高中数学必修复习 第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）

第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）

I、思维导图

现实世界中的物体柱、锋、台、球的结构特征

空间几何体立体图形的直观图

T柱、锥、台、球的表面积和体积

♦平面的基本性质

空同中直线与直线的位■关系

空间点、直线、空间中直线、平面的平行

平面的位置关系

空间中直线与平面的位置关系

空间中平面与平面的位置关系一空间中直线、平面的垂直

空间平行、垂直关系之间的转化

-I判定厂-I判定

直线与直线平行^------^直线与平面平行Y＞平面与平面平行

-I一"I-，性质~r

性质

性质

------------------------1判定:--------!--------判定I-------------------------

直线与直线垂直直线与平面垂直二7平面与平面垂直

性质

［、知识梳理

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形乩

AB

底面互相平行且全等多边形互相包且相似

相交于一点,但不「ZE

侧棱互相平行且相等延长线交于二

相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

2.正棱和E、正棱锥的结构特征

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫

做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.

(2)正棱锥：底而是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心为棱

锥叫做正棱锥,特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.

3.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

：0

图形

A1

互相平行且相

长度相等且相延长线交于二

外线等，垂直于底

交于一点点

面

全等的等腰三全等的等腰梯X

轴截面全等的矩形圆

一形彩

侧面展开图矩形扇形扇环

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆

4.三视图

⑴儿何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从儿何体的正前方、

正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线.

(2)在画.三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

(3)三视图的长度特征：

“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽.

5.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二1则画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，/轴，轴的夹角为

45。或135。,z'轴与£轴和y'轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴;平行于x轴和

z轴的线段在直观图中保持原长度丕变；平行于)，轴的线段在直观图中长度为原

来的一半.

6.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之

和，表面积是侧面积与底面面积之和.

7.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

8.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何体

柱体(棱柱和圆柱〕S&向帜=5例十25'底V=Sh

锥体(棱锥和圆锥)表面枳=S底V=^Sh

SMJ+Sj——

台体(棱台和圆台)S衣而枳=S制+S上+S卜V=］（S上+S下+«S上S下）h

4

球2丫==兀R?

S=4nR3---

9.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的西点在一个平面内，那么这条直线在这个平面

内.

(2)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过

该点的公共直线.

(4)公理2的三个推论

推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个立面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个立面.

10.空间直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行直线

共面直线

相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

⑵异面直线所成的角

①定义:设。、是两条异面直线，经过空间任一点。作直线///a,b'〃b,

把。'与力所成的锐角(或直角)叫做异面直线n与b所成的角(或夹角).

②范围：

⑶平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互

祖

II.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

直线a在平面a内有无数个公共点

直线a与平____a

a//a没有公共点

面。平行z_/

直线

直线。与平

在平

面。斜交有且只有一个公共

面外

直线。与平a点

a_La

面a垂直y

(2)空间中两个平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

符号语

文字语言图形语言

言

•：l//cb

平面外一条直线与此壬面内的一条直线

aUa，IQ

判定定理平行，则该直线与此平面平行（简记为

a,

“线线平行二线面平行”）

：.l//a

一条直线与一个平面平行，则过这备直luB,

性质定理线的任一平面与此平面的交线与该直线aC\B=

平行（简记为“线面平行今线线平行”）b,

：.l//b

13.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相

•・・♦〃/?,b〃B，

交直线与另一个平面

aCb=P,

判定定理平行，则这两个平面1x7

aUa,bUa,

平行（简记为“线面平k__/

：.a//p

行今面面平行”）

如果两个平行半囿|可■：allB，a^ly=a,

4匕

性质定理时和第三个平面相SC尸b,

交，那么它们的交线：.a//b

平行

14.直线与平面垂直

(1)定义：如果直线/与平面a内的任意•条直线都垂直,则直线/与平面a

垂直.

(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线

与此平面垂直.

(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂

直于这个平面.

(4)直线和平面垂直的性质：

①垂直于同一个平面的两条直线平行.

②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任二直线.

③垂直于同一条直线的两平面曲

15.直线和平面所成的角

⑴平面的一条斜线和它在它面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平

面所成的角.

(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角

分别为90。和0。.

(3)直线和平面所成角的范围是0y。＜90。.

16.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的西仝生壬面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作

垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围是0Y0W18()。.

17.平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面所成的二平角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的垂线,则/_La

0a_L夕

定理这两个平面垂直z£y/U/?J

a邛、

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直＞今

a(~yp=a

定理于交线的直线与另一个平面垂直

ZE7lA-a」

l-La

〈常用结论》

1.特殊的四棱柱

底面为平行侧梭垂直直平行底面为

四棱柱

平行四边形六面体于底面六面体矩形

长方体I**1正四棱柱H磊禁"正方体I

上述四棱柱有以下集合关系：［正方体｝拿I正四棱柱［呈

［长方体｝窄｛直平行六面体｝会｛平行六曲体卜呈｛四棱

柱｝.

2.球的截面的性质

(1)球的任何截面是圆面；

(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于我面；

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径，•的关系为「=邓2-#.

3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系

如下：

S衣现图=^^£旗用杉,S厚田形=24玄•贡巩底

4.正四面体的表面积与体积

棱长为。的正四面体，其表面积为，体积为东£.

5.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为4,球的半径为此

①若球为正方体的外接球，则2底=小生

②若球为正方体的内切球，则2/?=〃；

③若球与正方体的各棱相切，则2尺=伍.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为〃，b,c,外接球的半径为七则

2R=y]cr-Vb1-\-c1.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为LL1,棱长为。的正四面体，

其内切球半径氏内=9z外接球半径R外=亭@

6.异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为基面直线.

7.等角定理的引申

(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等.

(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这

两个角互补.

8.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

9.线、面平行的性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度桓等.

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.

(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，

那么这两个平面平行.

(7)垂直于同一条直线的两个平面受任.

(8)垂直于同一平面的两条直线壬乱.

10.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

11.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

12.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

13.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

14.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

＜解题方法与技巧》

一、空间几何体概念辨析题的常用方法

|紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型

定义法

中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定

通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要

反例法

举出一个反例即可

典例1：下列结论正确的是()

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转

形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

D[A错误.如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何

体，各面都是三角形，但它不是棱锥.

S'

图1图2

B错误.如图2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是

直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥.

C错误.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D

正确.]

二、识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧

视图；

(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它

们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位

置.

典例2：(1)如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，。是棱的中点，则

三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视

图)()

(2)中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进部

分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是样头.若如图摆放的木构件与某一带卯

眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木陶件的俯视图可以是()

EZO=ED/I

ABCD

(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱A。和8。均看不见，故为虚线，易知

选A.

(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的

图形.]

三、由三视图确定几何体的步骤

定底面g根据俯视图判断出底面形状:

二二二二二二二二二二二二

定棱及侧面Y根据正、侧视图确定几何体的侧楼与侧面的特征：

|定:状，良,三意图中虚建后金线交正确定；1石晶瓦状：

典例3:(1)某四棱维的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形

的个数为()

A.1B.2C.3D.4

(2)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点W

在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此

圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()

A

B

A.24nB.2小C.3D.2

(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-A8CQ,

如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.

(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M,N的位置如图1所

示.

——

2"、、、

N04NP

图1图2

圆柱的侧面展开图及M,N的位置（N为0P的四等分点）如图2所示，连接

MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=；X16=4,0M=2,

・,.MN=d0M2+0必=凡22+42=2小.故选B.]

四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法

解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，

然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入检

验.

典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）

口

H-2—H

正视图

俯视图

E3iMin

h——1——Hh—2—Hh—2——*IT

ABCD

A[由正视图和俯视图可知，该几何体走由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，

结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.J

五、空间几何体的直观图

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与/轴或），'轴平行，原

图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线.

2.原图形与直观图面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）50困=

典例5：（1）已知等腰梯形ABC。，CD=1,AD=CB=®4B=3,以A8所

在直线为“轴，则由斜二测画法画出的直观图4,B'CfD1的面积为（）

A.^2D.2啦

(2)如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

O'A'=6cm,O'C=2cm,则原图形是()

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四边形

(1)C(2)C[(1)法一(作图求解)：如图，取A3的中点0为坐标原点，建立

平面直角坐标系，y轴交。C于点旦。，E在叙二测画法中的对应点为。'，

E：过E'作E'F'_1_/轴，垂足为尸，

因为OE=7(g2_12=],

所以O'Er=1,E1F'=乎.

所以直观图A'B'CD'的面积为

s，=；X(1+3)X乎邛，

故选c.

法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S=；x(l+3)x1=2.

得S立现困=4，X2=¥，故选C.

(2)如图，在原图形OABC中，应有00=20'D'=2X2啦=4啦(cm),CD

=C'D'=2cm.

所以OC=q04+CD2=N(4啦)2+22=6(cm),

所以。4=0。，由题意得044夹月。，故四边形OABC是菱形，故选CJ

六、求解几何体表面积的类型及求法

求多面体的

先求各个面的面积，再相加即可

表面积

可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表

求旋转体的

面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中

表面积

的边长关系

求不规则几通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这

何体的表面些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求

积时出所给几何体的表面积

典例6:(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()

侧视图

A.48+兀48-兀

C.48+2兀D.48-2n

(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1,。2,过直线01。2的平面截该圆

柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()

A.12扬B.12n

C.8^271D.IOTC

(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是

正方形(边长为2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S=2X2X2

+4X2X5—71X12+23X12=48+%故选A.

(2)因为过直线0。2的平面截该圆柱所得的极面是面积为8的正方形，所以

圆柱的高为2啦，底面圆的直径为2啦，所以该圆柱的表面积为2XJIX(/)2+

2兀X6X2吸=12兀］

七、求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；

割补法或者把不规则的几何休补成规则的几何休，不熟悉的几何休补成熟

悉的几何体，便于计算

等体积选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用

法三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

典例7：⑴某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:

即3)是()

B.^+3

D寺+3

(2)如图，已知正方体ABCD-A\B\C\D\的棱长为1,则四棱锥A.BBiDiD的

体积为.

(1)A(2)|[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆

锥和三棱锥S-ABC组成的,

如图，三棱锥的高为3,底面△ABC中，AB=2,OC=1,ABJ_。。.故其体积

V=Jx、X兀X12X34-7X^X2X1X3=，+1.故选A.

32J22

(2)四棱锥4-88山1。的底面BBQi。为矩形，其面积S=lx/=也，又四

棱锥的高为点4到平面BSQiQ的距离，即〃=NiC尸乎，所以四棱锥的体积

V=Q=q.]

八、空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把

空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元

素间的关系求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段以，PB,PC两两互相垂直，

且以=〃，PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利

用4/?2=〃2+从+/求解.

典例8：(1)设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，4ABC为

等边三角形且其面积为9小,则三棱锥。-A8C体积的最大值为()

A.12小B.18小

C.244D.54V5

(2)已知直三棱柱ABC-A\B\C\的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC

=4,AB±ACfA4i=12,则球O的半径为()

B.2回

C.号D.3^10

(1)B(2)CKI)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，。为球心，连接

BE,OM,OD,BO.因为S"BC=^AB2=9^,所以AB=6,BM=|BE=|^AB2-AE2

=2小.易知OM_L平面ABC,所以在RlAOBM中，OM=，5后二前=2,所以

当D,O,M三点共线且OM=OO+OM时，三棱锥O-ABC的体积取得最大值，

且最大值弘.=£A8cx(4+OM)=gx"/5x6=l队.故选B.

D

(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线,

则垂足为3c的中点M.因为43=3,AC=4,A8J_AC,所以3c=5.

又AM=^BC=|,OM=^AA\=6

所以球。的半径R=OA

+6?=/，故选C.]

九、共点、共线、共面问题的证明方法

(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两

个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其

中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直浅上.

(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、

线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面内再证明其余元

素确定平面/?,最后证明平面a,夕重合.

典例加(1)以下命题中，正确命题的个数是()

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面;

③若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

A.0B.1C.2D.3

(2)如图，正方体/WCEMIBQQI中，E,产分别是A8和A4的中点.求证:

①E,C,Di,尸四点共面；

②CE,DiF,QA三线共点.

(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，

与不共面的四点矛盾；②中若点A,B,。在同一条直线上，则A,B,C,D,E

不一定共面，故②错误；③中，直线伉。可能是异面直线，故③错误；④中，

当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误.]

(2)[证明]①如图，连接£匕CDi,A\B.

VE,尸分别是43,AAi的中点,

：.EF//BA\.

又•・・714〃DC,:.EF〃CD\,

:,E,C,Di,歹四点共面.

@9：EF//CD\,EFvCDi,

・・・CE与OiF必相交，设交点为P,

则由尸£直线CE,CEU平面A8CQ,

得PC平面ABCD.

同理平面ADD]A].

又平面A8CQC平面ADD\A\=DA,

・•・「£直线。A,：.CEfDiF,OA三线共点.

十、空间两条直线的位置关系

空

间

1两可构造

线几何模

位里（长方

置体或正

关

系方体）

典例10：（1）已知a,〃，c为三条不同的直线，且。u平面呢平面夕，

aC\6=c,给出下列命题：

①若。与/?是异面直线，则c至少与a,/?中的一条相交；

②若a不垂直于c,则。与〃一定不垂直；

③若〃〃〃，则必有a〃c.

其中真命题有.（填序号）

（2）如图，G,”，/W,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线

GH,MN是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.

⑴①③（2）②@[（1）对于①，若C与。，b都不相交，则C〃C7,c//b,从

而。〃b,这与。与〃是异面直线矛盾，故①正确.

对于②，。与b可能异面垂直，故②错误.

对于③，由可知。〃从又。门£=。，从而〃〃C,故③正确.

（2）图①中，鱼线GH〃MN:图②中，G,H,N三点共面，但M6平面GHN,

因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG（图咯），GM〃HN,因此GH与MN

共面；图④中，G,M.N共面，但用平面GMM因此GH与MN异面，所以

在图②④中，GH与MN异面.]

十一、平移法求异面直线所成角的步骤

|平移的方法一般有三种类型：（1）利用图中已有的平行线平移；（2）利用

平移

特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；（3）补形平移（一作）

证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角（二证）

计算在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之（三计算）

—因为因面直线所成角e的取值范围是0。＜。工90。，所以所作的角为钝

取舍

角时，应取它的补角作为异面直线所成的角（四取舍）

典例11：（1）在正方体A8C0-48GQ1中，E为棱CG的中点，则异面直

线AE与CO所成角的正切值为（）

（2）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体

称为鳖腕.如图，在鳖膈A8c。中，48_L平面BCD,且A8=8C=CO,则异面

直线AC与BD所成角的余弦值为（）

BD

A./B.—

C坐D.一当

(1)C(2)A[(1”口图，连接BE,

因为A3〃CQ,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所

成的角，即NE4及不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定理得

8£=小.又由AB_L平面BCC\B\可得所以tan/E4B=^=坐故选C.

(2)如图，分别取4B,ADtBC,B。的中点E,F,G,0,连接EG,

0G,FO,FG,则E/〃8D,EG〃AC,所以/庄G为异面直线AC与8。所成

的角.易知/0〃A8,因为AB_L平面BCD,所以FOJ_平面BCD,所以FOA.OG,

设A8=2。，则EG=EF=@a,FG=yp==&i,所以NFEG=60。，所以异

面直线AC与所成角的余弦值为故选A.]

十二、判定线面平行的四种方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(Ma,bUa,a//b^a//a)；

(3)利用面面平行的性质定理(a〃h，〃Ua今夕)；

(4)利用面面平行的性质(a〃夕，ada,四,a//a=^a//fl).

1

典例12：如图，在四棱锥P-A8CO中，AD//BC,AB=BC=2AD,E,F,

“分别为线段4力，PC。。的中点，AC与BE交于。点，G是线段。尸上一点.

(1)求证：AP〃平面3ER；

(2)求证：G"〃平面%D

［证明］⑴连接EC,

因为4O〃BC,BC=：AD,E为A。中点，

所以BC-AE,

所以四边形45CE是平行四边形，所以O为AC的中点.

又因为尸是PC的中点，

所以FO//AP,

因为歹0U平面BEF,ARt平面BEF,

所以4尸〃平面BEF.

(2)连接FH,OH,

因为尸，H分别是PC,CO的中点，

所以FH〃PD,因为F7/Q平面%。，POU平面%Q,所以"/〃平面朋D

又因为。是BE的中点，〃是C。的中点，

所以0"〃A。，因为。依平面〃。，ADU平面3D.所以OH〃平面FD

又FHCOH=H,所以平面0/7/〃平面心力.

又因为Gau平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

十三、判定平面与平面平行的四种方法

(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；

(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平

面平行(客观题可用).

注意：谨记空间平行关系之间的转化

性质

I*ii审«)1岸

判定

典例13：已知空间几何体438七中，△BC。与△CDE均为边长为2的等

边三角形，AABC为腰长为3的等腰三角形，平面COE_L平面BCD,平面ABC1.

平面BCD,M,N分别为OB,0c的中点.

⑴求证：平面〃平面A8C；

(2)求三棱锥4ECB的体积.

［解I(1)证明：取BC中点”，连接

,?Z\ABC为等腰三角形，

・・・A”_L6C,

又平面A8C_L平面BCQ,平面ABCG平面BCD=BC,

・・・A〃J_平面BCD,同理可证EN_L平面BCD,

:.EN〃AH,

:ENa平面ABC,平面48C,

:.EN〃平面ABC,

又M,N分别为BD,。。中点，

:・MN〃BC,

•.•MNQ平面ABC,BCU平面4BC,

・・・MN〃平面ABC,

叉MNCEN=N,

・•・平面EMN〃平&ABC.

(2)连接取CH中点G,连接NG,

则NG〃DH,由(1)知EN〃平面ABC,

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面4BC的距离相等，

又△8CD是边长为2的等边三角形，

:.DH1BC,

又平面A8CJ_平面8C，平面46Cn平面8cD=8C,DHU平面BCD,

・・・O”_L平面ABC・・.NG_L平面ABC,:・DH=5

又N为CO中点，:・NG=^,

又AC=/W=3,BC=2,

••S^ABC-'^\BC\-\AH\=2^2,

1、rz

：.VE-ABC=VN/8C=QS"8U|NG|=看.

十四、证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

典例14：如图，在斜三棱柱ABC-AIBIG中，底面43C是边长为2的正三

角形，M为棱BC的中点，BB】=3,AS=E，NCB8=60。.

(1)求证：AM_L平面8CCi6i；

(2)求斜三棱柱ANC-AiEG的体积.

［解］(1)证明：如图，连接BiM,

因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AA/1.BC,

且AM=小，

因为88=3,ZCBBJ=60°,BM=1,

所以BiAf2=l2+32-2XlX3Xcos60°=7,

所以8iM=S.

又因为A8I=E.

所以AA/2+BIM2=IO=AB彳，

所以

又因为BiA/ABC=/W,

所以AM_L平面BCCiBi.

(2)设斜三棱柱ABC-AxB^Cx的休积为V,则

V=3VB}-ABC=3VA-BiBC

=3x|sABiZ?C-|AM|

=1x2X3Xsin60°xV3

9

所以斜三棱柱ABC-Ai8G的体积为不

十五、证明面面垂直的两种方法

(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角,

将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面

的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决,

注意：三种垂直关系的转化

I线线垂直I年总线面垂直］等到面面垂直

典例15：(1)如图，点N为正方形的中心，△EC。为正三角形，平面

ECO_L平面ABC。，M是线段石。的中点，则()

A.BM=EN,且直线8M,EN是相交直线

B.BM芋EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线EN是异面直线

D.BMREN,且直线EN是异面直线

B［取CO的中点F,DF的中点、G,连接ERFN,MG,GB,BD,BE.

•・•点N为正方形ABCD的中心，

:•点、N在BD上,且为BO的中点.

:AECD是正三角形，・•・EFl.CD.

•・•平面ECO_L平面ABCD,

•••E/JL平面ABCD.

:.EFJLFN.

不妨设A8=2,则尸N=l,EF=小,

，£八=、/笛+七尸=2.

，：EM=MD,DG=GF,:,MG〃EF,

・・・MG_L平面ABCD,：.MGLBG.

1S

•:MG=#=专,

5

+22-

BG=ylCG2+BC2=2

・•・BM=NMG?+BG?=m

:.BM力EN.

•:BM,EN是△QBE的中线，:・BM,EN必相交.

故选B.]

(2)如图，四棱锥P-A8c。中，△PCO为等边三角形，CQ=AO=2A8,E,

S,7,。为CQ,以，P8,AQ的中点，ZABC=ZBCD=NP£4=90。，平面STRQC

平面ABCD=RQ.

①证明：平面见£J_平面S7R。；

②若A8=1,求三棱锥Q-BCT的体积.

[ft?]①证明：因为E为。。的中点，CD=2ABtZABC=ZBCD=90°t所

以四边形A8CE为矩形，所以AE_LCD

由已知易得RQ〃C7),所以RQ_LAE

因为NPE4=90。，PECCD=E,

故平面PCD,

又因为AEU平面A3CD

故平面PCOJ_平面ABCD.

因为PELCD,所以PEJ_平面A3CD

因为AQU平面人BC。，所以AQ_LP£

又PECAE=E,所以RQJ_平面附£

所以平面B4E_L平面STRQ.

②由①可知，PE_L平面ABC7),又7是的中点，

・••点丁到平面BCQ的距离为力E=坐,

易知SMCQ=；S悌形ABCD=^xgX(1+2)X小

故三棱锥Q-8CT的体积V=：X乎X坐=1

J4Zo

十六、求点到平面的距离(高)的两种方法

(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何

体中作出高或点到面的距离.其步躲为：一作、二证、三求.如何作出点到面的

距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二

是要与所求点到面的理离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到

垂足的距离即为点到面的距离.

(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶

点及底面的位置，其体积相等的方法求解.

典例16:(1)己知NAC5—90。，尸为平面A8C外一点，PC—2,点。至IJNAC3

两边AC,8C的距离均为小，那么P到平面A8C的距离为.

也［如图，过点P作PO_L平面A5C于0,则PO为P到平面ABC的距

离.

再过。作。E_L4C于瓦。/_L8C于尸，

连接PC,PE,PF,则PE_LAC,PFA.BC.

义PE=PF=5,所以0E=0F,

所以CO为ZACB的平分线，

即ZACO=45°.

在RtZXPEC中，PC=2,PE=®所以CE=1,

所以0E=1,所以PO=ylPE2-OE2=yl(y]3)2-12=^2.]

(2)如图，在三棱锥P-A8c中，AB=BC=2®FA=PB=PC=AC=4f。为

4c的中点.

①证明：尸。_L平面A8C；

②若点M在棱8C上，且MC=2MB,求点。到平面尸0M的距离.

[ft?]①证明：因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，

所以OP_LAC,且OP=2p

J2

连接08.因为A