广东省东莞市七校2025-2026学年高二年级上册联考数学试题（解析版）

广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.

1.椭圆16/+25/=400的焦点为()

A.(±4,0)B.(0,±3)C.(±3,0)D.(±5,0)

【答案】C

【解析】椭圆方程为16/十25)，2=400,即三十二二1,

.2516

可知/=25,"=|6,且焦点在工轴上，

则。=>/^万=3,所以焦点坐标为(士3,0【

故选：C.

2.若平面。的法向量为〃=(-1,2,4),平面△的法向量为□=(〃?,-1,-2),直线/的方向

向量为，则()

A.若a//尸，则加=1B.若/_La,则〃=2

C.若〃=一20,则///aD.若m=一10,则。_L/?

【答案】D

【解析】对于A,由。//夕，得〃//仃，则型=?=三，解得〃2=[,故A错误；

-1242

n-2-4

对于B,由/JLa,得/〃〃，则——=—=—,解得〃故B错误；

-124

对于C,由〃二一20,得f=(-20,-2,-4)/•«=20-4-16=0,r_L〃，则///a或/ua,

故C错误；

对于D,由〃?=一10,得1；=(-10,—1,一2),“，=10-2-8=0,“_1口，则a_L〃，故D正

确.

故选：D.

3.若直线X十y-〃z=O被圆C：(x-iy+()，+l)2=4截得的弦长为2&，则，〃二

()

A.±2B.72C.2D.2y/2

【答案】A

【解析】由题意可得圆的圆心为。(1,一1),半径R=2，

卜时一帆

则圆心到直线x+y一加=。的距离d正一正

又因为截得的弦长为20，

所以讨代-屋=2及，

化简得4-解得加=±2.

故选：A.

4.如图，二棱锥O-ASC中，OM=-OABN=CN,点、G为MN的中息,记

3f

0A=a,OB=b，OC-c，则OG=（）

B-J+L

664

1-iI-

D.—a+—br+—c

466

【答案】C

【解析】连接ON,

因为点G为政V的中点,

所以诟=，丽+，丽丽五］=」函+，0豆+，能

22232(22J644

—11-1

即OG=-"-〃+-W,.

644

故选：c.

5.如图，在正方体中，M为A8的中点，N在线段CG上，且

C、N=2NC,则。4与MN所成角的余弦值为（）

C.且D.3

2121

【答案】D

【解析】根据题意，可以。为原点，。4。。,。。所在直线为工，乂2轴，建立空间直角坐

不妨设48=6,则。(0,0,0),4(66,6),M(6,3,0),N(0,6,2).

所以=(6,6,6),MN=(-6,3,2).

设直线DB、与MN所成的角为〃,

\DB}MN|-36+18+12|百

则cos6=cosDB、,MN

04HMN673x7=7T

故选：D.

6.已知圆C:（x-3）2+），二=9,。是圆。上的动点，点E（2,4）,若动点M满足=9，

则点M的轨迹方程为（）

A.(x-1)2+(y-2)2

B.(x-l)2+(y-8)2=9

C.(x-5)2+(y-8)2=9D,(x-8)2+(y-l)2=9

【答案】B

【解析】设点M(x,y),由DE=EM，得E为线段DM中点，则点。(4-x,8—y),

而点。在圆。上，因此(4一%一3)2+(8-)，)2=9,即。-1)2+()，-8)2=9,

所以点M的轨迹方程为(x-l)2+()，-8f=9.

故选:B.

7.已知匹，乃是椭圆。的焦点，A，8分别是C上第二、四象限上的点.若四边形鸟

为矩形，则C的离心率的取值范围是()

【答案】D

【解析】如图:

取椭圆的上顶点。，因为存在A,A分别是。上第二、四象限上的点，使得四边形

71

4耳3尼为矩形，所以必有/月。工＞].

即N£DO>：=>c>/?.

c21

所以/>从n一02n2c2>/n>>—.

cr2

所以c=£〉也，又椭圆的离心率e<l,

a2

所以变<e<l.

2

故选：D.

8.数学家莱莫恩(Lemoine)在1867年发现并证明：过VABC的三个顶点AB,C作它的

外接圆的切线分别和边8C,C4,A3所在的直线相交于点P,Q,R,则三点P,Q,R在同一直

线上.这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系x。）'中若某三角

形三个顶点的坐标分别为4（0,1）,8（-2,0）,。（0,—4）,则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线

方程为（）

A.2x+3y-8=0B.2x+3y+8=0

C.2x-3y-8=0D.2x-3y+8=0

【答案】D

［解析］'ABC的外接圆方程设为炉+y2+Dx+E>+F=0,

1+E+F=OD=0

解得«E=3,

4-2D+F=0

16-4E+F=0F=-4

•••外接圆方程为d+y2+3y—4=0,即/+2=2,

I2；4

故外接圆的圆心坐标为（。,一|）,故外接圆在4处切线方程为>=1,

又6。：卷+1=1,令y=l得，x=-|,

在C（0,-4）处切线方程为y=-4,

X

又+y—令y=-4彳导％=—10,

y+4_x+10

则三角形的Lemoine线的方程为77了=5in,即2x-3），+8=0.

--+1U

2

故选：D.

二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.下列说法止确的是（）

A.直线y=x-l在丁轴上的截距为1

B.直线《：Qx+2y-l=0与/,:工+（。-1）），十1=0平行，则它们之间的距离为逑

4

C.经过定点A（0,2）的直线都可以用方程》=丘+2表示

D.点C（2,3）关于直线x-y=l的对称点是（4,1）

【答案】BD

【解析】对于选项A：直浅在>轴上的截距为-1,故A错误;

对于选项B：由两直线平行可得：。(〃-1)=2,解得：。=一1或。=2,

若〃=一1,直线4：x-2y+l=O与/2：工-2)，+1=0重合，不合题意

若。=2,直线/1：2x+2y-l=0与/2：21+2)，+2二0平行，符合题意，

综上所述：。=2,它们之间的距离为—J===——»故B正确：

VFT?4

对于选项C：当经过A(0.2)的直线斜率不存在时，即方程为工=0时，无法用方程

)，=依+2来表示，故C错误；

对于选项D：设C(2,3)关于直线/一)，=1的对称点为C(九〃),

n-3,

m=4

则《〃+3「解得：’

n=\

22

即。(2,3)关于直线.♦)，=1的对称点为(4,1),故D正确.

故选：BD.

2

10.已知圆G：(x—4)2+()，-5)2=16,C2:(x-m)U(y-n)=rf下列结论正确的是

()

A.若〃=1且两圆内切，则圆心的轨迹方程为(工一4)2+()，-5)2=9

B.若6=4=1,/=3,则两圆有3条公切线

C.若〃?=〃=1,r=3,则两圆的公共弦所在直线的方程为3x+4y-16=。

D.若〃7=〃=0/=1,A8为圆C2的直径，。为圆G上的动点，贝川夕4+尸目的最大值为

a+4

【答案】AC

【解析】A.C,:(x-4)2+(y-5)2=16,圆心(4,5),r=4

222

C2：U-/«)+(y-/?)=r,圆心(〃▼),r=1,两圆内切，所以圆心间距离等于导径

相减，所以(机一4『+(〃—5)2=(4—11=9,A选项正确.

B.圆心间距离为”=J(4-+(5-1『=5,因为4-3<4<4+3,两圆相交，故有2条

公切线，B选项错误.

22

C.C,:(X-4)+GV-5)=16,C：(XT)2+G」1)2=9圆心间距离为d=J(4-iy+(5-l『=5,

因为4-3<"<4+3,两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程3*+4），-16=0,

故C选项正确.

D.也+网印仁卜核的最大值为CC+4二而N7忑工7+4=«+4，

所以最大值为2a+8,故D选项错误.

故选：AC.

11.在棱长为2的正方体ABCD-A-CQ中，点一满足加“匹+〃皿（&［0,1］,〃引0』），则

下列结论正确的是（）

A.当几二1,〃工。时,匕）=匕*-A/

19

B.当力=1,〃=不时，平面截正方体所得的截面的面积为不

乙乙

C.若4=g且=则当Q4+PE取得最小值时，

D.若点P在以A3的中点O为球心，石为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为兀

【答案】ABC

【解析】以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

。（0,1,0）,A（0,0,1）,DP=ADC+^DDy=（（）,%〃）（％£［（）4］,4£［（）4］）.

A选项，当九=1,410时,P（O,1,^）（O<//<1）,

则P线段CC］上，=%-0小夕，匕­。=^C-DI4P

根据正方体的性质可知，BC//AP，

所以8到平面。4。的距离等丁C到平面D}A.P的距离，

所以VB-RM=^C-DtAtP，则VDI-ABP=%-AC尸»所以A选项正确.

B选项，当4=1,"=』时，"是CG的中点，设尸是G0的中点，

2

连接A尸,PF,则PF//CDJ/AB,

所以平面48P截正方体所得的截面为等腰梯形48尸产,

PF=nAB=2厄AF=BP=B

P尸到AB的距离为=f2L

所以截面面积为邑2%匹=2,所以B选项正确.

设M,N分别是CD，GA的中点，连接MN,则P在线段A/N上,

由于B£=；BB；,所以E是84的中点，则石（2,2,1）,

连接A\N,B、N,AM,BM、AP,PE,

将四边形AMN%与四边形BMNB,展开成平面图形如下图所示,

连接AE，交.MN于P,由图可知Q4+总的最小值是AE，

PM111

此时----=—,PM=一,对应〃二一，所以C选项正确.

BE224

D选项，依题意，DP=ZDC+JLJDD,(AG[0,1],//e[0,1]),

则户在正方形SAG上，

AB]^A]B=O,设GOcC2=a，连接OO],则。«=2,

若点。在以的中点。为球心，行为半径的球面上，

J(^)-2?=i，

则OP=Bqp=

所以点〜的轨迹是以。।为圆心，半径为1的圆，长度2兀，所以D选项错误.

故选：ABC.

二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，线段A3,3。在平面a内，ACJ.a,NA8D=60°,且AC=J5,48=4,80=5,

则卬=

【解析】连接A£>,如图，在△48。中，根据余弦定理有：

AD=VAB2+BD2-2ABBDcosZABD=^16+25-2x4x5x1=721,

因为ACJ_a,AOua，所以AC_LA。，所以CD=JAC?+92=,3+21=2瓜

故答案为：2G.

13.已知实数X>满足x-y=0,则而2+9一8.2)，+17+&+/一10%一分+29的

最小值为.

【答案】2K

【解析】y]x2+y2-Sx-2y+\7=^（A:-4）2+（y-l）2,

J/+）J。­4y+29=J（x_5『+（y-2）,

则Jf+y2-8x-2y+17+&+），2-心-4）,+29表示：直线x一3=。上点P（x,y）到

点A（4,l）和g2）的距离之和的最小值，

如图所示：

设点A（4,l）关于直线x-y=0的对称点为4（机,n）,

4+1+〃「

22m=l/、

得小，解得〃:4,得AM），

.w-4

则7^2+/-8x-2y+17+7x2+/-10x-4y+29

=\PA\+\PB\=\PAf\+\PB\>\A!B\=^/（1-5）2+（4-2）'=275，

等号成立时，A',P,8三点共线，

故答案为：2石.

14.如图，“爱心”图案由函数/（x）=—/+4的图像的一部分及其关于直线〉=一工的对称

图形组成，点例是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线）'=一工的对称点，连接

MN,则|MN|的最大值为.

1772

【答案】

4

【解析】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线x+），=0距离的

最大值的2倍,

由对称性不妨设点为图案上V=-X上方的点，联立y=-/+4与V=-%,

得丫2-*-4=（）,解得：匕姮匕姮，所以图案在y=一%上方的点的正坐标

22

.1-V17l+VF?

为-------<x<-------，

1-V171+V17

设图案在），=一工上方的点加（工一/+4）,•------<x<-------

则点M到直线x+y=0的距离为卜一一+4|取得最大

什17175/2

值—/==-----

4>/28

所以|MN|的最大值为32.

故答案为：U:2

4

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCO-Aq中，£尸分别是平面A片，平面AG的

（2）求尸一A8CR的体积.

（1）证明：在正方体ABC。-AMG。中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则BQ,2,0),G(0,2,2),£(2,1,1),F(1,1,2),BCX=(-2,0,2),EF=(-1,0,1),

因此8C；=2M,即8G//£五，即BCJ/EF,

所以民q,F,E四点共面.

(2)解：正方体ABCQ-AMGR的对角面AACR为矩形，且Sys=2x26=40

由⑴知，4(2,0,2),8(2,2,0),C(0,2,0),尸(1,1,2),

例=(0,-2,2),BC=(-2,0,0),BF=(-1,-1,2),

n-BA.=I-2v+2z=0

设平面A8C"的法向量n=(x,%z),则

n-BC=-2x=0

令y=l,得〃=(()/」)，

因此点F到平面A8CA的距离d=।=七=当

所以E-ABCR的体积是％=J_x4&x交=*.

r-/ij/>C/>|323

16.已知圆C:(%+1)2+(y+2)2=9,直线/:(2w+l)x+("2+l)y-7帆一4=。

(I)求证：直线/恒过定点Q；

(2)当圆心C到直线/的距离取得最大值时，求机的值：

(3)当〃?=0时，尸为/上一动点，过尸作圆。的两条切线，切点分别为A3.求四边形

B4C台面积的最小值.

(1)证明：由(2〃2+1)工+(〃2+1))，一7〃2-4=0得用(2刀+丁-7)+。+)，-4)=。

[2x+y-7=0(x=3

由4V得1-

[x+y-4=0[y=1

所以直线/恒过定点。(3,1).

(2)解：由(1〉知，当/J_QC时，圆心。到直线/的距离取得最大值，易知圆心为Q—L—2).

-2-1342m+14

因为=所以片=一一，即一

-1-343ni+\3

解得机=」.

2

（3）解：当加=0时，直线/的方程为%+），-4=0,故可设P（a,4—。）.

圆的半径，•=3,SPACB=2S%c=2x||PA|-\AC\=3\PA\=3加「-9.

|-1-2-4|_7

圆心到直线的距离d二

所以|PC「2/=j,所以§.号—9=|疝.

a

即四边形P4CB面积的最小值为二年.

2

22

17.已知双曲线C:「一马=1（。>（）,6>0）过点P（3,四）,左右焦点分别为

a~Zr

月（一2,0）,g（2,0）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线。右焦点B作斜率为1的直线/,/与双曲线c交于A,3两点，求|AB|；

（3）若。是坐标原点,M,N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为常数〃（氏。0）,

线段的中点为Q,求直线OQ的斜率.

解：（1）根据题意可得c=2,

2〃=归用-|尸刚=|历一闽=24,

所以。=6,b1=c2—a2二1,故双曲线。的方程为^

3

（2）直线/的方程为y=x-2,

y=x-2,

设4（内，乂）,8（占,%），由,2得2f—12尤+15=()，

马X2』1，

2

J=(-12)-4x2xl5=24>0,x1+x2=6,^x2=y

（3）设加（鹏,力），'。4，以），则筋

刍一工4

>3=L

两式相减得(巧-%)(1+Z)-3(%-%)(%+乂)=。・

),4=1，

设P（%为）,则，所以2%）（&-兀）一3）＜2%（%一”）=0，

%+>4=2加

即33%Q=0,所以演「3'=。，所以直线”的斜率

18.已知两个非零向量〃,力，在空间任取一点。，作。4=Q,0B=〃，则NAO3叫做向量

4与〃的夹角，记作〈。,力〉.定义〃与〃的“向量积”为〃x/?：ax/?是一个与白、b都垂直

的向量，且它的模ax〃=\a\-b如图，在四棱锥夕一43co中，底面为矩形,

尸。_1底面从8。。，04=。0=4,4区=2,£为线段八。上一点.

⑴求ADxBP

（2）若七为线段AO的中点，求二面角P-EB—A的正弦值;

（3）线段。4上是否存在一点M,使得AOx8P=/lEM，若存在，请求出㈤的值：若

不存在，请说明理由.

解：（1）因为底面A8CZ）为矩形，所以AO//3C,BC±DCt

又PO_L底面ABC。，BCu底面ABCD,

所以PD上BC,又PDcDC=D,PD,DCu平面PDC,

所以3C_L平面PDC,

又PCu平面0OC,所以8C_LPC,

因为AO//3C,所以NP8C为直线与依所成角，即AO,8P=NPBC,

在直角乙尸BC中，AB=2,PC=26PB=6.

所以sinZ.PBC=,

PB3

ADx8P|=|AZ)|-|BP|-sin〈AO,=4X6X^=8N/5.

(2)因为/>£)_L平面ABS且A8CQ为矩形，

所以可如图建立空间直角坐标系，

则44,0,0),5(4,2,0),E(2,0,0),P(0,0,4),

PE=(2,0,-4),P5=(4,2,-4),

设平面PBE的法向量m=(x,y,z),

thPE=2x-4z=0

则一，

m-PB=4x+2y-4z=0

令z=l，得戈=2,y=-2戈=2,y=-2所以〃?=(2,—2,1),

因为_L平面/WE所以平面A的的法向量可取〃=(0,0.1),

设二面角P-5E-A的平面角为。RiJ|cos0\=

Q所以sin。二逆

所以sin?6=1-cos20--

93

所以二面角P-BE-A的正弦值为冬叵.

3

(3)依题意，(AOx8P)_LAQ,(ADxBP)LBP,

又=，

所以EM_LA£>，EMA.BP,

设召(a,0,0)(00。04),PM=rPB(0<r<l),

则"(47,2f,4—4，)，所以EM=(4r—a,2f,4—4r),

EMDA=4(4t-a)=0

由《,

[EMPB=4(4,一4)+4-4(4-4f)=0'

A16124J,代

得，==,。二~7,所以EM=(0,=,=),E加=坟，

55555

由(1)知4/x明=8石.

卬―86

又因卜0x3,=回•归必，所以四一而