算器进行有关三角函数值的计算

一般是：先按“②巫一国”（或“国”“画”），再按数字键输入三角函数值，最后按“目”

键便显示结果.

知识点五解直角三角形

◎解直角三角形的概念

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,

求出其余未知元素的过程，叫做解宜角三角形.

◎解直角三角形的依据

设在RtZXABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,则有:

☆边之间的关系：。2+炉=。2（勾股定理）

☆锐角之间的关系：ZA+ZE=90°.

☆边角之间的关系：

sin/I=cos/I=tanA=-,sinB=-,cosB=-,tanB=-.

ccbcca

☆S^\BC=-ab=-ch,h为斜边上的高.

◎解直角三角形的四种基本类型

①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④己知一直角边和一锐角.

其解法步骤列表如下：

已知类型已知条件解法步骤图示

(1)b=Vc2—a2；

斜边C、一直角边(2)由sinA=［求

（如a）NA;

(3)ZB=900-ZA

两边

(1)c.=_|_h2;

(2)由tanA=3,求

两直角边（a,b）

△A；《△ABC中，ZC=90°,4A,ZB,NC的对

(3)zB=90。-NA边分别为a,b,c,如图所示：

(1)匕B=90°-zA；/3

(2)由sinA=t得2=

斜边c、一锐角（如

c-sinA；a

乙A）

(3)由COSA=R,得6=

cAbC

一边c-cosA

一角(1)zB=90°-ZA；

(2)由tanA=：,得5=

一直角边、一锐角a.

（如a、NA）tanA'

(3)由sinA=［得c=

a

sinA

知识点六解直角三角形的实际应用

◎利用解直角三角形解决实际问题的步骤

☆将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题;

☆根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；

☆得到数学问题的答案；

☆得到实际问题的答案.

◎仰角与俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.如图.

1’视线

铅

角

线

水平

垂

角

线

线

视

◎坡角与坡度

坡面的垂直高度〃和水平宽度/的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为/•=&,坡面与水平面的夹

角记作叫做坡角，则1=±=1&»1。.坡度越大，坡面就越陡.如图.

----/---------------------

◎方向角（或方位角）

方向角一般是指以观测者的位.汽为中心,将向北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的

角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）多少度.如图.

易错辨析

易错点一：混淆三角函数定义与使用条件

在解直角三角形时,学生容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义，或在不满足直角三角形条

件的情况下错误使用这些函数。必须牢记三角函数仅适用于直角三角形，且需要明确角的对

边、邻边和斜边关系。

例题、已知在AABC中,NB=90。，AB=5,BC=12,求sinA、cosA和tanA的值。

5I?5

常见错误：错误地将NA的对边当作AB,邻边当作BC,得出sinA=—,cosA=—,tanA=

1313透

正确解法：首先确定直角三角形的边角关系：

・斜边AC=yjAB2+BC2=752+122=13

-/A的对边是BC=12

-/A的邻边是AB=5

因此：

I?

sinA=对边/斜边=—

13

cosA=邻边/斜边=—

13

12

tanA=对边/邻边=-y

易错点二：特殊角三角函数值记忆混淆

对于30。、45。、60。等特殊角的三角函数值,学生容易记忆混淆或忘记推导方法,导致计算

错误。需要理解这些特殊值的几何来源，而非简单死记硬背。

例题、计算2sin30°+3cos60°-tan45°的值。

常见错误：错误记忆三角函数值，如认为sin30。=更,cos60。=-,tan45。=石等。

22

正确解法：准确记忆特殊角三角函数值：

-sin30°=Lcos60°=tan45°=1

22

因此：

2x1+3x1-1=1+1.5-1=1.5

22

易错点三：实际问题中角度理解错误

在解决实际问题时,学生容易混淆仰角、俯角、方位角等概念，或错误地将实际问题转化为

数学模型。

例题、从一栋楼的底部测得顶部仰角为30。，向前走20米后测得仰角为45。，求楼高。

常见错误：错误地认为两个测量点与楼底构成直角三角形，直接使用tan函数求解。

正确解法：设楼高为h,第一次测量点距楼底为x,则：

tan300=-

x

h

tan45°=--------

x-20

解得：h=।R90_20=/^。27.32米

J!V3-1

tan30°tan45°

易错点四：忽略解的合理性检验

在解直角三角形时，学生容易忽略三角函数值的范围限制，或求出不符合实际情况的解。

例题、已知sina=1.2,求a的度数。

常见错误：直接使用计真器求arcsin1.2,得出错i吴结果。

正确解法：正弦函数的值域为[-L1],sina=1.2超出了这个范围，因此无解。需要指出题目条件错误。

易错点五：锐角三角函数值与角度对应关系错误

在解直角三角形时，学生容易混淆不同锐角对应的三角函数值，特别是当题目中涉及两个锐

角时，错误地将一个角的三角函数值用于另一个角。

例题、在RbABC中，zC=90°fAC=4,BC=3，求sinA和cosB的值。

33

常见错误：错误地认为sinA='，cosB=,，得出sinA=cosB的结论，但没有理解其本质原因。

正确解法：首先计算斜边AB=VAC2+BC2=>/42+32=5

-sinA=对边/斜边=—=-

AB5

-cosB=邻边/斜边=—=-

AB5

正确结论：在直角三角形中，/A+NB=90°,因此sinA=cosB,这是正确的，但必须理解这是因为NA

的对边(BC)恰好是NB的邻边。

易错点六：解应用题时忽略实际意义和单位

在解决实际应用问题时，学生容易只关注数值计算而忽略答案的实际意义，或者忘记单位换

算，导致最终答案不符合实际情况。

例题、一架梯子靠在墙上，梯子与地面的夹角为75。，梯子长度为5米，求梯子顶端距离地

面的高度。(结果精确到0.1米)

常见错误：直接计算5xsin75'4.83,然后回答高度为4.83米，忽略了题目要求的精确度，也没有考

虑实际情境中梯子的安全性。

正确解法：高度h=5xsin75°«5x0.9659«4.8295米

根据题目要求精确到0」米，得h«4.8米

同时应该指出，在实际应用中，梯子与地面的夹角75。偏大，可能不够稳定，建议调整到更安全的65。・

70。范围内。

总结反思

通过对以上易错点的分析，可以看解直角三角形的常见错误主要集中在概念理解和实际应用

上。为避免这些错误：

(1)牢记三角函数仅适用于直角三角形；

(2)准确记忆特殊角的三角函数值，理解其几何意义；

(3)正确理解实际问题中的角度概念，准确建立数学模型；

(4)注意三角函数的值域范围，检验解的合理性；

(5)明确不同锐角的三角函数对应关系；

(6)解决实际问题时注意答案的实际意义和单位要求。

重难突破

重难点L锐角三角函数定义与计算

涉及知识点：

◎正弦(sin)、余弦(cos)、正切:tan)的定义

◎特殊角的三角函数值(30。、45。、60°)

◎三角函数值的取值范围

◎同角三角函数关系：sin2a+cos2a=1,tana=sinacosa

解题技巧：

◎先将方程熟记特殊角的三凭函数值

。利用直角三角形边角关系计算三角函数值

◎应用同角三角函数关系进行转换

例题精选

例题1:如图，在中，LABC=90°,过点5作8D_L4C,垂足为点。,则下列结论不正嶙的是

D.sin/1=cosC

例题2：在Rt△力8c中，Z.A=30°,tanA=则48=

例题3:阅读、理解、应用

我们学习过锐角的正弦余弦和正切二种二角函数，即在图1所示的直角二角形AAC,乙A是锐角，sinA=

4A的对边

,854二空升.12114=霁4.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数

斜边

的意义：

设有一个角a(0°WaW360。)，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴。右建立直角坐

标系(图2),在角a的终边0Q上任取一点R它的横坐标是国纵坐标是F终边0Q可以看作是将射线

。工绕点。逆时针旋转a。后所得到的，P和原点。（0,0）的距离为r=（，总是正的）然后把角a的

三角函数规定为：sina=3cosa=tana=（其中x,》分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1

的三个比值的大小与角4的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角

a的大小有关，三个比值的正、负取决于角a的终边所在的象限，而与点夕在角a的终边位置无关.请根

据第二种定义回答下列问题.

（1）若a=90°,贝Ijsina=.

⑵已知乙。是钝角，则下列说法正确的是—（填写序号）.

①0<sina<1；②sin2a+cos2a=1；③sina+cosa=1；&ina•tana=cosa.

⑶证明：若角a是锐角，则sin（18（T-a）=sina；

⑷若270。VaV360°,若角a的终边在直线y=-V3x±,试求匕吟的值.

重难点2：解直角三角形基本方法

涉及知识点：

。两角对应相等直角三角形边角关系

◎勾股定理：a2+b2=c2

◎三角函数关系：sinA=a+c,cosA=b+c,tanA=a+b

。直角三角形内角和为180。

解题技巧：

◎根据已知条已知两边求第三边（勾股定理）

◎已知一边一角求其他边和角

◎合理选择三角函数关系式

◎注意单位的统一

例题精选

例题1：如图，在△48C中，AB=AC,tanB=3,8C=20TO,则△ABC的面积为

例题2：在中，ZC=90°,乙A/8/C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件求出直角三角形的

其他元素.

(1)已知。=6/=2百.

⑵已知Q=24,C=24&.

例题3:如图，在中，ZC4B=9(T,8SC=1,4C=8,8。平分NCB力交4c边于点D.

Q)BC=AB=

⑵过点。作OK，AC于点号补全图形，并求sin28D的值.

重难点3：仰角与俯角问题

涉及知识点：

◎仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角

◎俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角

◎高度测量问题

◎距离测量问题

解题技巧：

◎准确画出图形，标出已知量和未知最

◎利用三角函数建立方程

◎注意仰角和俯角的区别

◎实际问题中注意单位的换算

例题精选

例题1：如图，老王在江边垂钓，河堤48的坡度为1:24,48长为3.9米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼

睛到站立处的距离力K为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端。处，仰角4CEr为37。钓竿两端点的直线距离反?为4

米，钓线与江面的夹角乙。08=52。，则浮漂。与河堤下端8之间的距离约为（）米.（参考数据：

sin37°«tan37°«sin52°«0.79,tan52°«1.28,结果精确到0.1米）

54

A.4.6B.3.4C.2.3D.3.6

例题2：在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上

放飞一架无人机，如图，无人机在河上方距水面高60m的点P处测得瞭望台正对岸力处的俯角为50。，测得

瞭望台顶端。处的俯角为63.6。.已知瞭望台8c高12m（图中点48,C,P在同一平面内），则此河段的宽力8

约为m（结果保留整数，参考数据：sin63.6。右卷tan50。、*tan63.6°«2）.

例题3：如图，大楼上悬拄一条幅4氏小颖在坡面。处测得条幅顶部4的仰角为30。，沿坡面向下走到

坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部8的仰角为45。，此时小颖距大楼底端N

处20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:百（即tan乙DEM=1:遮），且0、M、E、C、N、B、4在

同一平面内，E、C、N在同一条直线上.

⑴求。点距水平面EN的高度？（保留根号）

⑵求条幅48的长度？（结果精确到1米）（参考数据：V3a1.73,、回=1.41）

重难点4：方位角问题

涉及知识点：

◎方位角的定义：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的角度

◎方位角的取值范围：0°〜360。

◎方位角与直角三角形的转换

◎方位角在实际问题中的应用

解题技巧：

◎准确理解方位角的定义

◎将方位角问题转化为直角三角形问题

◎注意方位角与内角的关系

◎建立坐标系解决复杂方位角问题

例题精选

例题L如图，一艘渔船以32nEle"的速度向正北方向航行，在4处看到灯塔S在渔船的北偏东30。方

向，半小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东60。方向.若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西

方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离CS为（）

北

A.16nmileB.18nmileC.8nmileD.8>j3ninile

例题2：如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔45海里的力处，它沿北偏东30。方向航行

一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67。方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为―海里.（参考数

据：sin37°x-cos37°«tan37°々-）

5t54

例题3:如图，A,8,C,。在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定

在游客中心。汇合，已知景点4位于景点8的正北方向，游客中心C位于景点8的正东方向，景点力位于游客

中心C的西北方向6千米，景点。位于点力的北偏东60。方向且在游客中心。的正北方向.（参考数据：加，

1.41,73«1.73,述«2.45）

⑴求的长度（结果保留一位小数）；

⑵小明从景点力乘坐索道沿着4。方向前往游客中心G小红从景点8乘坐观光车沿着BC方向前往游客中心

C,若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的2加倍，上下

车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东45。时，小红与游客中心C的距离

是多少？（结果保留一位小数）

重难点5：坡度问题

涉及知识点:

◎坡度的定义：坡面的铅直高度与水平宽度的比

◎坡角：坡面与水平面的夹角

◎坡度与坡角的关系：坡度i=tan（坡角）

◎坡度在实际工程中的应用

解题技巧：

◎理解坡度的定义和表示方法

◎将坡度问题转化为直角三角形问题

◎利用坡度计算高度或水平距离

◎注意坡度与坡角的转换

例题精选

例题1：如图，在某公路旁有一大型矩形广告牌48C0,小刘想测量该广告牌的高度，她在广告牌前的G

处测得广告牌的底部。处的仰角为心接着小刘再沿着坡度为i=l：2.4的斜坡GH走了13米到达“处，测

得广告牌顶端力处的仰角为29。，已知广告牌立柱EF的高度为7米，其中tana=［则该广告牌的高度力。

为（）米.（结果精确到0.1,参考数据：tan29°«0.55）

C.15.2D.13.2

例题2：如图，已知点C与某建筑物底端8相距306米（点C与点8在同一水平面上），某同学从点C出发,

沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶。处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4,在D处测得该建筑物顶

端人的俯视角为20。，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20。=0.342,

cos20°«0.940,tan20°«0.364）

例题3:某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层力至Bi层之间安装扶梯4C,截面图如下图所

示.底层A与当层平行，层高力。为9m,点43之间的距离为6m,乙4CD=20。（参考数据：sin20。之

0.34,cos20°«0.94,tan20°«0.36)

D

⑴身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在8处碰到头（填"会”或“不会”）.

⑵若采取中段平台设计（如折线4一尸-C所示），已知平台EFIICD,且力E段和广。段的坡度i=

1：2.求平台的长度.

重难点6：三角函数与几何综合

涉及知识点：

◎三角形内角和定理

◎相似三角形的性质

◎四边形性质

解题技巧：

◎将几何问题转化为解直角三角形问题

◎利用相似三角形建立比例关系

◎注意几何图形的特殊性质

例题精选

例题1：如图，在四边形力中，（ABC=Z.ADC=90°,AB=7,BC=9,CD=3,则四边形A8C'。的

面积为（）

A.48B.50C.52D.54

例题2:已知在△48。中，=90°,AB=8,BC=6,在斜边AC上有一点G,C