第5章 一元一次方程 能力提升测试卷-2024浙教版七年级数学上册

第5章一元一次方程能力提升测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分:120分）

单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1.下列方程中是一元一次方程的是（）

A.2x=3yB.x—8=0C.x2+—1）=0D.—2=x

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数

的最高次数为1且两边都为整式的等式.据此即可求解.

【详解】解：A.含有两个未知数，不符合题意；

B.为一元一次方程，符合题意；

C.未知数的最高次数为2,不符合题意：

D.含有分式，不符合题意；

故选：B.

2.方程=%的解是（）

A.x=2B.x=—2C.x=-D.x=--

22

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据移项并合并同类项，系数化为1的过程

进行求解即可.

【详解】解：1x-l=x,

移项，合并同类项得：一：％=1，

系数化为1得：x=-2,

故选：B.

3.下列等式变形正确的是（）

A.如果％=y,那么x-2=y-2B.如果一［%=8,那么X=-4

C.如果mx=my,那么x=yD.如果㈤=|y|,那么％=y

【答案】A

【分析】本题考查等式的性质，解题关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加

(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以

同一个不为0的数，结果仍相等.据此依次对各选项进行分析即可.

【详解】解：A.等式两边都减2,得：%-2=y-2,变形正确，故此选项符合题意；

B.等式两边都乘-2,得：％=-16,原变形不正确.故此选项不符合题意；

C.当m=0,x=1,y=-l时，得：77ix=my,但/黄y,原变形不正确，故此选项不

符合题意；

D.如果优|=|训，那么％=y或％=-y,原变形不正确，故此选项不符合题意.

故选：A.

4.学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则

只有一辆车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满.设有％辆汽车，则可列方程()

A.45%+28=50x-12B.45x-28=50x+12

C.45x-28=50x-12D.45x+28=50x+12

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等

关系；设有%辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解.

【详解】解：设有工辆汽车，

根据"若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位"，可知学生总数为(45%+28)人，

根据“若每辆汽车坐50人，则只存•辆车空12个座位无人坐，冗余车辆全部坐满"，可知

学生总数为(50%-12)人，

因学生总数不变，可列方程：45x+28=50%-12,

故选：A.

5."△〃表示一种运算符号，其意义是：a^b=2a-b,如果工△(2△3)=3,则x=().

A.2B.3C.4D.5

t答案】A

【分析】此题考查了新定义问题，构造一元一次方程求解，首先计算出2Zk3=2x2-

3=1,然后代入工△(243)=3列方程求解即可.

【详解】解：根据题意得，2A3=2X2-3=1,

△(2△3)=3

△1=3

M—1=3

取=2.

故选：A.

6.元朝朱世杰所著的《真学启蒙》中记载了一道题，其大意为：快马每天走240里，慢马

每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马上天可追上慢马，由题

意得（）

（）

C.240x=150'x+127D.—150=—240+—20

【答案】C

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键.根据题意，快马花X

天追上慢马，此时快马走的路程为240万里，由于慢马先走12大，所以慢马总共走的路

程为150（%+12）里.当快马追上慢马时，它们所走的路程相等，即可列出方程.

【详解】解：根据题意，可列方程为240x=150Q+12）.

故选：C.

7.若方程1-手和2%-血=3m+1的解相同，则机的值为（）

A.2B.3C.-D.1

4

【答案】C

【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程.分别求出两个方程的解，根据它们的解

相同列出关于机的方程，求解即可.

【详解】解：解方程弓二1一手得X=3,

解方程2x—m=3m+1,得x=4TL

回两个方程的解相同，

国3=巴二

2

解得

m4

故选：C

8.（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是7：2,如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则

面积增加100平方厘米.那么原来长方形的面积是（）平方厘米.

A.126B.224C.350D.560

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来长方形的长为7%厘米，宽为

2无厘米，根据题意画出变化前后的示意图，可知增加的面积为两个长方形的面枳之差，

则可建立方程求解.

【详解】解：设原来长方形的长为7%厘米，宽为2%匣米，

由题意得，5（7x-5）-5x2x=100,

解得x=5.

所以7%=35,2x=10,

所以原来长方形的面积为35x10=350平方厘米，

故选；C.

5

2x

5

7x-5

9.\x\=9,\y\=4,且x-y>0,那么x+y的值是（）

A.5或13B.5或一13C.-5或13D.-5或一13

【答案】A

【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加减运算，求解代数式的值.根据绝对

值的性质结合x-y>0得出斯y的取值情况，然后利用有理数加法法则计算.

【详解】解：；|x|=9,|y|二4

x=±9,y=±4

又％—y>0

%=9,y=±4

当兀=9,y=4时，x+y=9+4=13,

ix=9,y=-4时，x+y=9-4=5

.•・%+y的值是5或13

故选A.

10.在数轴上，点。为原点，点A表示的数为-6,点B表示的数为10.动点P从4出发，以每

秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点Q从B出发，以每秒2个单位长度的速度

沿数轴负方向运动.设运动时间为£秒，当PQ=2A8时，t的值为（）

A.9.6或3.2B.4.8或1.6C.4.8D.9.6

【答案】D

【分析】本题考查数地上动点问题，数轴上两点间的距离，解•元一次方程，掌握相关

知识是解决问题的关键.先用，表示出P,Q两点所对应的数，然后表示出PQ长，由PQ=

2AB做等量关系列方程求解即可.

【详解】解析：由题意：P点所对应的数为：一6+3如Q点所对应的数为：10-23

则PQ=|(-6+3t)-(10-2t)|=|5t-16|,

(3点力表示的数为一6,点8表示的数为10，

(3A8=16,

团PQ=2AB

|5t-16|=16x2,

51-16=32或51-16=-32,

"9.6或”-3.2(舍)

故选：D

11.若式子3m—1和一+3互为相反数，则多项式巾2-2加+1的值为()

A.9B.6C.-5D.10

【答案】A

【分析】本题考查了代数式求值，相反数和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解

答本题的关键；

由题意解一元一次方程可得：m=-2,再根据代数式求值的知识，即可求解；

【详解】解：羽m-l和-2m+3互为相反数，

-3m-1+(—2m+3)=0,

解得：m=-2.

22

□zn-2HI+1=(zn-l)，

把m=-2代入Hi?-2m+1,HP(—2)2—2(—2)4-1=9,

故选：A：

12.规定：/(x)=\x+2],g(x)=|x-4|,例如：/(-4)=|-4+2\=2,g(-4)=|-4-4|=8,

下列结论：(1)能使f(x)=3成立的％的值为1和一5；(2)若xV—2,则f(x)+ga)=

2—2x；

(3)若/(X)+g(y)=0,则2x-3y=-16：(4)式子-1)+gO+1)的最小值是

2.

其中正确的是()

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)

D.(1)(3)(4)

【答案】B

【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解

题关键.

根据绝对值的性质计算可得x的值，可对(1)进行判断；根据绝对值的性质去绝对值

计算可对(2)进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出入、的值，可对(3)进行

判断：根据绝对值的几何意义可对(4)进行判断，综上即可得答案.

【详解】解：0/(x)=|x+2|=3,

回％+2=3或x+2=-3.

解得：无=1或x=—5,故(1)正确；

0X<-2,/(x)=|x4-2|,g(x)=|x-4],

0x+2<0,x-4<0.

时(%)+,。(吗

=-(x+2)+[-(x-4)]

=—x—2—x+4

=2-2%,故(2)正确；

町(%)+g(y)=o，

0|x+2|+|y-4|=0,

团》+2=0且)/-4=0，

解得：x=-2,y=4,

团24-3y=2x(—2)—3x4=—16»故(3)正确：

0/(x-1)+g(x+1)=|x-1+2|4-|x+1-4|=|x+1|+|x-3|,

E/(x-1)+g(x+1)表示数轴上表示x的点到表示-1和表示3的点的距离的和，

<x<3时，数轴上表示x的点到表示-1和表示3的点的距离的和最小，

时(％-1)+9。+1)的最小值为3-(-1)=4,故(4)错误，

综上所述：正确的结论有(1)(2)(3),

故选：B.

填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分.）

13.如果师傅做20天就能完成的任务，徒弟需要做30天才能完成，那么师傅做30天能够

完成的任务，师傅先做12天后让徒弟来做，徒弟还需要做天才能完成.

【答案】27

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

把师傅做20天完成的任务量当作单位1,由已知可得师傅一天做松,徒弟一天做点，

根据时间x效率=工作总量列出关于题中未知数的方程，求解即可.

【详解】解：把工作总量当作单位1来计算，设徒弟还需要％天才能完成，

根据题意得：^xl2+^xx=^x30.

解得：％=27.

即徒弟还需要27天才能完成.

故答案为：27.

14.数轴上一动点A向左移动5个单位长度到达点B,再向右移动9个单位长度到达点C.若

点C表示的数的绝对值为2,则点A表示的数为.

【答案】一2或一6

【分析】本题考查数轴，一元一次方程的应用.根据数轴上点的移动和数的大小变化规

律：左减右加.

先求得点C表示的数为2或一2,可设这个数是心根据题意得x-5+9=2或％-5+9=

-2,据此求解即可.

【详解】解：团点。表示的数的绝对值为2,

回点。表示的数为2或一2,

设点为对应的数为X,

贝U：%—5+9=2或%-5+9=-2,

解得：x=-2或x=-6.

所以点A表示的数为-2或-6.

故答案为：-2或—6.

15.己知方程＞=-3-1与关于x的方程等=”2a的解相同，则a的值为______.

4ZZZ

【答案】:

O

【分析】本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出Q的值.

先解第一个方程得到M的值，再把工的值代入第二个方程，解关于Q的方程；

【详解】解：解方程?=-3-枭

4L

移项可得：%%=-3

42

通分得到;％+9%=-3

44

B|J-x=-3

4

系数化为1得X=-4

因为两个方程的解相同，把％=—4代入手=5+2。

,得到三二=一2+2Q

去分母得—4a—1=-4+4a

核」川内Rj—4a_4a=-4+1

合并同类项得一8Q=-3

系数化为1得a=g

故答案为：I

O

16.爱动脑筋的妞妞发明了一种"幻圆〃游戏，将一1,-2,-3,4,5,6,-7,8分别填入

图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他己经将4,6,-7,8

这四个数填入了圆圈，则图中a+匕的值为.

【答案】一3或3

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题目中的数量关系，正确列出方程

是解题的关键.

根据横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，两个圈的和是5,横、竖的和也是

5,则有-7+6+b+8=5,6+4-2+x=5,求出瓦工的值，所以a=5,y=-1或

a=-l,y=5,代入计算即可求解.

【详解】解：如图所示，

7厂-1-2-3+4+54-6-7+8=10.

国横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，

国两个圈的和是5,横、竖的和也是5,

则-7+6+b+8=5,

解得8=-2,

6+4-2+x=5,

解得力=-3

则a=5,y=-1.或Q=-1,y=5,

当a=5时，a+b=5+(-2)=3：

当Q=-1时，a+b=—14-(-2)=-3,

故答案为：-3或3.

三、解答题(本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(8分)解方程：

(1)3(%-7)-5(%-4)=15

(2)—=1--

【答案】⑴%=-8

(2)x=-1S

【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤:

去括号、移项、合并同类项、系数化为1(对于有分母的方程还需去分母).

(1)按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程；

(2)按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步躲求解方程.

【详解】(1)解：3%-21-5%+20=15,

-2x=15+1,

-2x=16,

x=-8；

(2)解：—=1-—

23

去分母得，3(3x-5)=6-2(3-5x),

去括号得，9x-15=6-6+10%,

移项得，9x-10x=15,

合并得，一%二15,

系数化为1,得：x=-15.

18.(10分)某市出租车的计价规则如下：①起步价8元(含3公里)；②超过3公里后，

每公里加收1.8元；③每次乘车另加1元燃油附加数.

设小明乘坐出租车行驶了x公里.

(1)当％>3时,用含口的代数式表不车费;

(2)若小明支付了28.8元，求他乘坐的路程是多少公里？

【答案】⑴(1.8%+3.6)元

⑵14

【分析】本题考查列代数式及解一元一次方程：

(1)求出超过3公里的路程，用这部分路程乘以单价1.8,再加上起步价8元和燃油附

加费1元，即可得到当4>3时的车费表达式：

(2)令(1)中的表达式等于288解一元一次方程即可.

【详解】(1)解：超过3公里的路程：(*-3)公里，超3公里的费用：1.8(%-3)元;

总车费：8+1.8(%-3)+1=8+1.8x-5.4+1=1.8%+3.6,

即车费表达式为(L8x4-3.6)元；

(2)解：028.8>84-1,

0x>3,

01.8%+3.6=28.8»

01.8%=25.2

耿=14,

回小明乘坐的路程是14公里.

19.(10分)工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人,

其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者

小齿轮10个.

(1)请问该车间有男生、女生各多少人？

(2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配

多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？

【答案】(1)该车间有男生31人，女生54人

(2)应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系，列出方程.

(1)设该车间有男生x人，则女生人数是(2%-8)人，根据“男生人数+女生人数=85〃

列出方程并解答；

(2)设应分配)，名工人牛产大齿轮，(85-y)名工人牛产小齿轮，根据等最关系列出

方程，再解即可.

【详解】(1)设该车间有男生工人，则女生人数是(2%-8)人，则

x4-(2%-8)=85,

解得％=31,

则2%—8=54,

答：该车间有男生31人，女生人数是54人.

(2)设应分配y名工人生产大齿轮，(85-y)名工人生产小齿轮，

由题意得：3xl6y=2x10(85-y)

解得：y=25,

85-y=85-25=60

答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮.

20.(10分)表是某次篮球联赛积分的部分

球队比赛现场胜场负场积分

前进1410424

光明149523

远大147721

卫星1441018

备注:总积分=胜场积分+负场积分

⑴请问胜一场枳多少分？负一场枳多少分？（直接写出答案）；

⑵某队的胜场总积分能否等于负场总枳分的3倍？为什么？

⑶若某队的胜场总积分是负场总积分的〃倍，〃为E整数，试求〃的值.

【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分

（2）不能,理由见解析

⑶〃的值为2,5,12或26

【分析】本题考查了•元•次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元•

次方程求解即可.

（1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解：

（2）设该队胜了〃?场，则负了（14-m）场，根据胜场总积分等「负场总积分的3倍,

即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出，〃的值，结合，〃为整数即可得出结论；

（3）设该队胜了〃场，则负了（14—a）场，根据胜场总积分等于负场总积分的〃倍，

结合〃为正整数，即可得出结论.

【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24

分，

则有10x2+4x1=24,

同理其他球队也满足，胜场X2+负场XI=总积分，

回胜一场积2分，负一场积1分；

（2）解：不能，理由如下：

设该队胜了川场，则负了（14一m）场，

若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍，

国2m=3x（14—Tn）x1,

解得m=羡，

0m为整数,

（3某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍；

（3）解：设该队胜了a场，则负了（14—a）场，

根据题意可得，2a=（14-a）n,

2a

解得n=

当Q=0时，n=0,不合题意；

当Q=1时,n=卷，不合题意;

当。=2时，n=^,不合题意；

当I。=3时,n=不合题意:

"la=4时，九=£不合题意；

当a=5时,n=不合题意;

当a=6时，九=|,不合题意；

当a=7时，n=2,符合题意；

当a=8时，n=*不合题意；

当a=9时»n=y,不合题意;

当a=10时，n=5,符合题意；

当a=11时，n=y,不合题意：

当a=12时，n=12.符合题意；

当a=13时，n=26.符合题意；

当a=14时，分母为零，此时不存在〃的值；

综上，♦的值为2,5，12或26.

21.(10分)【阅读】|3-1|表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上

所对应的两点之间的亚离；|3+2|可以看作|3-(一2)|,表示3与-2的差的绝对值，也

可以理解为3与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

-5-4-3-2-1012345

【探索】

(1)13-(-2)|=；

(2)|x+3|可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

⑶利用如图所示的数轴找出所有符合条件的整数x,使得民+3|=5,则％=

(4)利用如图所示的数轴直接写出所有符合条件1%+3|+|x-21=8的x的值.

【答案】⑴5

（2）x,-3

⑶2或-8

⑷-/匕

【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离，解一元一次方程：

（1）先计算减法，再求绝对值，即可；

（2）根据绝对值的几何意义，即可求解；

（3）|%+3|=5可以理解为/j—3两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于5,贝卜

=-3±5；

（4）先分析当一3WxW2时，反+3|+以一2|的值为5，则X<—3或=>2,再分类讨

论，化简绝对值，解方程，即可求解.

【详解】（1）解•：[3-（-2）|=|3+2|=5；

（2）解：忱+3|可以理解为％与-3两数在数轴.上所对应的两点之间的距离.

故答案为：x,-3.

（3）解:一+3]=5可以理解为％与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于5.

0X=-3—5=—8或x=—3+5=2；

故答案为：2或—8.

（4）0|x+3|+|x-2|=8可以理解为％与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离与

%与2两数在数轴.卜.所对应的两点之间的距离之和为8,

当一3<%<2时，忱+3|+优-2|的值为2-（-3）=5,

0X<-3或无>2：

-|Z|XV-3H寸,|x+3|+\x-2|=-x—3+2—x=—2,x—1；

0—2x—1=8；

解得：x=—

当%>2时，|x+3|+|x-2|=x+3+x-2=2x+l；

02x+1=8：

解得：“=$

综上所述，％=-g用g

22.（12分）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下

一次性购物金额优惠办法

少于200元不予优惠

低于500元但不低于200元500以内全部九折优惠

其中500元部分给予九折优惠，

500元或超过500元

超过500元部分给予八折优惠

⑴若陈老师一次性购物680元，他实际付款一元.

⑵若陈老师实际付款198元，那么陈老师一次性购物可能多少元？

⑶如果陈老师两次去超市购物原价合计8707匕，第一次购物的原价为m元（mV300）,

请用含m的代数式表示这两次购物陈老师实际一共节省了多少元.

【答案】⑴594

（2）198或220

⑶当0VmV200时,两次购物陈老师实际一共节省了（124-0.2m）元;当200Wm＜

300时，两次购物陈老师实际一共节省了（124-0.1?几）元

【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则

是解题关键.

（1）根据购物超过50。元的优惠办法计算即可得：

（2）设陈老师实际付款198元，分两种情况:少于200元和低于500元但不低于200

元200WXV500.根据优惠办法求解即可得；

（3）先求出第二次购物的原价为（870-巾）元，再根据优惠办法列式，计算整式的加减，

即可得答案.

【详解】（1）解：陈老师一次性购物680元，他实际付款为：500x0.9+（680-500）x

0.8=594（元）；

（2）解：若陈老师实际付款198元，有两种可能：

一是一次性购物198元，没有优惠；

二是一次性购物不少于200元时，则有九折优惠，实际付款198元，

则陈老师一次性购物原价为198+0.9=220（元）.

所以，陈老师•次性购物可能是198或220元.

（3）解：①当0＜血＜200时，则笫一次购物原价为m元，

第一次购物优惠后实际付款m元，

第二次购物原价为(870-m)元，此时870-m>500,

第二次购物实际付款为：500x0.9+(870-m-500)x0.8=(746-0.8m)

陈老师两次•共付款为：77i+746-0.8/n=(0.2m+746)元，

回节省：870—(0.2m+746)=(124—0.2m)元；

②当200<m<300时，则第一次购物原价为m元，

第一次购物优惠后实际付款0.9m元，

第二次购物原价为(870-m)元，止匕时870-m>500,

第二次购物实际付款为：500x0.9+(870-m-500)x0.8=(746-0.8m)

陈老师两次•共付款为：0.9,+746—0.8m=(0.1m+746)元,

回节省：870-(0.1m+746)=(124-0.1m)元：

答：当OV7ZIV2OO时，两次购物陈老师实际一共节省了(124-0.2m)元：当200v巾v

300时，两次购物陈老师实际一共节省了(124-0.1m)元.

23.(12分)【阅读材料】点A、8在数轴上分别表示有理数a/,则4、B两点之间的距离表

示为AB=\a-b\.

【理解应用】如图所示，数轴上点力、B表示的数分别为一5、25,点P,Q分别从点48同

时出发，且均以3个单位长度/秒的速度相向运动，运动时间为t