勾股定理及其逆定理二（学案）-2025湘科版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.2勾股定理及其逆定理（2）

►学习目标与重难点

学习目标：

I.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完

成“实际问题一数学模型一模型求解一实际验证”的完整建模流程。

2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。

3.能结合实际情境画出对应直.角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活

运用定理解决不同类型实际问题。

学习重点：

I.能从实际情境中抽象或构造直角三角形模型，明确定理应用的前提条件。

2.熟练运用勾股定理求解模型中未知边长，完成实际问题的数学解答与结果验证。

学习难点：

1.复杂情境中直角三角形模型的构建与要素提炼。

2.结合实际场景验证数学求解结果的合理性，避免脱离实际的纯数学计算偏差。

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】什么是勾股定理？

二、探究新知

探究一：运用勾股定理在数轴上表示无理数

教材第167页

【议一议】我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数应和近的点？

探究二：运用勾股定理求解线段长度问题

【思考】图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长4m,他将梯子靠

在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m,

那么，梯子顶端是否也匕移0.5m?（已知6T75M.71,715-3.87）

三、例题精讲

例3（古代数学问题）“今有池方一丈，葭（jid）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、

葭长各几何？”①意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，

其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水血.问

水深与芦苇长各为多少？

武英期聚珍版《九章算术》

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面3m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杯折断

之前的高度是（）

A.5mB.8mC.10mD.13m

2.如图，在Rt△048中，OA=2,AB=1,OA在数轴上，以原点。为圆心，斜边08的长为半径画

弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（）

A.y/sB.—y/SC.-2D.2

3.一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.47%如果梯子的顶端下滑0.8m,

那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

选做题

4.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km,然后向正北方向航行了10km,这时他离出发

点km.

5.如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m,

高是5cm,一只蚂蚁在4点想吃到8点的食物，需要爬行的最短路

【综合拓展类作业】

7.请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来总9尺，从力处折断，折断后

竹子顶端8点落在离竹子底端0点3尺处，求折断处离地面（即A。）的高度是多少尺？

A

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？

六、作业布置

I.如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米

（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（)

A.1米C.2米D.4米

2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为I,则“车”、“炮”两棋子所

C.y[WD.4V10

3.如图，数轴上有一个边长为1的正方形48CD,其中点48表示的数分别为2、3,以8为圆心，对

角线B0为半径画弧交数轴上点力左边于点E,则E表示的数为

4.在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷.下图是搭建帐篷的示意图.在△48C中，支架

4。从帐篷顶点4支撑在水平的支架8C上，且力DISC于点。，经测量得：AB=2m,AD=1.2m,

CD=0.9m.按照要求，帐篷支架718与水;所夹的角需为直角.请通过计算说明学生搭建的帐篷是否

符合条件.

答案解析

课堂练习：

I.【答案】B

【解析】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8c=4m,

旗杆离地面力C=3m折断，且旗杆与地面是垂直的，

•••△48C是直角三角形，

，折断的旗杆为AB=V32+42=5m，

・••旗杆折断之前高度为3+5=8m.

故答案为：B.

2.【答案】B

【解析】解：在Rt△。48中，0A=2,AB=1,

：・0B->JAB2+OA2-唇

•・•以原点。为圆心，斜边08的长为半径画弧，交负半轴于一点,

••・这个点表示的实数是-遍，

故答案为：B.

3.【答案】D

由题意得：AC=DE=5m,AD=0.8m,BC=1.4m,Z.ABC=90°,

・"8=>JAC2-BC2=V52-1.42=4871，

；.BD=AB-AD=4m,

设它的底部滑行了xm,则有BE=(1.4+%)m,

A42+(1.4+x)2=52,

解得：x=1.6：

故选D.

4.【答案】26.

【解析】解:如图，

AC=V242+102=26(km)，

故答案为：26.

5.【答案】10.

【解析】解：如图，连接力8,过点8作3C_L/10

••・四边形BCD"矩形

:*BH-DC-4m,BC-Dll-8ni

•\AC=AD-CD=10—4=6(m),

在R£△力8C中，由勾股定理得,

AB=\lAC2+BC2=V36+64=10(m)，

则小国至少要飞10m,

故答案为：10.

6.【答案】13.

【解析】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接力8、BC,其中BC1AC,

B

C

由题意可知：y4C=-x24=12cm,BC=5cm,

・••需要爬行的最短路径是力氏

**•由勾股定理得48=\JAC24-BC2=V1224-52=13cm，

故答案为：13.

7.【答案】解：由题意可得：8。=3,

设4。=X,贝1何8=9-x,

由勾股定理可得：X2+32=(9-X)2,

解得％=4,

即折断处阿地面(即力。)的高度是4尺.

作业布置:

1.【答案】A

【解析】解：过点C作。F_L48

由题意得：AC-5m,CF-3m

••AF=y]AC2—CF2=4m

:.BF=AB-AF=Im

即：木马上升的高度为1米

故答案为：A

2.【答案】C

【解析】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为"=

故答案为：C.

3.【答案】3-V2

【解析】解：•・•ABC。为正方形，边长为1,

：,AB=40=1,LDAB=90°,

工在Rt△480中，BD=y/AB2+AD2=Vl2+I2=&=BE，

•••8点所在的数为：3,

・・・E点所在的数为：3-&，

故答案为：3-VL

4.【答案】解：・・ND1BC,

=乙ADC=90°.

在RtZk/l