高中数学选修复习 第6章 计数原理（公式、定理、结论图表）

第六章计数原理（公式、定理、结论图表）

［、思维导图I

两个计数原理

一A二项式定理

，排列数公式组合，组合数公式

应用，

［、知识梳理

一、计数原理

1.分类加法计数原理

概念：完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有叫种不同的方法，在第2类方案中

有八种不同的方法，…，在第〃类方案中有利“种不同的方法，那么完成这件事共有

N=见+秋+…+mn种不同的方法（也称加法原理）

特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不

重不漏”

2.分步乘法计数原理

概念：完成•件事需要〃个步骤，做第1步有町种不同的方法，做第2步有利，种不同的方

14

法，…，做第〃步有风，种不同的方法，那么，完成这件事共有N=〃％x〃与X…x〃7”种不同

的方法（也称乘法原理）

特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步

骤完整”

3.两个原理的联系与区别

⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

⑵区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

完成一件事共有n类办法，关键词完成一件事共有n个步骤，关键词是“分

区别一

是“分类”步”

每类办法中的每种方法都能独立除最后一步外，其他每步得到的只是中间

地完成这件事.它是独立的、一次结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺

区别二

的且每种方法得到的都是最后结少任何一步也不能完成这件事，只有各个

果，只需一种方法就可完成这件事步骤都完成了，才能完成这件事

各类办法之间是互斥的、并列各步之间是关联的、独立的，"关联''确保

区别三

的、独立的不遗漏，"独立’’确保不重复：

4、计数原理的解题步骤

⑴指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是"分〃类’还是“分〃步〃；

(2)求每“类”或每”步〃中不同方法的种数;

⑶利用“相加〃或“相乘〃得到完成事件的方法总数：

⑷作答。

5、从〃?个不同元素中，每次取出〃个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一

排，那么第一、第二......第〃位上选取元素的方法都是根个，所以从小个不同元素中，每

次取出〃个元素可重复排列数〃八〃?…0

二、排列

1.排列：一般地，从〃个不同元素中取出机(利工〃)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫

做从〃个不同元素中取出〃7个元素的一个排列

2.排列数：从〃个不同元素中取出小("24〃)个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同

元素中取出m个元素的排列数，用符号表示

3.排列数公式：A7=^(«-1)(«-2)•••(«-/??4-1)=--,且m工〃)

(，!一〃?)!

三、组合

1.组合：一般地，从〃个不同的元素中取出〃2(加工〃)个元素合成一组，叫做从〃个不同元

素中取出机个元素的一个组合

2.组合数：从〃个不同元素中取出根(加工〃)个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不

同元素中取出〃?个元素的组合数，用符号表示

3.组合数公式：°”上=〃（〃T）（〃—力…（〃-〃+EM,且

"A：mlm!（H-w）!

m<n）

4.组合数的性质：⑴c;;=c;;-ZH；（2）C'2=c；+C；"

四、二项式定理

1.二项式定理

概念：一般地，对于任意的正整数〃，

都有（。+与”=C：%"+C"T++…++…+C»I〃wN）.这个公式

称为二项式定理，等号右边的式子称为（。+人）〃的二项展开式，（。+〃）”的二项展开式共有

〃+1项，其中各项的系数&（攵£{0,1,2/、〃}）叫做二项式系数，称为二项展开

式的第攵+1项，又称为二项展开式的通项

2.二项展开式的特征：

（1）二项展开式共有〃+1项；

（2）二项式系数依次为组合数c，,c：,c；,…,…,C；；

（3）各项次数都等于二项式的幕指数〃；

（4）字母。的指数由〃开始按降幕排列到0,〃的指数由0开始按升累排列到〃

3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分

4.二项式系数的性质

对称性：与首末两端“等电离”的两个二项式系数相等

增减性：当&<四时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的

2

最大值：当〃是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当〃是奇数时，中间两项

n-\一+I

的二项式系数。了,。7相等，且同时取得最大值

5.二项式系数和：

（1）二项展开式中各二项式系数之和为2"；

（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于

2"，

〈解题方法与技巧》

一、分类加法计数原理的应用

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和

关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种

类的两种方法是不同的方法，不能重复.

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

典例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

［思路点拨］根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准，再求出每一类的个

数，最后得结论.

［解］法一：分析个位数，可分以下几类：

个位是9,则十位可以是1,2,3,…，8中的一个，故有8个；

个位是8,则十位可以是1,2,3,…，7中的一个，故有7个；

同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个.

由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有

1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).

法二：按十位上的数字分别是1,2,345,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条

件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理

知，符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：

12,13,14,15,16,17,18,19,

23,24.25,26,27,28,29,

34,35,36,37,38,39,

45,46,47,48,49,

56,5758,59,

67,68,69,

78,79,

89.

共有36个符合题意的两位数.

二、应用分步乘法计数原理的注意事项

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是

有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤

都完成了，才算完成这件事.

(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保

连续，逐步完成.

典例2；回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22,343,1221,94249

等.显然两位回文数有9个，即11,22,33,99；三位回文数有90个，即101,121,

131....191,202,999.则四位回文数有个，GN.）位回文数有

个.

【解】：由题意，可得4位同文数的特点为中间两位是相同的，干位和个位数相同但不

能为0，

第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；

笫二步，选中间两位数字，共有10种选法；

由分步计数原理可得，4位回文数共有9x10=90个.

在2〃（力£N.）位回文数中，

第一步，先选左边的第一个数字，共有9种选法；

第二步，分步选左边的第2,3,4,…，”个数字，共有10xl0xl0x...xl0=l（yi种选

法，

由分步计数原理可得，在2〃位回文数中，共有9xi（yi个.

故答案为：90；9x10”，

三、.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧

分类后再分别对每一类进行计数,最后

分类要做到“不重不漏”.

用分类加法计数原理求和,得到总数.

完成了所有步骤，恰好完成任务,当然步

与步之间要相互独立.分步后再计算每

分步要做到“步骤完整二

一步的方法数,最后根据分步乘法计数原

理,把完成每一步方法数相乘,得到总数.

四、排列组合解题方法

1.可重复的排列求署法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一

类不能重复，把不能声复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住

店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的货略中，关键是在正确判断哪个

是底数，哪个是指数

2.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大

元素参与排列.

3.相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元

素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

4.元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或

几个元素；再排其它的元素。

5.多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

6.定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的

顺序，可用缩小倍数的方法.

7.标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规

定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

8.不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

9.相同元素的分配问题隔板法：

10.走楼梯问题（分类法与插空法相结合）

1L染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论；

（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

典例3：7名同学，其中4名男同学，3名女同学：

⑴站成一排，共有多少种不同的排法？

【解析】问题可以看作7个元素的全排列4；=5040,

（2）站成两排，前排3名同学，后排4名同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理7x6x5x4x3x2xl=A；=7!=5040。

⑶站成两排，前排3名女司学，后排4名男同学，共有多少种不同的排法？

【解析】根据分步计数原理4x3x2x2x3x2xl=A：•用=4!x3!=144,

⑷站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列

£=720。

（5）站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间

位置，共有多少种不同的排法？

【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排

列暧=720。

⑹站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

【解析】根据分步计数原理：

第•步甲、乙站在两端有&种，第二步余下的5名同学进行全排列有国

种,

・♦・共有Al£=240种排列方法。

⑺站成〜排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

【解析】解法1（直接法）：

第一步从（除去甲、乙）其余的5名同学中选2名同学站在排头和排尾有A；种

方法,

第二步从余下的5名同学中选5名进行排列（全排列）有8种方法，

・•・一共有&•6=2400种排列方法：

解法2（排除法）：

若甲站在排头有廉种方法，若乙站在排尾有A；种方法，

若甲站在排头且乙站在排尾则有8种方法，

・•・甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有片-2£+&=2400种。

⑻站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？

【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑〃在一起看成一个元素，

再与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有展种方法，

最后将甲、乙两名同学“松绑”进行排列有用种方法，

・•・这样的排法一共有其•用=1440种方法。

（9）站成一排，4名男同学必须站在一起，3名女同学也必须站在一起。

【解析】先将3名女同学"捆绑"在一起看成一个元素，有用种情况，

再将4名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有A：种情况，

这时一共有2个整合的后元素，有用种情况，

・•・一共有排法种数：4,4：•8=288（种）.

（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

【解析】解法一：将甲、乙"捆绑〃在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

•・•丙不能站在排头和排尾，

・•・可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有4；种

方法,

将剩下的4个元素进行全排列有"种方法，

最后将甲、乙"松绑"进行排列有用种方法，

・•・这样的排法一共有8•4：♦=960种方法。

解法二：将甲、乙两“捆绑”在一起看成一个元素，此时•共有6个元素，有

4：种方法,

若丙站在排头或排尾有2•封种方法，

最后将甲、乙"松绑"进行排列有用种方法，

・••丙不能站在排头和排尾的排法有（婕-2•6）・=960种方法。

解法三：将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

•・•丙不能站在排头和排尾，，可以先从其余的四个位置选择共有4]

种方法，

再将其余的5个元素进行全排列共有8种方法，

最后将甲、乙“松绑”进行排列有引种方法，

・•・这样的排法一共有A：•父•g=960种方法。

（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？

【解析】解法一：（排除法）七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有

种可能，

则甲、乙两名同学不能相邻=总数-甲、乙两名同学相邻：

用-父.=3600»

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有8种方法，此时他们留下六个位

置（就称为“空〃吧）,

再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有否种方法，

••・一共有&YnBGOO种方法。

（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？

【解析】先将其余四个同学排好有A：种方法，此时他们留下五个“空”，

再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个〃空”有种方法，

・•・一共有416=1440种。

（13）站成一排，4名男同学都不能相邻，3名女同学也不能相邻的排法共有多少种？

【解析】先将3名女同学排好有用种方法，此时她们留下四个“空”，

再将4名男同学分别插入这四个"空”有4：种方法，

・•・一共有A，A：=144种。

（14）站成一排，甲必要站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有多少种？

【解析】先将7名同学全排有A；种方法，再将甲、乙两名同学全排有引种方法，

•・•甲必要站在乙的前面，，只需要总数的4种方法，，一共有

A'

4；==4=2520种。

A；A；

(15)7名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？

【解析】把任意一名同学固定在任意一个位置，

再把其他6名同学往其他位置里全排，有翦种方法

则一共有＜=720种方法。

规律总结：

1.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他的位置，有俩个以上的约束条

件时，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件.

2.若以元素为主，需要满足特殊元素的要求，再处理其他的元素.

3.“相邻”用“捆绑法”，“不相邻”用“插空法”，特殊位置或特殊元素用优先安排的策

略.

4.有限制条件的组合问题，主要有“含”与“不含”“至少”与“至多”等问题•,解决

方法有直接法与间接法两种，解题时要注意题目中的关键词语，防止重复或遗漏.

五、杨辉三角形:对于〃是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，

二项式系数也可以直接用下表计算：

(«+/?)'...........