构成空间几何体的基本元素讲义（导图+要点+技巧+归纳+巩固）-2026年高考数学复习之立体几何（新高考）-原卷版

第01讲构成空间几何体的基本元素

目录

思维导图........................................................................................1

高考分析........................................................................................2

学习目标........................................................................................3

知识要点........................................................................................3

解题策略........................................................................................5

题型归纳........................................................................................5

题型01:空间几何体的基本元素.............................................................6

题型02:文字、图形、符号三种语言转化.....................................................7

题型03:空间点、线、面的位置关系的判断...................................................11

题型04:平面分空间区域数量...............................................................14

题型05:异面直线的概念及辨析............................................................15

题型06:垂直关系的辨析...................................................................17

题型07:距离问题..........................................................................19

巩固提升......................................................................................21

三思维导图

京高考分析

构成空间几何体的基本元索是点、线、面，多面体（如棱柱、棱锥、棱台）还含棱、顶点，旋转体（如圆柱、圆

锥、球）涉及母线、轴等。以下从考情、考点、题型、备考策略展开分析，聚焦高考核心要求。

一、考情概览

•考杳形式：以小题（选择、填空）为主，偶融入解答题作为载体，多为“两小一大”或“三小一大”中的基础

环节，难度中等偏易。

•核心素养：侧重直观想象、逻辑推理与数学运算，要求能识别几何体结构、还原直观图并计算相关量。

・命题趋势：常与三视图、表面积体积、球的切接问题结合，注重基础概念与实际应用结合。

二、核心考点

1.基本元素的概念与关系

。理解点动成线、线动成面、面动成体的动态过程，如矩形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥。

。掌握平面基本性质（公理1-3及推论），用于判断共点、共线、共面问题，

2.多面体的构成元素

。棱柱：两个底面平行且全等，侧面为平行四边形，侧楂平行相等；重点是长方体、正方体的体对角线、外接球

。楂锥：一个底面，侧面为共顶点的三角形；常考正极锥的高、斜高与底面外接圆半径的关系。

。棱台：上下底面平行且相似，侧棱延长线共点，由棱锥截得。

3.旋转体的构成元素

“圆柱、圆锥、圆台的母线、轴、底面半径的关系，轴裁面与侧面展开图的应用。

。球的球心、半径，以及球与多面体的外接、内切问题，核心是找半径与棱长的联系。

4.组合体的元素分析

。由基本几何体拼接、切割、挖去形成，需分解为基本元素，明确位置与数量关系。

三、典型题型与解法

1.结构特征判断题

。例：下列说法正确的是（）oA.有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱。B.用平行于棱锥

底面的平面截棱锥，底面与截面间的部分是梭台。

。解法：紧扣定义，注意特殊反例，如A忽略侧棱需平行，B需保证侧棱延长线共点。

2.三视图还原与计算

。例：已知某几何体三视图，求其体积。

。解法：遵循“长对正、高平齐、宽相等”，还原直观图，确定长、宽、高，代入体积公式；组合体需拆分计算。

3.球的切接问题

四、备考策略

1.夯实基础：熟记柱、锥、台、球的定义与结构特征，掌握基本元素间的位置与数量关系。

2.强化直观想象：通过画图、观察模型，训练由三视图还原直观图的能力，标注条件辅助分析。

3.归纳方法：总结补形法、等积法、轴截面法等，如三楂锥补成长方体求外接球，利用等积法求点到面的距圈。

4.规范运算：熟练表面积、体积公式，注意单位与公式适用条件，避免计算错误。

三学习目标

1.知识目标：掌握点、线、面及多面体（棱、顶点）、旋转体（母线、轴）等基本元索的定义，理解”点动成线、

线动成面、面动成体”的动态关系，熟记平面基本性质（公理1-3及推论）。

2.能力目标：能识别各类几何体的构成元素及位置、数量关系，具备由三视图还原直观图的能力，会运用基本元

素性质解决共点、共线、共面及表面积、体积计算问题。

3.素养目标：提升直观想象素养（建立空间图形与实物的联系）、逻辑推理素养（基于定义与公理分析图形关系），

培养严谨的数学思维与空间建模能力。

三知识要点

知识点一.空间中的点、线、面

1.构成空间几何体的基本元素有：点、线、面.

2.用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线、线动成面、面动成体.

3.点、线、面的表示

如图所示的长方体可以表示为长方体它共有8

个顶点，可表示为力，R,C,1,G,心，12条棱可以表示为

个面可以表示为平面ABCD,平面ABBM”平面BCG%,平面为B1G5,平面CDD1。，平面ADD1?!］。

知织点二.空间中点与直线、直线与直线的位置关系

1.空间中直线与直线的位置关系：

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没右公共点

异而直线不同在任何一个平面内,没有公共点

2.异面直线：

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

(2)异面直线的画法：

①②

3.点、线位置关系的符号表示

(1)点A是直线1上的点，可简写为AW1,点B不是直线1上的点，可简写为B住1

(2)点与直线的位置关系只能用“W”或“住”，直线与平面的位置关系只能用‘七"或飞

(3)直线m与直线1相交于点A,可简写为mQl=A.

(4)如果a,b是空间中的两条直线，则必有aQbw。或aDb=。.

知识点三.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

1.平面的表示方法：习惯匕，用小写希腊字母。，仇丫…表示平面.

2•点与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示

点在平面内//AGa

点在平面外・BB任Q

口

3.直线与平面的位置关系

位置关系直线a在平面Q内直线a在平面Q外

直线a与平面a直线a与平面a

相交平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示acaaPla=Aa//a

------a

图形表示IH7占二

4.两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

有无数个公共点（在一条

公共点没有公共点

直线上）

符号表示a//(3a-0=1

口

图形及示口

知识点四.直线与平面垂直

1.定义：

如果直线1与平面a相交于一点A,且对平面Q内任意一条过点A的直线m,都有l±m,则称直线1与平面a垂

直，记作1J_Q.

2.图示

3•点到平面的距高

给定空间中一个平面Q及一个点A,过A可以作而且只可以作平面a的一条垂线，如果记垂足为B,则称B为

A在平面a内的射影（也称为投影），线段AB为平面a的垂线段，AB的长为点A到平面a的距离.

4.线面、面面之间的距离

苴线与平面平行时，有线上任意一点到平面的距离称为这条真•线到这仝垩面的距离；

•解题策咯

核心思路：抓元素定义—建空间关系一选适配方法，围绕点、线、面及柱锥台球的构成特征，针对性突破各类题

型，具体策略如卜.：

一、定义辨析类题型（判断几何体类型、元素关系）

•策略：紧扣定义关键词，规避易错陷阱，结合反例验证。

・关键步躲：1.提取题干中元素特征（如“两底面平行+侧棱平行”对应棱柱）；

2.排除“伪特征”选项（如“有两个面平行，其余为平行四边形”未必是棱柱，需侧棱共面且平行）;

3.用特殊模型反证（如判断棱台时，构造“侧棱延K线不共点”的反例否定偌误选项）。

二、空间关系类题型（共点、共线、共面问题）

・策略：依托平面基本性质（公理1-3）,化空间问题为平面问题。

・常用方法：

。共线问题：证明点在两个平面交线上（公理2）,如“三点共线”可转化为两点确定直线，证明第三点在该直线上；

。共面问题：用公理3及推论（如“两条相交直线确定一个平面”），先确定一个平面，再证明其余元素在该平面内；

。共点问题：先证明两条直线相交，再证明交点在第三条直线上。

B题型归纳

题型01:空间几何体的基本元素

【典型例题1】图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是（）

A.4,5,3B.4,5,4C.4,6,4D.4,6,3

【答案】C

【解析】由图可知，几何体是个三棱锥，则有4个顶点,6条棱,4个面,故选:C

【典型例题2】下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（）

A.点B.线段C.曲面D.多边形（不包括内部的点）

【答案】D

【解析】空闾中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，

只有多边形（不包括内部的点）不属于构成空间几何体的基本元素，故选:D

【变式训练1-U指出构成如图所示的各几何体的基本元素.

(1)(2)

【变式训练1-2】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等

于2礼与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点

的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面

角是所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3*々=兀，故其总曲率为4兀，则正十二面体的总曲率为()

JJ

A.2nB.4冗C.8TID.12兀

题型02:文字.图形、符号三种语言转化

一.符号表示

【典型例题1】根据图形用符号表示卜.列点、直线、平面之间的位置关系.

(1)点P与直线

(2)C与直线A8;

(3)M与平面4C;

(4)点4与平面AC;

(5)直线AB与直线BC;

(6)直线48与平面AC;

(7)平面4道与平面AC.

【答案】(1)PGAB.

(2)CCAB.

(3)MC平面4C.

(4)4＜平面AC.

(5)ABHBC=B.

(6)ABu平面g

(7)平面介平面/IC=AB.

【解析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可由图,

(D点P在直线48上，所以PWAB;

(2)点C不在直线力。上，所以CeADi

(3)点M在平面力C上，所以Me平面AC;

(4)点为不在平面AC匕所以平面/C;

(5)直线48与直线BC交于点B,所以48nBC=B;

(6)直线A8在平面AC上，所以48u平面AC；

(7)平面48与平面AC交于直线力比所以平面&BC平面4C=AB.

【点睛】本题考杳空间中点、线、面的位置关系，考查用符号语言表示空间中的位置关系

【典型例题2】如图中的长方体，

(1)直线力8可简记为，，此时，4,8都是/上的点，且久,81都不是，上的点，这可用符号简写为：

(2)如果记图中顶点8,当确定的直线为m,顶点C,G确定的直线为3则有m与I相交(即有公共点)，k与］不相交

(即没有公共点)，这可分别表示为：

(3)因为m与，相交于点B,所以,一般简写为：.

【答案】mCl=B,kdl=08Wm且8W1mC\l=B

【解析】根据点与线，线与线位置关系，分别表示，即可直接得出结果.

(1)因为A,8都是(上的点，且公,当都不是/上的点，所以AG，，BElt片名/;

(2)因为直线m与，相交于点8,k与，不相交，所以可分别表示为：mn，=B,knl=。；

(3)因为m与/相交于点B,所以BWm且861,一般简写为：mnl=B.

故答案为：AEltBEltAig/,mdl=BfkCiI=0;BWzn且mC\l=B.

【典型例题3】“点M在直线。上，。在平面々内”可表示为()

A.Mwa,aw。B.Mea,aua

C.D.Mua,aua

【答案】B

【解析】因为点M在直线。上，”在平面a内。所以符号语言为："ea,故选：B

【变式训练2-1】下列关于点、线和面的关系表示错误的是()

A•点4u平面aB.直线IC平面a=A

C.直线1u平面aD.平面an平面夕=m

【变式训练2-2】若点Q在直线b上，匕在平面a内，则Q,b,a之间的关系可记作()

A.QebEaB.QWbuaC.QubuaD.QubWa

【变式训练2-3】给出如下点、线、面的图示.

(1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系?

(2)如何用数学符号语言表述上述关系？

【变式训练2-4】如图中的长方体，

(1)直线可简记为1,此时，4,8都是/上的点，且41，B］都不是，上的点，这可用符号简写为：

(2)如果记图中顶点8,8】确定的直线为m,顶点C,加确定的直线为k,则有小与［相交(即有公共点)，k与/不相交

(即没有公共点)，这可分别表示为：

(3)因为小与1相交于点凡所以,一般简写为：•

【变式训练2-5】如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：

(D点C与平面/；

(2)点4与平面a:;

(3)直线48与平面a:;

(4)直线CD与平面a:;

(5)平面a与平面口：;

【变式训练2-6】在长方体中，请写出:

(1)三对平行的平面；

(2)三对垂直的平面；

（3）直线力劣与平面BCi的位置关系;

（4）直线八。与平面/当的位置关系.

二.符号辨析

【典型例题1】

下列命题中，正确命题的个数为（）

①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若AWl,B€l,且A€Q,B€a,则必有l€a；

②四边形的两条对角线必相交于一点；

③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答窠】A

【解析】①中，1WQ不对，应为IUQ；

②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；

③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线，故选A.

【典型例题2】文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（）

Acaauaa€aa€a

A.=>AcaB.'=>A€aC.=>A€aD.=>Aca

AcaA€a,AuaA€a

【答案】B

【解析】点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“W”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用

“u”表示.

【典型例题3】若点Q在直线b上，“工平面a内，则Q,b,a之间的关系可记作（）

A.QEbEaB.QehcaC.QubuaD.QubEa

【答案】B

【解析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.

因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以Qeb.

乂因为直线b（集合）在平面/?（集合）内，

所以bu仇所以Qtbu仇

故选：B

【变式训练2-1】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（）

A.点4u平面aB.直线，n平面a=A

C.直线/u平面aD.平面an平面夕=m

【变式训练2-2】“点M在直线a上，a在平面a内”可表示为（）

A.Mwa、aEaB.MGa,aca

C.Mua,aEaD.Mua,aua

【变式训练2・3】如图所示，用符号语言可表述为（）

a

/A冽/

%/

A.aC\=m,nca,mC\n=AB.aA/?=m,n€a,mnn=A

C.an/?=zn,nca,4um,/IcnD.an/?=m,九2a,AemtAEn

【变式训练2-4】如果直线au平面Q,直线bu平面Q,M€a,N€b,M€l,N€l,贝ij（）

A.lcaB.WaC.lAa=MD.lAa=N

题型03:空间点、线、面的位置关系的判断

【典型例题1］如果直线/与平面。没有公共点，那么直线/与平面。的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面内

【答案】A

【解析】根据空间间线面位置关系可得出结论.

如果直线/与平面。没有公共点，则/〃a,

故选：A.

【典型例题2】以卜.四个结论：

①若aua,bu0,则d力为异面直线;

②若aua,baa,则为异面直线；

③没有公共点的两条直线是平行直线；

④两条不平行的直线就一定相交.

其中正确答案的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】分别根据题设条件结合空间两直线的位置关系的判定方法，以及异面直线的定义，逐项判定，即可求解.

对于①中，若满足。ua力u/?的直线。可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线，所以①错误.

对于②中，根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线,

也可能相交直线，所以②错误.

对于③中，在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误.

对于④中，在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误.

故选：A.

【典型例题3】下列命题中正确的个数是（）

①若直线〃上有无数个点不在平面。内，则②若直线。〃平面。，则直线。与平面。内的任意一条直线都平

行；③若直线a/l直线b,直线bH平面。，则直线all平面a;④若直线all平面。，则直线。与平面々内的任意

一条直线都没有公共点.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理

判断；对于④，由线面平行的定义判断.

对于①，若直线〃上有无数个点不在平面a内，则直线。可能与平面。相交，也可能与平面。平行，①错误；

对于②，当直线〃〃平面。时，直线a与平面。内的直线平行或异面，②错误；

对于③，当直线。〃直线〃，直线〃〃平面。，则直线。〃平面。，或直线。在平面。内，③错误；

对于④，当直线。〃平面。时，则直线。与平面。无公共点，所以直线”与平面。内的任意一条直线都没有公共

点，④正确.

故选：B.

【典型例题4】如图，在正方体中，直线AC与平面力道£。］的位置关系是______;直线力久与直线

CC］的位置关系是;平面/CD］与平面4&G2的位置关系是_____；平面与平面A4D］的位置关系是

【答案】平行异面相交平行

【解析】利用线面平行的判定定理判断直线4c与平面4/G5的位置关系；利用线面平行的判定定理判断直线45

与直线CG的位置关系；根据平面力CD］n与平面48］。1劣=判断；根据平面即为平面B8CC,平面AaD1即

为平面判断;

如图所示：

因为AC〃4q,ACC平面4&C1D1,因为u平面所以AC〃平面4&CD1；

因为CCJ/DD-eg仁平面44。避，DD.u平面力%劣。，所以CC1〃平面/力道道，又直线力为u平面力&劣。，且

AD^DD,=Dlt所以/IQ与直线CG的位置关系是异面；

因为平面4CD】n与平面为B]GDi=Di,所以一定有一条过久的直线，所以两平面相交；

平面&CC即为平面881clC,平面441G即为平面AAi&D,而平面8%的。〃平面A&D】。，所以两平面平行；

故答案为：平行；异面；相交；平行

【变式训练3-1】如图是安装好的门，图中AC所在直线与水平地面的位置关系是_____；直线E0与水平地面的位置

关系是；直线E0与平面/1BC的位置关系是_____.

【变式训练3-2】在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系:

①力道与。传;②与;

③QD与平面8CG8I;④人当与平面8CG;

⑤平面/Wa与平面OCG;⑥平面ABBi与平面DOM】

【变式训练3-3】已知直线/〃平面。，则（）

A./与。内所有直线都平行

B.。内不存在直线与/垂直

C.过/的平面与〃必平行

D.。内有无数条直线与/垂直

【变式训练3・4】如图，在正方体/WCO-A/3CR中，直线八片与直线3。（）

A.异面B.平行C.相交且垂直D.相交但不垂直

【变式训练3-5】已知直线。与直线〃平行，直线〃与平面。平行，则直线b与平面。的关系为（）

A.平行B.相交

C.直线〃在平面a内D.平行或直线/）在平面a内

题型04:平面分空间区域数量

【典型例题1】已知平面"与平面£将空间分成3部分，若空间中还有一个平面7,那么%△了这三个平面可以将

空间分成.部分.

【答案】6或4

【解析】由题意可得。〃尸，再分％夕分别与/相交时，。〃小皿十时两种情况讨论即可.

因为平面a与平面夕将空间分成3部分，

所以

当a,仅分别与了相交时，a.尸，7这三个平面可以将空间分成6部分；

【典型例题2】空间四个平面最多能把空间分成部分.

【答案】15

【解析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果.

三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分,

再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三枚锥，

如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分，

故答案为：15.

【变式训练4-1］两个平面最多可以将空间分成部分.

【变式训练4-2】三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有条.

【变式训练4-3】金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不

一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四梭锥，则该正四梭锥的5个面所在的平

面耨空间分成部分（用数字作答）.

题型05:异面直线的概念及辨析

1.不是相交和平行的两条直线就是异面的。

2异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

3.特点：既不平行，也不相交。

4.判定方法：定义法：由定义判定两直纨永远不可能在同一平面内。

5.定理：过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

【典型例题1】给出卜.列四个命题：

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别位于两个平面内的两条直线是异面直线；

③某一个平面内的一条直线和不在这个平面内的一条直线是异面直线；

④既不平行又不相交的两条直线是异面直线.

其中真命题的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】根据异面直线的定义即可判断各命题的真假.

①没有公共点的两条直线的可能是平行直线，也可能是异面直线，①偌误；

②分别位于两个平面内的两条直线可能平行，它们可以确定一个平面，不是异面直线，②错误;

③直线au面a,直线力仁面a,但是〃可能在面夕内，③错误；

④正确；故选B.

【典型例题2】已知空间三条直线若1与m异面，且1与n异面，则（）

A.m与n异面B.m与n相交

C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能

【答案】D

【解析】根据题意作出图形，进行判断即可.

解：空间三条直线1、m、n.若1与m异面，且1与n异面，

则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也m与n可能异面（如图3）,

故选D.

【点睛】本题考杳空间直线的位置关系，着重考杳学生的理解与转化能力，考杳数形结合思想，属F基础题.

【典型例题3】若平面a和直线a,b满足ana=4,bua,则a与b的位置关系一定是（）

A.相交B.平行C.异面D.相交或异面

【答案】D

【解析】当月6时Q与b相交,当4萌时Q与b异面.

当AWb时a与b相交,当ACb时a与b异面.

故答案为D

【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.

【典型例题4】（多选）如图，在棱柱中，下列结论正确的是（）

A.ACABC=CB.4Cn平面BBiG。=C

C.AC与&G是异面直线D.囚。与&G是异面直线

E.平面441cleA平面BB]C1C=C

【答案】ABC

【解析】根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义即可求解.

通过观察题图，根据空间中点、线、面之间的位置关系的定义可得，选项A、B、C正确，因为？1C与4G是共面直

线，故D错误，因为平面/MiGCn平面B81GC=CC1，故E错误.

故选：ABC.

【变式训练5-1】两条直线为异面宜线是这两条直线没有公共点的（）条件.

A.充要B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【变式训练5-2】下列命题中，真命题的个数是（）

①分别在两个平面内的两条直线是异面直线；

②和两条异面直线都垂宜的立线有且只有一条；

③和两条异面直线都相交的两条直线必定异面；

④与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线.

A.0B.1C.2D.3

【变式训练5-3】以下四个命题:

①若aua,bug,则a、b为异面直线；

②若直线a在平面。上，匕不在平面。上，则a、匕为异面直线；

③没有公共点的两条直线是平行直线；

④两条不平行的直线就一定相交.

其中正确答案的个数为（）

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

【变式训练5-4]若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）

A.异面或平行B.异面或相交

C.异面D.相交、平行或异面

【变式训练5・5】如图，金字塔的极力C,80所在直线的位置关系是_____.

【变式训练5-6】在正方体力BCO-/1$]G2中，与棱44异面的梭有

A.8条B.6条C.4条D.2条

题型06:垂直关系的辨析

定义：直线与平面垂直是指直线和平面相交且和这个平面过交点的任何直线都垂直。

这里的“任何直线》能代表平面内的所有直线.需要注意的是：无数条直畿不能代表所有直畿，即一条直或垂直于一个平面内的无

数条直或，直或不一定与平面垂直，因为这无数条直线可以是互相平行的。

【典型例题1】给出下列四个命题：

①若直线1与平面a内的无数条直线垂直，则11a;

②若直线1与平面a内的一条直线垂直，则，

③若直线1不垂直于明则a内没有与1垂直的直线；

④若直线1不垂直丁”则a内也可以有无数条直线与1垂直

其中真命题的个数是.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】运用线面垂直的判定定理判断①②，当直线不与平面垂直，斜交时，存在无数条直线与该直线垂直

由线面垂直的判定定理判断①②，都缺少直线垂直于平面内的两条相交直线，故①②为假命题

运用三垂线定理，当直线不与平面垂直，斜交时，过斜足做射影的垂线，可得此直线与斜线垂直，通过平移，可得无

数条平行直线，这些直线都和斜线垂直，③错，④对

故真命题的个数是1个，答案选B

【点睛】可熟记本题结论，当1不垂直于明贝心内也可以有无数条直线与1垂直.要证线面垂直，一定要证直线与平

面内的两条交线垂直

【典型例题2】在正方体ABCO-AiBiG。］中，下列说法正确的是________.

①4％〃平面BG;②力。与8G相交；③点儿、分到平面BCG4的距离相等；④与48平行的面只有一个，与48垂直

的面有两个.

【答案】①③

【解析】作出图形，结合空间中线线、线面的位置关系以及点到平面距图•的定义可判断出各命题的正误.

如下图所示：

对于①，平面4。"/平面BG,/ID】u平面4劣，.•.力2〃平面BG,命题①正确；

对于②，力C与8C］异面，命题②错误；

对于③，•••为a1平面8CGB［，GO】J"平面8CG/,且为a=。］仇，

所以，点儿、劣到平面BCGB］的距离相等，命题③正确；

对于④，与48平行的平面有平面和平面CQDi。，与A8垂直的面有平面44山1。和平面881GC,命题④错误.

故答案为：①③.

【点睛】本题考杳正方体中线线、线面位置关系的判断，考杳推理能力，属于中等题.

【变式训练6・1】下面叙述中：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线I是平面a的一条垂线，则直线，垂直于平面a内的所有直线；

④若直线，垂直于平面a,则称平面a是直线I的一个垂面.

其中正确的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【变式训练6-2】如图，在长方体力8。。一&丛6。1中，与CD垂直的平面有,与面DCGDi垂直的平面有

题型07:距离问题

点到平面的距寓有如下三条性质：

(1)存在性：对于任意一个平面和这个平面外任意一点都存在着距离。

(2)唯一性：一个平面和平面外一点到平面间的距离是唯一的。

(3)敢小性：平面外一点到平面的距离是这点到这个平面内任恚一点的连接线段长度的放小值。

【典型例题1】如图，长方体力8。0-4a。1必中，/8=6cm,FC=4cm,=3cm,则

(1)点/到平面OCGQ的距离为；

(2)直线/M］到平面8CG8］的距高为;

(3)平面/1BCD与平面48心5之间的距离为.

【答案】4cm6cm3cm

【解析】根据长方体结构特征，确定垂血关系，再由题中条件，即可分别求出结果.

(1)因为在长方体4BCD-&B1GD1中，AD1DC,AD1DDn

又DCCDD［=D,DCu平面DCGD：,DDYu平面。“泡,

所以_L平面OCGD］,因此点力到平面OCGd的距离为力。=8C=4cm；

(2)因为在长方体ABCD-AiBiGDi中,AB1BC,AB1BBlt

又BCCBBLB,BCu平面BCGBi,BB】u平面BCgB1,

所以481平面BCGBi，乂AB1

所以48为直线力4与平面的公垂线，

因此直线力为到平面BCG位的距离为48=6cm;

(3)因为在K方体ABCO-A&GDi中，侧棱和底面垂直，

即/M〔J■平面4BCO,AAA平面4IB】G0I,

所以平面R8CD与平面48165之间的距尚为=3cm;

故答案为：4cm;6cm;3cm.

【点睛】本题主要考查长方体中，点到面、线到面，面到面的距离，熟记长方体结构特征即可，属于常考题型.

【典型例题2】如图，在长方体A8CD-4B£D］中，设力8=3,BC=2,AAt=1,则点B到面40。送1的距离为

,直线AC与面481GD］的距离为,面48841与面DCGD］的距离为.

4G

【答案】312

【解析】在长方体4BCD-4道传1，中,AB上面儿&不。”可求点B到面力。5&的距离，4cli面力出道1。1，则直线

AC上任意一点到面A054的距离相等，从而可求解.面A88遇］与面OCCA平行，又8C与面面DCG5都

垂直，则线段BC的长度为所求.

在长方体ABCD-48iCiDi中,AB1面4B1QD1，

所以点B到面/10劣4的距离为=3

即点B到面力。5儿的距尚为3.

4；II面4/iGDi,

则直线上任意一点到面力的距离相等。

由叫1面AOO/i,

所以点力到WWD14的距离为44=1

所以直线AC与面4/GO］的距离为1.

面ABB/1与面0CGQ平行，

且8c与面力8814、面DCGDi都垂直

所以线段BC为面与面DCG2的距离

故面48当4与面0CGD1的距离2.

【点睛】本题考查长方体中的点面、线面、面面距离，属于基础题.

【典型例题3】在长方体力BC0-4记住1。1中,AB=4,BC=3,44=5,则直线BC到面48传1必的距离为

直线8cl到面4D54的距离为;面48841与面DCG。］的距离为.

【答案】543

【解析】直线BC到面4/］CiD］的距高为BB］,直线BC1到面的距离为48,面到面DCCWi的距离为8C

可解.如图

直线BC到面48道道1的距离为88】=力4=5;

直线BQ到面ADD/i的距离为A8=4;

面力BBMi到面DCG。］的距离为8。=3.

故答案为：5;4;3.

【点睛】本题考杳线面距离和面面距离,属于基础题.

【变式训练7-1】棱K为2的正方体ABC。—A9C77中，。是平面A4—C。内一点，则点。到平面AB'CT/的距

离是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式训练7・2】在长方体/WC0-48]GQ中，M,N分别为GA,AB的中点，715=4,则MN与平面BCG/

的距离为()

A.4B.2\[2C.2D.V2

【变式训练7・3】已知正方体ABCD-A瓦GA的棱长为1,则平面BBCC和平面的距离为.

【变式训练7-4】在长方体4BCD-AiB£Di中,E,F,G,H分别为44“BBltCClt的中点,AAt=4,则

平面ABCD与平面EFGH的距离为.

【变式训练7-5】线段AB长为5cm,在水平面上向右移动4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3cm

后记为C'D',再将C'D'沿水平方向向左移动4cm后记为A'B',依次连接构成K方体ABCD-A'B'C'

D'.

(1)该长方体的高为cm;

(2)平面A'B'BA与平面CDD'C'间的距离为cm;

(3)点A到平面BCC'B'的距离为cm.

【变式训练7-6】如图，长方体ABC。—的楂AA、