第二章 圆锥曲线（原卷版）

第二章圆锥曲线

＞焦点三角形应用＞抛物线

＞圆锥曲线的离心率＞动点轨迹方程

＞双曲线的渐近线＞直线与圆锥曲线的位置关系

一.焦点三角形应用（共6小题）

1.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得

到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.己知椭圆c：W+[=

a2b2

1（Q＞匕＞0）的面积为6兀，两个焦点分别为片，%,直线）与椭圆。交十A,8两点，若四边形

AF8居的周长为12,则椭圆C的短半轴长为（）

A.2B.3C.4D.6

2.已知点P为椭圆。：工+《=1上第一象限的一点，左、右焦点为《，外，/耳?居的平分线与x轴交于点

43

M，过点片作直线PM的垂线，垂足为H，。为坐标原点，若1。"1=《，则AGPE面积为（）

A.73B.3GC.ID.3

3.若点P在椭圆。：二+《=1上，耳，尸2分别为椭圆C的左右焦点，且/耳尸人=60,则尸:的面积为

43

（）

A.£B.3C.4D.1

4.某椭圆的两焦点坐标分别为『-氐0）,松后0）,P是椭圆上一点，若殊;"LP匕归用•归园=8,贝力该

椭圆的方程是（）

A厂A1C厂V".

A.—+—=1B.—+—=1

7227

，，22

万厂y",c厂.

C.—+—=1D.—+—=1

9449

5.（多选）设片，6是椭圆二+亡=1的两个焦点，夕是椭圆上一点，则下列说法中正确的是（）

1612

A.椭圆长轴长为8B.椭圆的离心率为:

C.△尸尸1尸2的周长为12D.4PZ用的面积的最大值为4G

6.（多选）已知椭圆呜+，=1Q"O）的离心率为冬短轴长为2,P为椭圆上任意一点，片，F2

分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A.过点K的直线与椭圆交于A,B两点，则4486的周长为8

B.存在点尸，使得PG的长度为4

C.椭圆上存在4个不同的点P,使得「百工尸入

D.△尸片入内切圆半径的最大值为26-3

二.圆锥曲线的离心率（共8小题）

7.已知点巴、人是椭圆比£=的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点K关于/《必入的

7

角平分线的对称点N也在椭圆8上，若cosN4M八=§,则椭圆3的离心率为（）

B6M

rL・--------

325。・半

y

8.已知双曲线C:[—r=1,两焦点分别为K，尸2，过右焦点％作直线/交右支于A,B点、,且

a'b~

AB=^AF；t若NZAB=1,则双曲线C的离心率为（）

A27

BC.-D.2

•2-15

9.已知双曲线。:\一\二1（61>0/>0）的左右焦点分别为片，6，点A在C上，点B在），轴上，若

_______2___

F.ALF^,可=一§可，则C的离心率为（）

A.正B.«C.在D.迈

252

10.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反

向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线上：5-，=1（〃>0,〃>。）的左、右焦点分别为人，外，从外发出

4

的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和。，且cosN84C=-g,AB1BD,则上的离心

率为（）

Fjo

B

D

图1图2

A正后回

B.rD.45

22

,2

11.已知椭圆的左焦点为人过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,

\AF\=2\BF\,乙NFB喂、则椭圆。的离心率为.

12.（多选）已知椭圆C"二+二=1与双曲线C:：二一与=1（〃＞（），〃＞0）有公共焦点

a'h'nrn~

K，F2,G与a在第一象限的交点为。，且尸匕,。尸2,记G，G的离心率分别为6，下列结论正确

的是（）

A.若|可|=布+1,|P闾=正-1,则6=2

B.若「平，则-2

C.4,的最小值为1

D.记乙片夕鸟的内心为/,G的右顶点为七，则花_Lx轴

13.已知离心率为。的椭圆G：和离心率为0的双曲线。**=3＞。2。）有

公共的焦点，其中巴为左焦点，P是G与G在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，

则的最小值为

14.已知椭圆点+会=出“,。）的左、右焦点分别为九K，经过K的直线交椭圆于A,B,“他的内

切圆的圆心为/,若3店+4笈+5底=0,则该椭圆的离心率是

三.双曲线的渐近线（共6小题）

15.若双曲线「■-/=1（。＞0⑦＞0）的渐近线方程为），=±*x,且过点（2夜,3）,则双曲线的标准方程为

)

A”c.y—=1D..V

B-T-T=,3443

16.占希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过历

点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高R9=2,底面圆的半径为

4,M为母线PB的中点,平面与底面的交线所则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（).

43

B.D.

A.?5

*>，

17.设方为双曲线C：工上二1卜。0力＞0）的右焦点,过点尸旦斜率为-1的直线/与双曲线C的两条渐近

a2b1

线分别交于点儿8,若而=-3而，则双曲线C的离心率。=（）

A.巫B.走C.75D.叵

323

22

18.已知产是双曲线=力＞0）的右焦点，过点尸的直线/与双曲线C的一条渐近线垂直,

垂足为A,且直线/与双曲线C的左支交于点B,若3|胡|二|4可，则双曲线C的离心率为（）

19.已知直线），=2x是双曲线C:三-==1S＞O）的一条渐近线，则C的离心率等于（）

4b~

A.—B.75C.—D.6或旧

222

20.（多选）在平面直角坐标系xQy中，A8为圆O:V+y2=4与大轴的交点，点P为该平面内异于A8的

动点，且直线AP与直线8P的斜率之积为机，设动点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是（）

A.若/〃=—1,则曲线C方程为』+y2=4

B.若m=1,则曲线C的离心率为及

C.若〃2=1,则曲线C有渐近线，其渐近线方程为

D.若机=-、F（6O）,过原点的直线/与曲线。交于M，N两点，则△产MN面积最大值为6

四.抛物线（共8小题）

21.已知抛物线E：），2=4j圆C"2+）,2=2.J过园心C作斜率为&的直线/与抛物线E和圆C交于四

点，自上而下依次为A,M,N,B,若MM+|A倒=2|MN|,则k的值为（）

A.±V2B.±>/3C,土叵D,土且

一23

22.已知直线/经过抛物线C：./=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点,若使得加=加+而成立的

点P的横坐标为3,则四边形。4P8的面积为（）

A.2后B.3后C.4x/5D.5旧

23.如图所示，点尸是抛物线）2=4/的焦点，点A8分别在抛物线丁=4%及圆（x-lf+V36的实线部分

上运动，且总是平行于x轴，则△以8的周长的取值范围是（）

A.[8,10]B.（5,8）C.（10,12）D.（8J0）

24.（多选）设。为坐标原点，直线小过抛物线C必=2px（p>0）的焦点尸且与C交于A,B两点、（点

A在笫一象限），|A或讪=4,/为C的准线，AM±/,垂足为M,C（0J）,则下列说法正确的是（）

A.p=2

B.|AM|+|Ag|的最小值为亚

C.若=则|A曰=5

D.若BF=2FA，则直线44的斜率为鱼或-无

25.（多选）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为广，经过点尸且斜率为6的直线/与抛物线C交于

点A,B两点（点A在第一象限），若m”|=8,则以下结论正确的是（）

A.P=lB.向+血1C.\AF\=6\BF]D,5AAO8=^

26.（多选）已知点尸为抛物线。：9=2/次（〃>0）的焦点，点尸为抛物线C上位于第一象限内的点，直线/

为抛物线C的准线，点Q在直线/上，若|PF|=2+0,|QF|=、%NPFQ=90。,且直线尸尸与抛物线C

交于另一点M，则下列结论正确的是（）

A.直线尸尸的倾斜角为60。

B.抛物线C的方程为丁=2X

c.猫5

D.点。在以线段0例为直径的圆上

27.已知抛物线C：y2=/|x的焦点为产，准线为/,过点下的直线与抛物线交于Q（S，%）两点.

点P在/上的射影为4，点。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.过点仞（0』）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条

B.以尸。为直径的圆与x=0相切

C.设“（0,1）,则归M|+|P用之正

D.若忱。=8,则A。"。的面积为2应

28.（多选）已知抛物线C：V=4i,f为其焦点，直线/与抛物线交C于"（生叫）两点，则下

列说法正确的是（）

A.若点A为抛物线上的一点，点8坐标为（31），则|4P|十|A臼的最小值为3

B.若直线/过焦点/，则以MN为直径的圆与x=-1相切

C.若直线/过焦点/，当MN_LQF时，则|。闸・|。/7|=5

D.设宜线MN的中点坐标为（天,），0）（.%=0）,则该直线的斜率与飞无关，与为有关

五.动点轨迹方程（共7小题）

29.己知圆G：（x+3『+y2=81和。2：（1-3）2+），2=1,若动圆尸与圆C1内切,同时与圆G外切，则该动圆

圆心的轨迹方程为（）

A.工+工=1B.—+^-=1C.—+^-=1D.—+^-=1

1672592516169

30.已知点M（-3,0）,点/＞是圆N6x+＞，2-55=0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q,则

动点。的轨迹方程为（）

o2222222

Ar八厂）广,尸厂）厂.「ry,

A.—+—y=1.B.—+—=1C.—+—=1D.—+—=1

169167916716

31.在宜角坐标系X。，中，点尸到两点（-6,0）,（G,o）的距离之和等于4,设点。的轨迹为C,过点（0.2）

且斜率为4的直线/与。交于不同的两点A,B.

⑴求轨迹C的方程；

(2)求斜率&的取值范围；

(3)当A=7时，求A,B两点坐标.

32.平面内，动点。与定点厂(1,0)的距离与C到定直线/：x=4的距离之比为常数

⑴求动点C的轨迹方程；

(2)过点尸作不垂直于轴的直线阳，也与动点。的轨迹交于M,N两点，点P在直线/上，记直线

的斜率分别为《化£,证明：附附勺成等差数列.

33在平面直角坐标系“丫中，已知点时(-4,0),点N(4,0),动点P(x,y)满足：直线PM与直线/W的斜率

之积是一］.

4

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵直线/与(1)中轨迹C相交于A,B两点,若。(2,-1)为线段A5的中点，求直线/的方程；

⑶在(2)的条件下,求弦长|A8|.

34.在平面直角坐标系xQv中，圆C的方程为：(X+1)2+)，2=16,定点/(1,0),4是圆C上任意一点，线

段B尸的垂直平分线/和半径BC相交于点r

⑴求点r的轨迹w的方程；

(2)已知点4(-2,0),过点尸的一条直线，斜率不为0,交曲线W.于P、Q两点，直线AP,A。分别与直线

x=3交于M,N两点，求证：直线尸M与直线/W的斜率之积为常数.

35.已知人为圆O：f+),2=］上一点，过点A作)，轴的垂线交轴于点B,点产满足丽=2丽.

⑴求动点夕的轨迹「的方程；

⑵已知斜率为女的直线/与曲线「交于C,。两点.

9)若直线/过点(0,-2),当aOC。的面积最大时，求/的方程;

(E)若线段CQ的中点为(〃?>0).证明：k.今

六.直线与圆锥曲线的位置关系(共8小题)

36.已知双曲线：5-，=1包>0/>0),过M(-勿,0)的直线分别交双曲线左右两支为A&A关于原

点。的对称点为C,若+=则双曲线的离心率e=()

A.V2B.73C.2叵D.2x/3

37.已知椭圆/=的左、右焦点分别为6，E,过尸2的直线与椭圆。交于M,N两

点，若1^=3乂尺艮纳6="町,则椭圆C的离心率为()

A.1B.巫C.」D.1

2253

38.已知椭圆C:=+《=l(m>0,且加W6),直线x+)」4=。与椭圆C相交于A3两点.若点(1,3)是线段

6m

A8的中点，则椭圆C的半焦距。=.

39.己知椭圆C的两个焦点耳(-2,0),6(2,0),过K点且与坐标轴不平行的直线/与椭圆。相交于M,N两

点，△MNP；的周长等于16.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若过点R-8,0)的直线与椭圆。交于两点A,B,设直线的斜率分别为匕，k2.

(i)求证：K+内为定值：

(ii)求AA跖面积的最大值.

40.已知椭圆E:-^y+-p-=1(«>/?>0)焦距为2,离心率e是g

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)过点尸(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,其中反。在x轴的上方，且8在。的右侧，设弦AB,。。的中

点分别为M,N.

①若弦ARC。的斜率均存在，求四边形AC3D面积的最小值；

②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.

41.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法〃的思想得到了椭圆的面积公式S=aM（〃，》分别为椭圆

的长半轴长和短半釉长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆C:£+1=l的离心