福建省南安市两校2025-2026学年高二年级上册11月期中质量监测联考数学试卷（解析版）

福建省南安市两校2025-2026学年高二上学期11月

期中质量监测联考数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若直线’的一个方向向量为则它的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】依题意，（—1,6）是直线/的一个方向向量，

所以直线/的斜率4=-百，

所以直线/的倾斜角为12（）。.

故选：C.

2.己知点AQT2）关于z轴的对称点为8,则同等于（）

A.272B.2aC.2D.3、份

【答案】A

【解析】点41,T2）关于z轴的对称点为“—1,1,2）,

所以W即=j4+4+0=2jL

故选：A.

3.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预

警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在

3

37摄氏度以上的概率是不用计算机生成了20组随机数.结果如下：

116785812730134452125689024169

334217109361908284044147318027

若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警，用6,7,8,9表示非高温橙色预警，则今后的

3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）

31八132

A.-B.-C.—D.一

52205

【答案】B

【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温检色预警信号的随机数有：

116812730217109361284147318027共10个，

故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是W=l,

202

故选：B.

4.与直线2x+3y—6=0关于点（1,-1）对称的直线方程是（）

A.3x-2y+2=OB.2x+3y+7=0

C.3x-2y-l2=0D.2x+3y+8=0

【答案】D

【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为（X，），）,则其关于点（1,・1）对称的点的坐标为

（2—X,—2—y）,以（2—X,—2—y）代换原直线方程中的（内）得

2（2-x）+3（-2-y）-6=0,即2x+3y+8=0.

故选:D.

5.如图，已知圆锥CO的轴截面C4B是正三角形，A3是底面圆。的直径，点。在A8

上，且NAOD=2N8QD,则异面直线AD与所成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】-ZAOD=2ZBOD,且ZAOD+NBOD=n,所以N3OO='，

3

连接C。，则CO_L平面A8O，

以点。为坐标原点，OB、OC所在直线分别为）'、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系，设圆O的半径为2,则4（0,-2,0）、8（0,2,0）、C（0,0,2>/3）.D（V3,l,0）,

AO=（"3,0）,3c=（（）,-2,2@,

设异面直线与BC所成的角为。，

\ADBC|-6|G

则：cos6>=|cosAD,BC|=------------=」"一=—,

AD|-|BC2V3X44

因此异面直线A。与BC所成角的余弦值为走.

4

故选：A.

6.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%,下雨的概率为

30%,吹南风或下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为()

A.30%B.15%C.10%D.6%

【答案】B

【解析】记吹风为事件A，下雨为事件8,

因为尸（Ac3）=P（A）+P（8）-P（Au3）=20%+30%-35%=15%,

所以既吹南风又下雨的概率为15%,

故选：B.

7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的

四棱锥称为阳马.如图，在阳马夕一A3CQ中，Q4_L平面A8CQ,底面A3CO是正方

形，“分别为产“，心的中点，点G化线段”上，AC与BD父于点

PA=AB=2,若OG〃平面EFC,则AG=()

【答案】D

【解析】•・•Q4_L平面A8C。，人民4。€=平面48。。,

APA±AB>A4_LA£>,又底面A3C3是正方形，

：.AB±AD,则尸AA氏4D两两垂直，

以点A为坐标原点，AB，AD>人P的方向分别为x，）'，z轴的正方向建立空间直角坐

标系，由A4=A8=2，E,尸分别为PO，心的中点，

则。（Ll,0）,C（2,2,0）,E（0,Ll）,F（l,0J）,M=（LT0）,Ei=（2,LT）,

/、EFni=x-y=0

设平面EFC的法向量为m=(x,y,z)，贝卜

EC-m=2x+y-z=0

令x=1,得"=(1.L3),设G(O.O.a).则a；二(一1,一1,〃).

,**OGH平面EFC,：•OG_Lm»则OG,m=0，即—1x1—1x1+3a=0>

22

解得。二一»故AG=—.

33

8.已知直线/：（帆+2»+（〃7-1）丁+4-4m=0上总存在点加，使得过M点作的圆C：

/+）,2+21-4），+3=0的两条切线互相垂直，则实数机的取值范围是

A.或m22B.2</??<8

C.D.6三一2或/%28

【答案】C

【解析】如图，设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,

由ZAMB=ZMAC=ZMBC=90°及M4=知，四边形M4C8为正方形，

故|MC|="TI=2,若直线/上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心

.|-m-2+2m-2+4-4m\

（T，2）到直线/的距离d=~/…,即*_8阳一20W0,

J（m+2y+（m-\y

.•.-2</??<10,故选C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题忖要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列关于空间向量的命题中，正确的有()

A.若向量出〃与空间任意向量都不能构成基底，则〃//%;

B.若非零向量〃，4c满足〃，〃_Lc，则有〃//c；

1—1—1一

C.若0A,08,0C是空间向量一组基底，且。。二》04+；；08-二。。，则A,B,C,D

632

四点共面；

D.若向量是空间向量一组基底，则〃+〃/+c,a+c也是空间向量的一组基底.

【答案】AD

【解析】对于A,若向量”力与空间任意向量都不能构成基底，

即向量。为与空间任意向量共面，所以〃/",所以A正确：

对于B,若向量4=(0,0,1)力=(0,1,0),0=(1,0,1),

此时满足〃_1匕，b_Lc，但〃与C不共线，所以B错误；

对于C,因4,民C,。四点共面，等价于存在实数X,)"使得AO=.iAB+yAC,

即OD-OA=x(OB-OA)+y(OC-OA),

可得OD=(1-%-y)OA+xOB+yOC，

—1—•1—1—1

因为0。二二。4+二。8-二OC,故需使x=7,而此方程组无解，

6323

1

r-2

故4,8,C,。四点不共面，即C错误；

对于D,假设存在不全为0的实数人,〃2，&，使得4(。+〃)+22(〃+。)+小(4+。)=0，

可得(匕+&)〃+(2]+22)。+(&+&)C=。，

因为向量a,b,c是空间向量的一组基底，a,b,c不共面，

所以K+&=0,K+&=°，&+&=°，即h=k2=%=口,

即。+〃/+C/+C线性无关，故它们。++c,a+c可以作为空间向量的基底，所以D

正确.

故选：AD.

10.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A=”两个球颜

色相同"，5="第1次取出的是红球“，。="第2次取出的是红球”，。二“两个球颜色不

同”.则下列说法正确的是（）

A.A与4相互独立B.A与。互为对立

C."与。互斥D."与。相互独立

【答案】ABD

【解析】依题意可设2个红球为1，4,2个白球为"，包，则样本空间为：

。=｛（4,2，（弓,〃），（4也），（生，4），（生，。），（〃2也），3，%），（。,里卜佃也），

92,41）,（&生），（4，4）｝，共12个基本事件.

事件A=｛（《，4），（&，％），（如%），（%"）｝，共4个基本事件.

事件B=｛M，4），（q，4），（4,4），（。2,4），（4,々），（。2,4）｝，共6个基本事件.

事件。=｛（4，。2），（。2,4小（4,4），（4，%），（&，4），（如。2）｝，共6个基本事件.

事件。=｛（4，々）,（4也），（。2，々），（生也），（乙，4卜（々，生），（4，4），（砥。2）｝，

共8个基本事件

对于A选项,因P（A）=A=；,P（3）=（=；,P（4B）=[=:，

12312Z1Zo

则P（A>P（8）=P（A8）,故A与〃相互独立，故AE确；

对于B选项，注意到4Go=0,AUD=Q,得A与。互为对立事件，故B正确；

对于C选项，注意到3QCW0,则4与C不互斥，故C错误；

对于D选项,因P（B）*=g,p（0=WP（BD）=^=1，

则P（。）.P（6）=故。与8相互独立，故D正确.

故选：ABD.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点A8的距离之比为定值

%（丸工1）的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,B（4,0）,点尸满足线.设点P（x,y）

甲闿2

的轨迹为C,下列结论正确的是（）

A.。的方程为（x+4）2+y2=]6

B.点P(x,)，)，则言的取值范围是户弓，弓］

C.当4民。三点不共线时，射线。。是NA依的平分线

D.在。上存在点M,使得|MQ|=2|M4|

【答案】ABC

\PA\I7Cv+2)2+r

【解析】对丁A,设点〃(x,y),则

照2、(1)2+),2

化简整理得/+),2+8工=0,即(x+4『+y2=16,故A正确;

对于B,点P(x,y),设A=£，则)，=4"一4),它表示过点3(4,0)的直线,

会的几何意义是轨迹。上的点P(x,y)与点8(4,0)连线的斜率,

-44一()一例

轨迹C是圆心为C(T,0),半径,・=4的圆，当直线与圆相切时，则=4,

J1+尸

解得A=±理，则瓷的取值范围是［-中,弓］,B正确;

……E…cAP2+PO2-AO2…八BP?+PO?-BO?

对于C选项，cosZAPO=------------------»cosZBPO=------------------>

2APPO2BPPO

要证PO为角平分线，只需证明cosNAPO=cos/BPO,

即证42一=""十0°—灰),化简整理即证PO2=2AP2-8，

2APPO2BPPO

设尸(乂y),则PO2=x2+y2,

2AP2-8=2x2+8..v+2y2=(x2+8A：+y2)+(x2+y2)=x2+j2,

则证cosZAPO=cosZBPO，故C正确;

对于D选项，设/(事,%),由|W|=21M4|可得收+)『=2J(x0+2『+)『，

整理得3/2+3y：+16玉)+】6=。，而点M在圆上，故满足V+)3+81=0,

联立解得％=2,%无实数解，于是D错误.

故答案为：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线3x+4y+9=0与直线6工+"少+14=0平行，则平行线间的距离为.

【答案】2或0.4

【解析】因为直线3x+4y+9=o与直线6X+〃D，+14=0平行,

所以3二2,解得〃2=8,所以直线6%+〃9+14=0可化为3x+4y+7=0,

4m

If=2

所以两平行直线间的距离是d=

V32+425

故答案为：

13.已知x,yeR,K（x-3）2+（y-4）2=1,贝kF+V—11的最大值为,

【答案】25

【解析】圆（工一3）2+（），—4尸=1的圆心为（3,4）,半径为1，

则（0,0）与（3,4）之间的距离为7（3-0）2+（4-0）2=5>1，

故（0,0）与圆（x—3）2+（），—4产=1上任意一点的最大距离为5+1=6,

而f一1］表示圆上点到原点距离的平方与11的差，

则x2+y2-\\的最大值为62-11=25.

故答案为：25.

14.在棱长为1的正方体A8c。一4瓦a。中，E为线段AO的中点，设平面4BG与平

面CQE的交线为阳,则点A到直线〃?的距离为.

【答案】理或:&T

【解析】以点A为坐标原点，AB、AD.所在直线分别为x轴、）轴、z轴，建立

空间直角坐标系，如图所示：

则4(0,0,0),4((),0,1),8(1,0,0),C(l,l,o),G(l』』),00'；,。

I乙

所以AB=(1,O,_1),4C；=(1,1,0),CC,=(0,0,1),CE=

设平面48G的法向量为"=(x,y,z),

[〃/=()[x-z=0/、

则〈,，即〈八，令X=l,得力

[0.AG=()[x+y=0

设平面CGE的法向量为D=(%，y,ZJ,

v-CC,=0[Z,=0/

则，即《1八，令y=2,得"=(—1,2,0

v-CE=0一内一大乂二。

2

设交线小的方向向量为m=(9，必，Z?)，

则/_八，即八，令％=1,得m=(2,1,-1).

nm=0[x2-y,+z2=()

因为AC；=(1,1,1),点Ge〃？，

则AC|•=2,M=^22+12+(-l)2=y/b»

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，一个结晶体的形状为平行六面体其中，以顶点A为端点的

三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是601

(2)求异面直线AC1与8。所成角的余弦值.

解：(1)由题意可知卜@=卜4=|44,]=6,

ABAD=ABAAy=AD-AA]=6x6xcos60=18,

ACt=AB+AD+AA,,

则AC：={AB+AD+A^)2=AB2+ALf+AA.2+2ABAD+2AB-AA,+2AD-A4,

=62+62+62+2x18+2x18+2x18=216，

**.AC|=65/6.

(2)因8O=A£)_A8，ACt=AB+AD+AA,,

：!

则4G•8O=(AB+AQ+A41)(AQ-A8)=A8AO+AO+,MtAQ-A/-AOAB-A4,A8

=18+62+18-62-18-18=0.

AAC.1BD，，异面直线AG与8。所成角余弦值为0.

16.已知二45c的顶点44,1),边4B上的高线C4所在的直线方程为x+)-1=0,边

AC上的中线BM所在的直线方程为3工一》一1=0.

(1)求点3的坐标；

(2)求直线BC在)'轴上的截距.

解：(I)由题意可得边4B上的高线所在的直线方程为x+y—1=0,

设直线AB的方程为无一J+。=0,

将4(4,1)代入可得：4-1+。=0,即。=一3,

所以直线A3的方程为：x-y-3=0f

x-y-3=0

由题意可得8为直线与8W的交点，即l1，八，

3x-y-l=0

解得“一一1,)，一-4,即“(一1,一1).

(2)设则AC的中点M(W上*尹}

-

+/?-1=0

则〈C/〃+472+1.八，

5------------1=U

22

-4-3

解得小二-2,〃=3,即。(一2,3),可得2BC=_]_(_2)=_7.

所以直线8C的方程为：j+4=-7(x+l),

令x=0,得y=-ii.

所以直线8。在〉轴上的截距为一11.

17.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答时每道题目

的概率都是2,乙答对每道题目的概率都是对抽到的不同题目能否答对是独立的，且

32

甲、乙两人答题互不影响；

（1）若每位面试者都必须问答全部3道题，求甲答3对道题目的概率.

（2）若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目概率.

（3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽

题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概宓.

解•：（1）设“甲答对3道题目”为事件A,

因为甲答对每道题目的概率都是|■，且对抽到的不同题Fl能否答对是独立的,

3

2228

所以P（A）=（x-x-=一

3327

（2）设“乙恰好答对2道题目”为事件

又乙答对每道题目的概率都是:，且对抽到的不同题目能否答对是独立的,

所以尸（8）=3x?4

（3）设''甲通过面试”为事件C,“乙通过面试”为事件且。与O相互独立,

所以P（C）=l—P©=l—；x岩二寺

P（D）=l-Pf51=l-lxlx-=-,

v7\/2228

设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件七，则七=（C万）U（6。），

因为C万与心。互斥，。与万，3与。分别相互独立，

所以P（E）=P（CD（JCD）=P（CD）+P（CD）=P（C）P（D）+P（C）P（D）

2611711,所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率u.

-___V_4-___y__—___

-278278-7272

18.已知圆M与直线3x-J7y+4=0相切于点圆心M在工轴上.

(1)求圆M的标准方程；

(2)若过点（1,1）的直线！与圆M交于P,Q两点，当归Q|=2"时，求直线/的一般式方

程;

(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A6两点，。为坐标原点，直线

S

OAOB分别与直线x=8相交于CD两点，记aOA仇上。。。的面积为5卜邑，求芳}的

32

最大值.

解：（1）由题可知，设圆的方程为（x-a『+y2=/j>o,圆心为（40）,

由直线3X—J7Y+4=0与圆相切于点（1,近），

(1-4+73

得"3，解得4=4,/=4,

---X—==-1

1—〃V7

所以圆的方程为（x-4）2+y2=i6.

（2）设圆心M（4,0）到直线/的距离为d,

•・•闸二24”,,・・2将=2川6_/，；.d=3・

①当直线/斜率不存在时，x=\,满足M（4,0）到直线x=l的距离［=3：

②当直线/斜率存在时：设/方程：），-1=攵（无一1）,即心一y+1-攵=0,

;|44+1,4

:,d=I,=3,整理得(34+1)2=9(F+I),解得攵=一,

yJk2+\3

4

:y-l=—（x-1）,即4%一3y一1二0,

综上：直线/的一般式方程为x=l或4x—3y-l=0.

（3）由题意知，=p设直线。4的斜率为々（火#0）,则直线的方程为

y=kxf由,得+_8x=0,

r+y，-8]=0、7

8

x=------r

x=0]+88k)

解得或《,则点4的坐标为1+公’1+代J

y=0OK

产TTF

又直线。8的斜率为-,，同理可得：点3的坐标为学",一Rr

k11+K1+K

由题可知：C（8,8Z）,O（8,—g）,

.s-33」例3|

…5?|OD||OC|\OC\\OD\*

2卜”

当且仅当冈=1时等号成立，

S.1

二.U的最大值为;.

4

s2

19.在四棱锥P-ABCD中，底面48C7）为正方形，。是4。的中点，PO_L平面48CQ,

PO=6AB=2,平面B4Bc平面PCD=/.

（1）求证：IHAB；

（3）设四棱锥P-A8C。的外接球球心为Q,在线段P8上是否存在点E,使得直线PQ与平

面4EC所成的角的正弦值为之晅？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理