广东省2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025.2026学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

，我B.

2.若%1，&是方程/+2%-4=0的两个实数根，则（）

A.+%2=-2,x1x2=—4B.勺+%2=2,xrx2=-4

C.+x2=—2.x1x2=4D.石+工2=2，x1x2—4

3.关于抛物线y=—5/+3,下列说法错误的是（）

A.弛物线开口向下B.当x=0时，），有最小值为3

C.原点坐标是（0,3）D.当％>3时，），随x的增大而减小

4.如图，把AABC绕着点A顺时针方向旋转34。，得到△A8'C',点C刚好落在边B'C'匕则乙C'=（）

A.56°

B.62°

C.68°

D.73°

5.如图，44为。。直径，点C、。在。。上，如果心力BC=70。，那么ND的度数为（）

A.20°

B.30°

C.35°

D.70°

6.已知点4（3,yi）,8（—4①），a5,乃）均在抛物线〉=2/+4%+7?1上，下列说法中正确的是（）

A.y3<y2<%By2<yi<y3c.yi<y3<y2D.yr<y2<y3

7.在平面直角坐标系中,点P坐标（3,-4）,以尸为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是

)

A.原点O在。P内B.原点。在。P上C.与x轴相切D.0P与），轴相切

8.已知线段48=10cm,则经过A,8两点且半径为6c〃?的圆有()

A.0个B.2个C.1个D.无数个

9.如图，以A3为直径作半圆。C是半圆的中点，尸是弧上一点，若/18=10V7,PB=2,则尸C长

为()

A.6

B.1072-2

C.8

D.6/2

10.二次函数y=a/+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为(-2,-9a),下列5个结论：①abc<0：

②4a+2b+c>0；③5a—b+c=0；④若方程a(x+5)(%-1)=-1.有两根为与和不，且％1<%2，则

-5<%!<x2<1：⑤若方程|a、2+bx+c\=1有四个根，则这四个根的和为一8.其中正确结论的个数是

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.在平面直角坐标系xOy中，已知点4的坐标为(1,2),点3与点A关于原点对称，则点8的坐标为—.

12.如图，是。。的半径，弦J9C。4于点。，连接08,若00的半径为5a〃，5C的长为&5，贝AD

的长是___cm.

13.抛物线y=-0.5/+.+3的部分图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围为

14.如图，48是。0的直径，C。是。。的切线，切点为。，直线C。与AB的延长线交于点C,若乙4=

30°,40=6,则8c的长度为一.

15.如图，平面直角坐标系x。)，中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形A/3c。的边AQ在)，轴正半

轴上边，B、C在第一象限，且A(0,2),8(4,2),将正方形相C。绕点4顺时针旋转以0。＜aW90。)，若点

B的对应点区恰好落在坐标轴上，则点。的对应点G的坐标为

16.如图，在中，^ACB=90°tABAC=30°,FC=3.线段8C绕点8旋转到8。，连接AD,E

为AO的中点，连接CE,则CE的最大值是—.

三、计算题：本大题共1小题，共4分。

17.解方程：%2-4%-5=0.

四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，讦明过程或演算步骤。

18.(本小题4分)

如图，在边长均为I个单位长度的小正方形组成的网格中，点公，B,。均为格点(每个小正方形的顶点叫

做格点).

(1)作点4。(一1，-1)关于原点O的对称点A；

(2)连接AC,A8得△?1加•,将△43。绕点A逆时针旋转90。得△ABC，画出旋转后的△48©；

(3)在(2)的条件下，点名的坐标是.

19.(本小题6分)

如图，A。平分NCAE交。。于点。，48为。。的直径，过点A作AE12于点E,延长AB交直线/于点C.

(1)求证：直线/为。。的切线；

(2)若BC=1,DC=2,求。。的半径.

20.(本小题6分)

如图，将△48C绕点C逆时针旋转90。至△DEC的位置，此时A、B、。三点共线.

⑴求“48的大小；

(2)若BD=6,DE=2,求AC的长.

21.（本小题8分）

如图，AC为。0的直径，A。为0。的弦，/.DAC=60°,AD=3.

（1）尺规作图：作乙ADC的平分线交。。于点B（保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下,

①求4cB=_____。（直接填空）；

②求的长.

22.（本小题10分）

某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每

天的销售量y（千克）与每千克售价分数据如表：

伸介x（元/千克）506065

销售量y（千克）1008070

（1）求），与％之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为w（元），求卬与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；并求出售价为多少元时

获得最大利润，最大利润是多少？

23.（本小题10分）

如图，抛物线y二一产+匕工+^:与^轴交于人、B两点（点八在点4的左侧），点4的坐标为（一1,0）,与y轴

交于点C（0,3）,作直线8C,动点尸在x轴上运动，过点尸作PM1不轴，交抛物线于点M,交直线BC于

点M设点P的横坐标为m.

⑴求抛物线的解析式和直线BC的解析式：

（2）当点尸在线段03上运动时，求△M8C面积的最大值及取得最大值时点M的坐标；

（3）当点。在线段。4上运动时，若△CMN是等腰三角形时，直接写出小的值为______.

24.（本小题12分）

（1）如图1,在正方形人“CO中，点M”分别在边AC、C。上，连接AM、AN、MN,/M4N=45。，请

你探究线段。M、用V与MN之间的数量关系（直接写出答案）：______

（2）如图2,在正方形ABC。中，点E,尸在对角线BD上，且4EAF=45。，请你猜想线段BE,EF,FD之

间的数量关系，并证明.

（3）如图3,正方形ABC。的边长为5，2,点P为边C。上一点，PEJ.BD于E,Q为BP中点,连接CQ并

25.(本小题12分)

己知二次函数y=x2-2mx+mz-2,点PO,2TH).

(1)若点尸在二次函数y=x2-2mx+m2-2的图象上，求m的值；

(2)当点P所在的直线与二次函数y=x2-2mx+m2-2的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标;

(3)已知Q为抛物线对称轴上一点，以PQ为边作矩形使点E为矩形PQMN的对称中

心，若抛物线与矩形PQMN的边恰有两个公共点时，求〃?的取值范围.

答案和解析

1.【答案】C

2.【答案】4

3.【答案】B

4.【答案】。

5【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】（一1,一2）

12.【答案】2

13.【答案】％<-3或%>1

14.【答案】2<3

15.【答案】（24+2,20）或（4,一2）

16.【答案】£

17.【答案】解：X2-4X-5=0,

(x-5)(x+1)=0,

%-5=0或3+1=0,

则Xi=5,x2=-1.

(1)证明：连接O。，BD,如图所示:

CDEI

•••40平分W&4E交。。于点D,

Z.OAD=Z.EAD,

•••4B为。。的直径，

•••GA=0D,

:.Z.OAD=Z.ODAf

二LEAD=Z.ODA,

/.GD//AE

•••OE1直线/,

•••ODL直线I,

又T。。是OO的半径，

•••直线/为。。的切线；

(2)解：设。。的半径为七

•••4B为。。的直径，

AAB=2R,

•••BC=1,DC=2,

•••AC=AB+BC=2R+1,

由(1)可知：直线/为。。的切线，

由弦切角定理得：乙CBB=LCAD,

又•••乙BCD=Z.DCA,

CBDSACDA,

.CD_BC

,AC=CD'

.2_1

'•2R+1=2*

解得：R=1.5.

.••0。的半径为1.5.

20.【答案】解：(1)由旋转得4C=DC,4ACD=90。,

•••/、8、。三点共线，

・"CAB=/.CDA=45°,

皿8的度数是45。.

(2)由旋转得0E=45=2,

vBD=6,

二40=48+BO=2+6=8,

-AC=DC,乙4CD=90°,

:.AD=y/AC2+DC2=y/lAC=8,

•••AC=4\/~2,

.••/C的长为4心

D

21•【答案】（1）如图，射线。8即为所求;(2)①45；②

【解析】解：（1）如图，射线。A即为所求;

(2)①•••DB平分〃DC,

Z.ADB=乙CDB,

:，AB=，

:.AB=BC,

•••4C是直径,

/.ABC=90°,

•••Z.ACB=Z-BAC=45°.

故答案为:45；

②HC是直径，

ALADC=90°,

vZ.DAC=60°,

/.ACD=30°,

二AC=2AD=6,

:.AB=BC=4AC=3>TL

22.【答案】

解：（1）设丫=kx+b，由题意,

彳旦150k+b=100

付160k+匕=80

解瞰：忝

.,•所求函数表达式为y=-2x+200(40<x<68)；

(2)根据题意得：

IV=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40<x<68,

v-2<0,

...当40±％$70时，W随x的增大而增大；

故当售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元.

23.【答案】

解：(1)将点4(一1,0)、C(0,3)代入抛物线y=—/+bx+c,

得卜-1)2+6(-l)+c=0,

K：3"

抛物线解析式为y=-X2+2X+3,

令)，=0,则―/+2%+3=0,

解得%i=-1小=3,

故点8(3,0),

设直线“C解析式为y=kx+3,

将B(3,0)代入得3k+3=0,

解得k=-1,

直线BC解析式为y=-x+3；

(2)由题意，点P(m,0),

则M(zn,一/+2m+3),N(rn.-m+3)»其中0<m<3,

MN=(一〃J+2m+3)-(-m+3)=-m2+3n,

09

02+

配方得MN=-(m4-

4T

当n=2时，MN最大值为w，

i3

S&MBC=S^MNC+SAMNB=,MNxOB=,MN,

・••兰MN最大时，S^MBC最大，最大值为K

o

将m='代入-Tn?+2m+3,得?，

24

故M的坐标为©片)；

(3)由(2)知MN=-m2+3m,点C(0,3),点M(m,-爪2+2m+3),点N(m,-7n+3),

CM=y/m2+(-m2+2m+3-3)2=y/m2+(-m2+2m)2,

CN=y/m2+(—m+3—3)2=Vm24-Tn2=y/-2m,

2

当MN=CM时，—Tn?+3m=m2(^—m24.2m'),

解得m=2(m=0舍)；

当MN=CN时，—m?+37n=Cm,

解得m=3-JI(不合题意舍)，

当CM=CN,yjm2+(-m2+2m)2=yj~2m,

解得m=l(m=3舍去)，

综上zn=1或2.

24.【答案】

解：（1）将△AMD绕点A顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△力8E,

:.AANMQAANE,

：.AE=AM,BE=DM,

v/.MAE=90°,Z-MAN=45°,

AAEAB+乙BAN=/.DAM+乙BAN=45°,

•••/MAN=乙EAN=45°,

在△EAN和△MAN中,

AE=AM

乙EAN=乙MAN,

AN=AN

:.〉EAN二〉MAN(SAS),

MN=EN,

•：EN=BE+BN,

DM+BN=MN,

故答案为：DM+BN=MN；

(2)EF2=BE2+FD2；

证明：如图2,将△49F绕点A顺时针旋转90。得到△48Q,连接QE,

图2

•••匹边形ABCO是止方形,

：•/.BAD=90°,Z.ADB=Z.ABD=45°,

vLEAF=45°,

ADAF4-Z.BAE=Z.BAQ+Z.BAE=45°,

:.Z.EAQ=Z.EAF=45°,

在△瓦4Q和△瓦4尸中，

AE=AE

Z.EAQ=LEAF,

AQ=AF

•••△EAQ以EAF(SAS),

:.EQ=EF,

•••Z.ADF=Z.ABQ=45°,

/Q8E=90°,

­.EQ2=BQ2+BE2,

BQ=DF,QE=EF,

:.EF?=BE?+FD2；

(3)连接QE,CE,

AD

E

、、:iJ

G图3

•••匹边形ABC。是正方形，

Z.BCP=90°,4D8C=45°,

•••PE1BD,

•••乙PEB=乙PCB=90°,

••・Q为BP的中点，

:.QE=QB=QP=QC,

:.乙PQE=2乙DBP,Z.PQC=2Z.CBP,

:.乙CQE=Z.PQE+乙PQC=2(乙DBP+乙CBP)=90°,

AQE1QC,

将ADCE绕点C逆时针旋转90。得到△BCG,连接尸G,

^LECG=90°,EC=CG,LCBG