高三数学一轮试题：圆的方程

第42讲因的方程

链教材夯基固本

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激活思维

1.已知方程/+产一级+2+攵=0表示圆，则攵的取值范围是()

A.(-8,-1)U(3,+8)B.(-8,一，

C.(-8,—1)D.(一方，+°°1

2.(人A选必一P85练习Tl(2)改)圆心为。(一8,3),且经过点用(一5,一

1)的圆的方程是()

A.。+8)2+。一3>=25B.。一8)2+()，-3产=25

C.。+8)2+。-3)2=16D.。-8)2+()，+3)2=25

3.(人A选必一P88习题T4改)若圆C的圆心在上轴上，并且过A(—1,1)和

仅1,3)两点，则圆C的方程是()

A.X2+(^-2)2=10B.f+(y+2)2=10

C.(x-2)2+/=!()D.(x+2产+)F=1()

4.(人A选必一P85练习T3改)已知圆C以PP2为直径,Pi(4,9),P2(6,3),

则下列各点在圆C外的是()

A.M(6,9)B.N(3,3)

C.2(5,3)D.R(4,4)

5.(人A选必一P87例5改)己知圆C经过点A(3,l),3(—1,3),且它的圆心

在直线3x—y—2=()上，则圆。的标准方程为；若。为圆C上任意一点，且

点凤3,0),则线段E。的中点M的轨迹方程为

聚焦知识

1.圆的定义、方程

定义平面内到—的距离等于—的点的轨迹叫做圆

标准圆心—

(x—a)2+(y-b)2=r(r>0)

方程半径—

条件—

一般

/+;/+m+或+产=。圆心—

方程

半径/•=___

2.点与圆的位置关系

点MCvo,)，0)与圆(工一。)2+()，一〃)2=户的位置关系：

(1)若点M(xo,yo)在圆外，贝1」(刈一。)2+。，0一份2〉/；

(2)若点M(x),yo)在圆上，贝1」(犬0—〃)2+。，0—份2=/；

(3)若点M(xo,yo)在圆内，则(犬o—a)2+(yo~b)2<r.

3.两个常用结论

(1)方程Ad+Bq+CZ+D工+或+产=0表示圆的充要条件是4=CW0,B

=0,且俳+好—4・(>0，即Q-4AQ0.

(2)以A(xi,)”)，8(x2,”)为直径的圆的方程为(x-xi)(x—X2)+。-yi)(y—y2)

=0.

研题型能力养成

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举题说法

目标n圆的方程

例1经过点A(5,2),5(3,-2),且圆心在直线21一)，-3=0上的圆的标准

方程是.

<总结提炼A

求圆的方程的两种方法：(1)根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，

进而写出方程；(2)若已知条件与圆心(〃，〃)和半径r有关，则设圆的标准方程，

依据已知条件列出关于db,r的方程组，从而求出出乩厂的值；若已知条件

没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,E,

厂的方程组，进而求出力，E,尸的值.

变式1(1)(2024•承德、衡水二模)已知圆F+y2=16与直线y=一小工交

于A,8两点，则经过点A,B,C(8,O)的圆的方程为.

(2)(人A选必一P98习题T4)与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直

线L)，=0截得的弦长为2币的圆的方程为一.

目标I日相关点法求动点轨迹方程

例2如图，己知点4-1,0)与点3(1,0),C是圆/+产=1上异于A,3两

点的动点，连接BC并延长至。，使得|CD|=|8C|,求线段AC与0。的交点P的

轨迹方程.

・总结提炼A

相关点法求动点的轨迹方程，只要寻找要求点与已知点之间的关系，代入

已知点所满足的关系式即可.

变式2已知线段AB的端点8的坐标为(8,6),端点A在圆C炉+产+以二

0上运动，求线段A8的中点户的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.

目畅团与圆有关的最值和范围问题

视角1利用几何性质求最值

例3—1⑴己知M(—1,2),N是曲线。：/+)2-6工一2)，+9=0上的动点，

P为直线工+2)，+2=0上的一个动点，则|PM+|PN|的最小值为.

(2)(2024•厦门质检)(多选)已知实数x,y满足(工一2)2+)，2=4,下列说法正

确的是()

A.壬的最小值为一］

JiI1J

B.x+y的最小值为2—2也

C.(x+2)2+(y+3)2的最小值为5

D.点(x,)，)到直线)，=履+2的距离的最大值为2+2吸

视角2转化为函数求最值

例3-2（2024•西安一模）（多选）已知圆。的方程为f+），2=l,点A（2,0）,

3（0,2）,尸是线段A3上的动点，过尸作圆O的切线，切点分别为C,D,以下说

法正确的是（）

A.四边形PC。。的面积的最小值为1

B.四边形PCO。的面积的最大值为小

C.正•丽的最小值为一1

D.无•历的最大值为!

・总结提炼A

与圆有关的最值问题的求解方法

y—b

（1）借助几何性质求最值：形如〃='_,（无一〃）2+（y—Z?）2的最

xa

值问题.

（2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根

据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

（3）求解形如IPM+IPN］且与圆。有关的折线段的最值问题的基本思路：①

“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折

线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

新视角I圆的参数方程

x=〃+rcos。，

在平面直角坐标系中，如果点P的坐标a，y）满足彳.八其中夕为

j=/7+rsin〃，

参数，证明：点尸的轨迹是圆心为（a,b）,半径为〃的圆.

X-a

—^―=cos。，

|X=Q+『COS0,

证明：由1+&M可得,又因为cos28+sin2<9=l,所以

v~b

r=sin^,

（*y"）+g/）2=］,即（］一。）2+（）,一与2=户，所以点P的轨迹是圆心为（〃，b）,

半径为，•的圆.

例4（2024•晋城二模）已知正方形A8CO的边长为2,点。在以A为圆心，

1为半径的圆上，则|P8F+|PCp+|pQ|2的最小值为（）

A.18-8^2B.18T小

C.19-8V5D.19-8^2

・总结提燎a

已知圆上的动点时，可以利用圆的参数方程设出点的坐标，将问题转化为三

角函数问题，通过三免函数的最值(范围)来求解.

变式4已知圆;+1)2=1上任意一点P(x,y)都使不等式x+)，+m2O

成立，则机的取值范围为一.

随堂内化

1.(2024•北京卷)圆f+)?-2x+6y=0的圆心到直线x—y+2=0的距离为

()

A.啦B.2

C.3D.3^2

2.已知圆M的圆心在直线工+)，-4=0上，且点A(l,0),8(0,1)在圆M上，

则圆例的方程为()

A.。-2)2+。-2)2=13B.。-1)2+()，-1产=1

C.(x—2)2+。-2y=5D.。+1)2+()，+1)2=5

3.若心)，满足/+产一〃+4)，-20=0,则x2+)2的最小值是()

A.5B.5一弋5

C.30—10小D.无法确定

4.若直线小x—y—3=0分别与x轴、)，轴交于A,B两点，动点P在圆x2

+°，-1)2=1上，则AAB尸面积的取值范围是___.

配套热练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.(2024•廊坊质检)已知圆知过点4(7,-2),8(4,1),且圆心在人轴上,

则圆C的方程是()

A.(工-5)2+)2=8B.(工一6)2+)2=5

C.(上一5)2+)，2=4D.(X-4)2+/=13

2.设点M,N是圆好土产十心:+2)，-4=0上的不同两点，且点M,N关于

直线/：r—y+l=O对称，则该圆的半径等于（）

A.2啦B.也

C.3D.9

3.己知实数x,），满足/+）2—4/一2），一4=0,则上一y的最大值是（）

A.1+呼B.4

C.1+3陋D.7

4.己知圆G：（x-2）2+（y-3）2=l,圆C2：（x-3）2+（jf-4）2=9,M,N分

别是圆G,C2上的动点，P为x轴上的动点，则『M+IPM的最小值为（）

A.5g一4B.

C.6-2^2D.我

二、多项选择题

5.已知方程〃/+），2—2幻+〃（1+）2—2），）=0（2,"不全为零），下列说法中

正确的是（）

A.当〃/=0时为圆

B.当“70时不可能为直线

C.当方程为圆时，九"满足2+"70

D.当方程为直线时，直线方程为），=x

6.若方程f+），+£）氏+£），+尸=0表示以（2,—4）为圆心，4为半径的圆，

则下列结论正确的是（）

A.尸=4B.圆关于直线y=-2（对称

C.原点在圆的内部D.1（1一2）2+6，—的最大值为9

7.已知圆C：（九一3%）2+（），-44+1）2=1+250则下列结论中正确的有（）

A.圆C过定点

B.点（0,0）在圆。外

C.直线4x—3厂3=0平分圆周

D.存在实数上使圆与x轴相切

三、填空题

8.已知点M(3,1)在圆C：/+)2—21+4)，+2七+4=()外，则攵的取值范围为

9.(2022•全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的

方程为一.

10.已知的斜边为A8,且4-1,0),B(3,0),则直角顶点C的轨

迹方程是一；直角边BC的中点M的轨迹方程是

四、解答题

11.已知M(〃z,为圆C：f+y?—4x—14y+45=0上任意一点.

(1)求m+2n的最大值；

(2)求?1的取值范围.

fitI乙

12.已知方程/+9+2丘+(4Z+10)y+6S+21%+19=0表示圆，其圆心为

C.

(1)求该圆半径7•的取值范围；

(2)求圆心C的轨迹方程；

(3)若k=—2,线段A3的端点A的坐标为(0,4),端点3在圆C上运动，求

线段AB中点M的轨迹方程.

B组滚动小练

13.(2()25•聊城裁中)(多选)若函数兀Y)=sincox•coscor+q5cos一坐心〉

0),则()

A.火0)=3

B.当g=1时，函数於)在区间一;，0上单调递增

C.当①=2时，将尸sin4x的图象向左平移自个单位长度后得到於)的图象

D.当函数式幻在(0,兀)上恰有2个零点和2个极值点时，co的取值范围是

U，12；

14.(2025•宁波期中)已知数列｛小｝为等差数列，且满足及”=2%+l(〃£N*).

(1)若0=1,求｛〃”｝的前〃项和S〃；

5I3

(2)若数列｛d｝满足第一面=3且数列｛雨・d｝的前〃项和7“=(3〃-4)・2〃

+1+8,求数列｛d｝的通项公式.

第42讲圆的方程

激活思维

1.C【解析】因为『+产一2x+2+A=0表示圆，所以》+序一4/=(-2)2—4(2+

女)>0,解得K—1,故女的取值范围是(一8,—1).

2.A【解析】因为圆心为C(一8,3),且经过点M(—5,-1),所以半径为|MQ=

y](-5+8)2+(-1-3)2=5,故圆的标准方程为。+8)2+()，-3)2=25.

3.C【解析】设圆心坐标为C(a,0),半径为广，则圆C的标准方程为(%—。)2+丁=

(—1~a)2+l2=r»

/，有,、2解得。=2,r=10,所以圆C的标准方程为(x—2)2+产=1().

(1—a)”+3~=厂，

4.B【解析】由线段的中点坐标公式，可得圆心为C(5,6).因为「产2|=

N(4—6)2+(9—3)2=2710，所以圆。的方程为(十-5)2+()，-6)2=10.因为|。加|=匹

=r,所以点M在圆C上；因为|CN|=，W>r,所以点N在圆C外；因为|CQ|=3〈r,所以

点。在圆。内；因为|CR|=，5<r,所以点R在圆。内.

5.(x-2)2+(y-4)2=IO【解析】由题可设圆C的标准方程

(3—a)2+(1—/?)2=ra=2,

为(x—〃尸+。一〃)2=户,贝%(―1—a)?+(3—〃)2=凡解得包=4,所以圆C的标准

3a~b—2=0,lr=10,

方程为。-2)2+()，-4)2=10.设M(x,y),D(xi，》).由E(3,0)及M为线段ED的中点得

｛xi+3

k2'(x]=2.x-3,

M解得c又点。在圆C：。-2)2+(\，-4)2=10上，所以(统一3一2)2

yi+oy=2).

产M，

5

+(2)，-4)2=10,化简得Q—I)+。，-2)2-22

2故点M的轨迹方程为(工一段)+(y-2)=

5

2,

聚焦知识

1.定点定长伍，b)r疗+/—小。(一宗-f)|yjD2-\~E2-4F

举题说法

例1(x-2)2+(j-l)2=10【解析】方法一：(几何法)由题意知以8=2,A4的中点

为(4,0).设圆心为C(m切.因为圆过45,2),B(3,-2)两点，所以圆心一定在线段4B的垂

b_\仿=2

直平分线上，则k一4一2'解得所以C（2,I）,所以r=|CA|=

Li-3=0,f

7（5-2）2+（2-1）2=710,所以所求圆的方程为a一2）2+。一|）2=10.

p</-Z?-3=0,

方法二：设圆的方程为（X—0）2+。一32=/，则75—〃）2+（2-/7）2=/，解得

.13—。）24-（—2—b）2=r,

a-2,

b=l，故圆的方程为(x-2)2+(y-l)2=10.

,r=y[\0,

方法三：设圆的方程为x2+y2+Dr+3+厂=0(D2+E2-4Q0),则

25+4+5。+2E+/=0,

D=-4,

9+4+3。一2£:+尸=0,

解得<£=一2,所以所求圆的方程为f+尸一4.1一2），-5二0,

2x(_f)+^_3=0,

{干=一5，

即(x—2)2+0-1)2=10.

y=一3x,

变式1（1）（*—3）?+。一小）2=28【解析】设Agyi）,8（及，弊），由'

4+尸=16,

卜1=2,X2=-2,

解得1》=-2小,可得4（2,一25）,仇一2,2小）.设经过点A,B,C（8,

)2=2小,

0)的圆的方程为F+V+Dx+a+/=0(D2+E2-4F>0),所以

4+12+2£>-2小七+”=0,D=-6,

4+12-2D+25E+/=0,解得，E=—2小，则所求圆的方程为x2+>,2—6A—2A/5_y—

64+0+8Q+0+厂=0,F=-16,

16=0,即（X-3）2+G，―#）2=28.

（2）f+y2—2x—6y+1=0或『+）2+2x+6），+1=0【解析】设所求圆的方程是f+

j2+av+Ey+F=0,则圆心为（一岁一§,半径为法。2+4一4尸.令）,=0,得/+以+

F=0,由圆与x轴相切，得/=0,即乂圆心（一孝，-f）到直线x-y=0的距离

、,，卜"f||O-日./IQ*

为仁4=R"•由己知，得（2小J+（姬）2=冷即（。一£）2+56=2（3+序

一4F）②.又圆心（一?，-£）在直线3X一丁=0上，则3。一£=0@.联立①②③，解得乃=一

2,E=-6,尸=1或0=2,E=6,F=I,故所求圆的方程是*+丁一2X一6），+1=0或x2+

r+2A+6>'+l=0.

例2【解答】设动点P（x,y）,由题意可知夕是&4AQ的重心，由人（一1,0）,笈（1,

-1+1+2xo-1

k3，

c则

(尸3'

4

代入f+v=i,整理得Q+;)-

9

4

-

9

变式2【解答】设点。的坐标为(x,打，点A的坐标为(出，和)，又8(8,6),且尸为

m+8

x=~xo=2r-8,

则」八,因为点A在圆C：f+)?+4x=0上运

3'O+6血=2y—6.

{产2

动，即有宕+贷+4必=0,代入可得⑶-8户+⑵，-6)2+4X(2L8)=0,整理可得『十9一

6x—6y+17=0,化为标准方程可得(x—3)2+。-3尸=1.所以中点P的轨迹方程为(x—3)2+(J,

—3)2=1,该轨迹为以(3,3)为圆心，1为半径的圆.

例31(1)3小-1【解析】如图，曲线C：『+尸一64一2)，+9=0是以C(3,I)为圆

心，1为半径的圆，则根据圆的性质可知，1PM的最小值为|尸。-1.设M关于直线x+2y+2

〃?+12'〃?=­3,

=0的对称点为H(m,/?),则〈解得-即"(一3,-2).连

m—\,〃+2,[〃=—2,

——+2x^--1-2=0,

接“C,分别交直线工+2丁+2=0与圆C于P,N,连接PM,则|PM+|PNN|PM+|PC|-1=

IPW1+IPQ一亚|”C|一1,当且仅当P,H,C三点共线时取等号，此时取得最小值3小-1,

所以IPM+PM的最小值为3小-1.

(例31⑴)

(2)BD【解析】如图，方程(工一2)2+)，2=4表示以C(2,0)为圆心，半径/*=2的圆.对

于A,七表示点(一1,0)与圆上的点。，)，)的连线的斜率，设过点(一1,0)的直线的斜率为

人II

k,则y=«t+l),即丘一y+A=0,所以圆心C到该直线的距离〃产；必解

QK+(—I)z

得一千W任手,故A错误；对于B,令x+产z,即x+厂z=0,直线x+y-z=0与圆

必有交点，则圆心。到该直线的距离出=蜜<2,解得2—2娘<£<2+2^2,即2—2也

<x+><2+2-75>故x+y的最小值为2—26，即B正确；对于C,(1+2)2+。+3)2表示

圆上的点(x,)，)到人(-2,-3)的距离的平方，令圆上的点(x,)，)到人(一2,一3)的距离为4，

因为(-2—2)(—3—0)2=5,所以|461-*/3聿。1+入即3<^<7,所以94r

+2)2+。+3)2*9,故C错误：对于D,因为直线)=h+2恒过点以0,2),又|CQ|=

百十(—2)2=2<2,所以点(x,y)到直线尸丘+2的距离的最大值为2+2或，故D正

确.

(例31⑵)

例32ABD【解析】如图，当点P是人B的中点时，此时OP_L/18,|OP|最短，最小

值为6,当点P与点4或点8重合时，此时|OP1最长，最大值为2.因为PC,是圆。的

切线，所以PC1OC,PD1OD,则四边形PCOD的面积为S=\PC\\OC]=\PC]=yl\PO\2~\,

Z7

所以Smin=6=l=l,Smax=^4l=小，故A,B正确；PtPt)=\Pt\\Pb|COSZCPD

=\Pt|2x(2cos2ZOPC-l)=|Pt|2X|2^^-1-\Pt『=2)-\pb

I\PO\2J\pb\2\pb\2

|2+1=|PZ>F+」-一3,易知I协p£[2,4],设厂-3,皿⑵4],该函数在[2,4]

用2z

上单调递增，最小值为0,最大值为3;，故C错误，D正确.

(例32)

例4D【解析】如图，建立平面直角坐标系，不妨设A(l,1),4(—1,1),C(-l,

-I),。(1,-1),因为3P|=l,设尸(l+cos。，1+sin。)，<?G[0,2兀)，则『台产+俨b+伊加

=(2+cos02+sin26/+(2+cos6>)2+(2+sin0)2+cos26>+(2+sin<9)2=8sin夕+8cos8+19=8吸

sin(。+今)+19,因为0£[0,2兀)，则夕+：£，，引,可知当=当,即。=竽

时，sinR+彳)取得最小值一1,所以『W+I尸Cf+IPOF的最小值为19一8限.

(例4)

_x=cos仇

变式4[V2-1,4-00)【解析】设夕为参数，则圆的参数方程为一.八所

y=1+sin/

以设点P(cos仇1+sin由不等式x+y+哈0,得m>一(x+y),所以/闫一(x+y)]max而一

(x+y)=—(cos夕+1+sin，)=-1—y[2sin(，+；)与一1+&»于是m>\{2—1.

随堂内化

1.D

2.C【解析】因为点A(l,0),5(0,1)在圆M上，所以圆心在A6的中垂线八一)，=0

x+y—4=0»fx=2,---------------------

上.由解得即圆心为M(2,2),则半径(2—1)2+(2—0)?

x—y=0,b=2,

=小，所以圆M的方程为。-2)2+。-2)2=5.

3.C【解析】由f+y2—2x+4y—20=0,可得(x—l)2+(y+2)2=25,表示以C(l,—

2)为圆心，5为半径的圆.设原点。(0,0),\OC\=y[5，则/+产标+炉为圆上的点与原点

距离的平方)的最小值是(5—[0。)2=(5—小)2=30-.

4.[小，3小]【解析】如图，因为直线小x—)-3=0与坐标轴的交点为4小，

0),8(0,-3),则依用="3=2小.圆力+。-1)2=1的圆心为+(0,1),半径为r=l,

则圆心C(0,1)到直线小x-y-3=0的距离为=2,所以圆/+(),—i)2=i上

的点P到直线小x->-3=0的距离的最小值为d-r=2-\=\,距离的最大值为d+r=2

+1=3,所以A48P面积的最小值为：X2，5xl=V3,最大值为；x273x3=3小，即

△A8P面枳的取值范围为[3，3<3].

(第4题)

配套精炼

LB【解析】因为圆。的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(X-〃)2+)2=/.因

(7—a)2+4=r,

为点4(7,-2),8(4,1)在圆。上，所以、兀)解得〃=6,r=5,所以圆C

.(4—。)24-1=广，

的方程是。-6)2+丁=5.

2.C【解析】圆产+产+履+2厂4=0的标准方程为Q+犷+。+1户=5+与，

则圆心坐标为(一专，一1)，半径为r=yJ5"*■4".因为点M，N在圆『+)2+收+2)，-4=0

上，且点M,N关于直线/：x—y+l=O对称，所以直线/：L)，+1=0经过圆心，所以一

专+1+1=0,解得左=4,所以圆的半径一=45+曰=3.

3.C【解析】方法一：令x—y=k,则x=2+y,代入方程化简得2)2+(2A—6)y+

然一软一4=0,则420,即(2%—6)2-4X2(M—软一4)20,化简得足一2%—17W0,解得I-

3小WkWl+3小,故彳一)，的最大值是3P+1.

方法二：由F+y2—4i—2y—4=0,可得(x—2)2+(y—1>=9.令x=3cos0+2,y=3sin0

+1,其中0引0,2九)，则x-y=3cos4-3sin，+l=3^/5cos(。+争+1.因为问0,2加),

所以呜守，引，则当呜=2兀，即〃=与时，x—y取得最大值36+1.

方法三：由f+y2—4x—2y—4=0可得(4一2)2+。一1>=9.设/一)，=&,则圆心到直线x

一〉=」的距离，/12某一”<3,解得1-3也0心1+3小，故x—y的最大值为1+3也.

4.A【解析】因为P是x轴上的动点，所以|PM|的最小值为IPGI-I,同理，

的最小值为IPC,-3,则IPM+FM的最小值为|PG|+|PC2|-4.作点Ci关于x轴的对称点

a(图略)，则a(2,—3),所以iPGi+iPC2i=iPai+iPC2i2iac2i=5，i,则IPGI+IPCI—

425g-4,所以IPM+IPM的最小值为5也-4.

1=0,12X0,

5.ACD【解析】对于A,由题可得一八或八代入得f+y2—2y=。或

f+y2—2x=(),都是圆，放A正确；对于B,当％=1,4=-1时，化简得y=x,是直线，

故B错误；对于C,原式可化为a+")x2+a+").y2-2Ax—2"卜=0,要表示圆，则必有2+

"W0,故C正确；对于D,只有当2+〃=0时，方程表示直线，且直线方程为y=x,故D

正确.

6.ABD【解析】由题意，以(2,—4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为2产

+(y+4)2=16,化成圆的一般式为4x+8.y+4=0,故A正确；因为圆心Q,—4)在

直线)，=一法上，所以圆关于直线y=-2丫对称，故B正确；原点到圆心的距离d=

我+(-4)2>4,则原点在圆的外部，故C错误；d(L2)2+(y1)2的几何意义为

圆上任意一点(x,y)到点(2,1)的距离，从而*7(X—2)2+()，—1)2的最大值为圆心(2,—

4)到点(2,1)的距离与半径之和，故4到-2)2+(),一1)2的最大值为

yj(2-2)2+(-4-1)2+4=9,故D正确.

7.ACD【解析】对于A,由。一362十°，一4左一1)2=1+25口得/-6履+9必+产

一2(4%—l)y+16K—诙+1=1+253，整理得^一9+2)，一川61+8)，+8)=0,由

/+9+2尸0,2或g故圆C过定点(一*一|)和传，一1)，所

6r+8y+8=0,

尸-5V=-y

以A正确；对于B,因为圆心为(3攵，必一1),厂=71+25\，点(0,0)到圆心的距离d=

、9如+16炉—82+1=41+25公一8攵,又因为女£R,当Q0时，小5此时点(0,0)在圆C

内，所以B错误;对于所因为圆心为(3&,41),又4X3L3(软一1)一3=0,即圆心在

直线4尤-3y-3=0上，所以C正确；对于D,若圆与x轴相切，则|4A-”71I25产,即

Q

9好+8k=0,解得氏=0或%=—§,所以D正确.

8.(-6,§【解析】因为圆C：f+)?—2工+4)，+2%+4=0的标准方程为。一

1)2+°，+2)2=1—22,所以圆心坐标为(1,-2),半径/*=#一2%.因为点W(3,1)在圆C外，

所以7(3—1)二+(1+2)2*1—2k,且［―2Q0,即13>1—2匕且女④，解得一6vkv；.

9.(%—2)2+(y—3)2=13(或(x-2)2+(y-l)2=5或(工一§+(■>'—£>=*或

169

+。-1)2=堤)t解析】依题意设圆的方程为/+)，2+6+小，+"=0.

尸=0,产=0,

(1)若过点(0,0),(4,0),(一1,1),则76+4D+尸=0,解得<。=—4,所以圆

」+1一。+E+产=0,.£=-6,

的方程为/+)2—4工-6y=0,即。-2)2+。-3)2=13.

F=0,

(2)若过点(0,0),(4,0),(4,2),则J16+4。+产=0,

16+4+4O+2E+尸=0,

F=0,

解得，。=一4,所以圆的方程为f十产一4工一2),=0,即。-2)2+0，-1)2=5.

.E=-2,

F=0,

(3)若过点(0,0),(-1,1),(4,2),则<1+1—.=0,

16+4+4。+2E+尸=0,

"=0,

D=-|,所以圆的方程为X—7>-=0,即(V

解得I

「14

"一亍

65

~9

1+1-O+E+/=0,

(4)若过点(一1,1),(4,0),(4,2),则,16+4D+尸=0,

l6+4+4D+2E+F=0,

r16

解得｛D=_16所以圆的方程为%一号x-2y-y=0,即(入岩)2+(厂1)2=

5

.E=~2,

169

25,

10.『十尸一2丫-3=0()孚0)。-2)2+产=|。20)【解析】方法一：设C(x,y),

因为A,/1C三点不共线，所以y70.因为AC_LBC,且BC,AC的斜率均存在，所以以「丘

=一1.又，所以±7,~7=-1，化简得F+y2-2x-3=0.因此,

•All人O人II人，

直角顶点C的轨迹方程为/+)2—2x—3=0(yK()).

方法二：设的中点为。，由中点坐标公式得7)(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=

g|4用=2.由圆的定义知，动点。的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C

三点不共线,所以应除去与X轴的交点),所以直角顶点C的轨迹方程为(x—1)2+尸=4()=0).

设M(x,)，)，C(AO,州)，因为6(3,0),且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得

X=，。；3,y=咛9,所以xo=2x—3,)，0=2)，.将工0=2丫-3,涧=2y代入点。的轨迹方程

得(2x—4)2+(2y)2=4,即。-2)2+产=1°¥0).因此动点M的轨迹方程为。-2)2+9=h0).

11.【解答】(1)易知圆C：1+)。一以一14)，+45=0的圆心为(2,7),半径/*=2也.

设m+2〃=/,将加+2"=/看成直线方程，则该直线与圆有公共点，所以圆心到该直线的距

12+2X7一，|

离d-W2/，解得16—2屈W/WI6+2屈所以zn+2〃的最大值为16

+2也

(2)记点Q(—2,3),则温大表示直线MQ的斜率.设直线MQ