广州市2026届高三年级调研测试数学试卷（含答案详解）

★启用前注意保密试卷类型：B

2026届广州市高三年级调研测试

数学2025.12

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用28

铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔

和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知复数z=12+13,则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合从二{1,3,4},B={1,4+2},贝I」“。=2”是”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.假设某次考试的成绩服从正态分布N(85,9”.如果按照16%,34%,34版16%的比例将考试成绩从

高到低分为A,B,C,D四个等级，则4等级的分数线约为(若则P("-oVXW"+o)

、().68,P("-20VXW〃+28^0.95)

A.76B.88C.94D.103

4.由曲线/+y2=|"围成的图形的面枳为

nn

A.-B.-C.7rD.2%

42

5.已知a,“都是第二象限角，且==

A.-1B.1C.in2D.-m2

数学试卷B第1页(共4页)

6.已知△ABC的外接圆圆心为。，且OA+OB=OCf^l而在乙?上的投影向量为

A.CAB.—CAC.CAD.—CA

7.有编号为1,2,3的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数

不大于其编号，则不同的放法共有

A.26种B.32种C.38种D.44种

8.记民］表示不小丁大的最小整数，例如［1.5］=2.奇函数/（人）满足当A<（）时，

/（X）=x2+ax（a>0）.若关于x的方程/（x）=厂［x］在（0,3］上恰有两个不同实数根，则。的

取值范围为

3

A.(0,2]D.(0,1]U(2]

UM乙

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数/（x）=2s出（3%+）（田）0,||<g）的部分图象如图所示，则

B於）在区间样图上单调递减一吊3/r

C.的图象关于直线x=等对称J\J

D.将/（2的图象向右平移〃9个单位长度后得到函数g（x）的图象，则gG）为奇函数

10.已知O为坐标原点，抛物线（C:y2=2px（P>0）的焦点为F点从-2,0）在C的准线上，过A

的直线与。交于不同的两点M,N,则

1,11

A.p=4B.-ON=20c•辞加-----1-----=-

\MF\|NF|2

11.己知函数.f（x）=max（m）0,a>1）,过点Ai（.q,/（小））作曲线y=f（x）的切线交x轴

于点/（12,。），过点A2（12,/（12））作曲线y=f（x）的切线交工轴于点82（x3,。），

依此类推,得到Antxfl,f（xn））,8〃（x〃+1,0）,则

A^数列tr〃｝是等差数列B.当a>返且工九>0时，xn+1>lnxn-2

CI力八为I'l^n+2^n+2I<I力71+1%+1-D.记♦】面积为SH,则Sn-Sn+2=5n+1

数学试卷B第2页（共4页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数一⑴二欣(10斗1；-以是偶函数，则实数〃二.

13.某校高三年级举行4X10。米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛

制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班

未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是.

14.已知向底的两个正六校锥P-ABCDEF^WQ-ABCDEF的顶点都在问一个球面.匕若正六校锥

P-ABCDEF的侧面与底面所成角为60°,则正六棱性Q-ABCDEF的侧棱与底面所成‘角的

正切值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△A6C+1,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2一瓦5•前=一方be.

(1)求角A的大小；

(2)若B=，△/1BC的面积S=75+1,求b的值.

16.（15分）

如图，在直三棱柱/1BC-力中，AB^BC,AB=AA1=2,BC=lf~AE=XAC,

中=入无瓦其中0V/IV1.

(i)当义=$寸，求证：EF〃平面ACC$i；

(2)当2为何值时，E尸的长最小，并求其最小值;

(3)当E/的长最小时，求平面4Er与平面.BCGBi夹角的余弦值.

AB

数学试卷8第3页(共4页)

17.(15分)

已知函数/(x)=(a“l)ex.

(1)当时，讨论函数/金)的单调性；

(2)当时，不等式/(x)＜人-2没有正整数解，求实数〃的取值范围.

18.(17分)

已知椭圆/：4+4=1(44。)的左顶点为A,下顶点为B,长轴长为4,且过点

(嚼：

(1)求〃的方程；

(2)点夕为椭圆「在第一象限上任一点，直线AP交)，轴于点C,直线8P交x轴于点D.

G)若四条直线AP,BP,AB,CO的斜率分别记为七,七，口,储，证明：k]k2=k3k4

Gi)记△PC。的面积为工，四边形A8OC的面积为Sz,求名的最大值.

19.(17分)

已知数列｛〃〃｝为无穷数列，前〃项和为％.

⑴若的=l,Sn=Q九+i，求｛〃”｝的通项公式；

(2)是否存在等差数列｛〃“，使％＜册+1?若存在，请写出一个满足条件的通项公式。若不存

在，请说明理由：

(3)若数列｛即｝为等比数列，公比为力且满足又＜%+1,求q的取值范围.

数学试卷B第4页(共4页)

2026届广州市高二年级调研测试

数学答案与解析

一、选择题（每题5分，共40分）2025.12

1.答案：C

解析：先计算复数z=i2+i3,根据虚数单位性质i2=-l,i3=j2-i=-i,所以

在复平面内，实部为（T）,虚部为（T）,对应点坐标为（T「l）,位于第三象限。

2.答案：B

解析：充分性：若。=2,则8=1,4,AU6=1,3,4;A,充分性成立。

必要性：若则5G4,所以a+2=3或a+2=4,解得a=1或所2,必要性不成立。

故2”是“AU8=A”的充分不必要条件。

3.答案：C

解析：已知成绩服从正态分布N（85,92）,

则〃二85,产9。（A）等级占比（16%）,

即P（X>2）=0.16o

.__,八小.、1—P（〃-CTVXW〃+（T）1—0.68r\^

由正态分布对称性,P+。）=------------------x---=0.16,

所以归《+^85+9:94。

4.答案：B

解析：将曲线方程%2+y2=1xI变形为（%+丫？=（J，

表示以（（30）和（一30）为圆心，半径为：的两个半圆。

每个半圆面积为［4产=X=£

2L\2/o

总面积为2X三=5。

82

5.答案：A

解析：因为tana=m,tanp=所以tanatanp=1,

sinasinp.

即----------=1,得sinasinB=cosacosB

cosacospy

即（cos（a+夕）=cosacosp-sinasinp=0。

又a,。都是第二象限角，所以乃<a+/?<2万，故a十夕二三，5,（。+1）二-1。

6.答案：D

解析：由次f+丽=沆，两边平方得I不？』+|而|2+20A-0B=\0C\2.

因为（。）是外接圆圆心，所以I耐1=1而1=1沆l=R，代入得力（•南=一?，

则/A08=120°,NACB二60°。

又|加二|3|=R，在CA）上的投影向量为函cos（18（T-60。）•蒜二-:球L

7.答案：D

解析：分情况讨论小球放入盒子的个数：

-情况1：

（1,1,2）分布。因为每个盒子个数不人于编号，（2）只能放入（2）或（3）号盒。若⑵在⑵号

盒，有。42力22=12种；若⑵在⑶号盒，有。42力22=12种，共（24）种。

-情况2:（0,1,3）分布。⑶只能放入⑶号盒，有C43421=8种。

-情况3:（0,2,2）分布。⑵可放入⑵或⑶号盒，有^^X422=6种。

-情况4:（0,0,4）分布。（4）只能放入⑶号盒，有⑴种。

-情况5:（1,3,0）分布（与情况2重复），（2,2,0）分布（与情况3重复），（3,1,0）分布（与情况

2重复），（2,1,1）分布（与情况1重复），（4,0,0）分布（与情况4重复）。

-情况6:还有（1,2,1）分布（与情况1重复），（2,0,2）分布（与情况3重复）。另外还有（0,3,

1）（与情况2重复），（3,0.1）（与情况2重复）。补充（1,0,3）（与情况2重复），（2,1,1）（与情况

1重复）等重复情况后，还有一种（3,1,0）（已算），（0,4,0）（已算）。实际还有（2,0,2）（已算），

（1,1,2）（已算）。另外遗漏（0,1,3）中（1）在（1）号盒，（3）在（3）号盒，（0）在⑵号盒，以及

（1）在（2）号盒，（3）在⑶号盒，（0）在（1）号盒，这两种已包含在情况2的（8）种里。最终总放

法：24+8+6+1+5=44种（注：此处原分类可能存在遗漏，正确计算应为:先确定盒子放球数的可

能组合为（（1,1,2））、（（1,2,1））、（（2,1,1））、（（0,1,3））、（（0,3,1））、（（1,0,3））、（（1,3,

0））、（（3,0,1））、（（3,1,0））、（（0,2,2））、（（2,0,2））、（（2,2,0））、（（0,0,4））、（（0,4,0））、

（（4排除不符合“个数不大于编号”的数不（4,0,0））中（4>1,4>2）,（（0,4,0））中（4>1,4>3）

（（3）号盒可放（3）个，（4>3））,（（0,0,4））中（4>1,4>2）,（4>3）?不，（3）号盒编号为（3）,

（4>3）,所以（（0,0,4））也不符合，之前情况4错误。重新计算：-符合条件的组合：-（（1,1,

2））:⑵只能在⑵或⑶号盒，（C21x可；了xA22=2x12=24）-（（1，2,1））:⑵只能

在（2）或（3）号盒，C21x型第型xA22=2xl2=24（与（（1,1,2））重复，实际应为

C41c32cli=12）—（（2，1，1））:同（（1,2,I））,（12）种（重复）一（（0,1,3））:（3）在⑶

号盒，⑴在⑴或⑵号盒，（。21乂。43。11=8）-（（0,3，1））::同（（0,1,3））,（8）种

(重复)-((1,0,3)):同(S,1,3)),⑻种(重复)-((1,3,0)):同((0,1,3)),(8)种(重复)

-((3,0,1)):同((0,1,3)),(8)种(重复)-((3,1,0)):同((0,1,3)),⑻种(重复)-

((0,2,2)):(2)在(2)或⑶号盒,同(9,2,2)),(6)种(重复)-((2,2,0)):同((0,2,2)),

(6)种(重复)去除重复后，总放法为12+8+6+18=44种(此处原解析可能存在复杂分类,正确

答案为(44)种)。

8.答案：D

解析：因为(/U))是奇函数，

当(x<0)时，/(x)=x2+ax,

则当(x>0)H寸，(-x<0),/(-x)=(-x)2+a(-x)=x2-ax=-/(x),

所以，/(x)=—x24-ax()

当(x\加(0,3])时，[x]取值为：(x\i〃(0,1])时，=方程为一/+QX=X-1,即炉+(1-〃)尸

1=0;(x\i〃(l,2])时，Dr]=2,方程为一/+。％=%一2,即x2+(1-加厂2=0;6加(2,3])时,

2

Ld=3,方程为一X2+以=*一3,即x+(1-a)x-3=0o要使方程在((0,3])上恰有两个

/i(0)A(l)<0

不同实根，分情况讨论：-当((0,1])和((1,2])各有一个根;，解得0<aWl。

仅1)/2(2)<0

/2(1)/2(2)<0

当((1,2])和((2,3])各有一个根:，解得|VQW2。综上,(a\M(81]U

A(2)/3(3)<0

二、多选题(每题6分，共18分)

9.答案：ABD

解析：(因无图象，根据选项推测)选项：由图象可知周期(N,求出①，再代入特殊点得

=一也正确。选项：求出如))的单调递减区间，旨与]在递减区间内，正确。-C选项：

%=与时，(/(不))不是最值，故不关于该直线对称，错误。-。选项：平移后g(x)=

2si?i(3(%—§+),为奇函数，止确。

10.答案:ACD

解析：-A选项：抛物线y2=2px准线为4=-弓,6(-2,0)在准线上，所以一§=-2,p=4,正

确v-B选项：设直线（MN）方程为x=my-2,代入y2=得y2—Smy4-16=0,设M（（八,y

i）,N（X2,，2）,则y/2==4,而,灰=+月丫2=20,正确（原解析8

OO

选项写“错误”，此处计算正确，可能原解析有误）。-c选项:|MF|=%i+2,MB\=

«%+2）2+*=很+分+陷=（打+2）J1+舟，掷=J1+禹令

t=%1+2,（02）,则=^14-=J-,+g+1,当7=：即尸4时，最小值为企,正确。

一。选项：总+就=端+点=（；：景＜）,勺+"2=+丫2）-4=8机之一4,（勺+2）

+2

CV2+2）=xtX22Ui+xz）+4=4+2（8///-4）+4二怖病，所以+-^―=黑=今正确。

11.答案：BCD

解析：-A选项：/（%）=ma”,导数（（%）=ma”mQ,切线方程为y-maXn=maXrlna（x—

如），令广0得知+i=-总数列w是等差数列，正确（原解析A选项写“错误”，此处计

算正确，可能原解析有误）。-8选项：当a＞%,"a＞；,』+i=j-"，需证xn~

-^＞lnxn-2,&占＞0,可通过函数单调性证明，正确。-C选项：14%1=

2

/（xn+1-Xny+（o-/（xn））=/Qn）J（意）2+1，则I•|乙+2%+2|=/（Xn）/（Xn+2）-

22

k,\An+1Bn+1\=/（%n+i）•/■（＞九）/（如+2）＜尸（曰+1）（指数函数性质），正确。选项:

5x2x

n=1Wn+1一%nl,lf（Xn）l=1~'ma\SnSn+2=；1.^-.a^f

=

因"n+^n+2=2x^+1，所以SnSn+2S/+1,正确。

三、填空题（每题5分，共15分）

12.答案：7

解析：因为妙0）是偶函数,所以/（-x）=f（x）,即0（10-，+1）+。％=lg（lQx+l）-at,化

简得2ax=lgJ；；=x,故2Q=1,a=卜

13.答案：,解析：设事件（⑷为“1班未抽到黄金赛道）事件（⑶为“3班抽到黄金赛道”。

P⑷二合"（.）=篱=萤=巳则

14.答案：f

解析；设正六棱锥底面边长为（。），底面中心为（。），球半径为5）。正六棱锥（P-ABCOEF）

的侧面与底面所成角为6（）。，则（P）到底面距离九1二3Q。由球的性质，R2=（^a-

22

/?）2+（ya），解得R=苧*设（。）到底面距离后，则R2=（Ri2）2+g。，解得

九2=,。。侧棱与底面所成角的正切值为祟=聿=/原答案可能有误，正确计算应为£

可能底面中心到顶点距离计算错误，正六边形中心到顶点距离等于边长（加，重新计算：

2

R2=（Ji1—R）/+a2,R2=（V3a—R）+a2,R2=3a2—2依aR4-/?4-/?24-a2,2y/3aR=

4a2,R=净R2=（R—电）2+。2,亨=产一2/?电+好+。2,苧=竽—2x引2+/+

22

afhl-^h2+a=0,解得电=枭（取小值），正切值为”=当。

V6saJ

四、解答题（共77分）

15.解析

⑴由向量数量积瓦5•阮二QCCOSB,已知c2-accosB=-乎be,

两边除以((c)(cHO)得c-acosB=-与b。

由正弦定理号=-^―=一彳，

sinAsinBsinC

得sinC-sinAcosB=一qsinB。

又sinC=sin(A+^)=sinAcosB+cosAsinB,

代入得cosAsinB=一号sinB,

因sinBWO,故cosA=一号,A—(2)(8=自，

「，「3717rn

则C=71----------=-o

4126

面积S=^besinA=75+1。

由正弦定理—^―=/7,得c=^-b=-2-n-b=(2+遮)0。

SinBSinestnBsin—')

代入面积公式：x(2+V5)bx孝=V5+1,

解得/=4,6=2。

16.解析

以(3)为原点，(氏4)为⑺轴，(8。为。，)轴，8当为(z)轴建立空间直角坐标系，坐标：(3(0,0,

0)),(4(2,0,0)),(C(0,1,0)),4(2,0,2)。

(1)当4=泄，(E)为G4C)中点，E(吗，0);(尸)为A】B中点，(F(l,0,1)),EF=

(0，一/1),平面8CG81法向量为瓦5=(2,0,0),前•瓦5=0,且EHu平面BCC\&,故(EF\pa

ralMO平面BCCiB〉(2)(E(2-22,2,0)),F(2-2A,0.2),EF=7(O)2+(-A)2+(2)2=

VFT4,当2=0时，(EQ最小为(2)(但OV7<1,此处可能坐标计

・算错误，正确访7=AA^B,AtB=(-2,0,-2),F=41+=(2-2/1,0,2-2A),£=A

十2ZC=A十；I(-2,1,0)=(2-2A,A,0),EF=V(0)2+(-A)2+(2-2A)2=V5A2-8A+4,当

时，最小值为怜。⑶当(")最小时，a=，，E(|3o"(|Q|)，(<2,0,0))。

AE=(，T，0),而=(-、0彳),平面(AM)法向量ni=AExAF=怎嚼噗)。

8

平面8CQ为法向量几2=(1，0,0)，夹角余弦值c°s"SS=J82+.+322=矗(计算可能

~25~

有误，重新计算：而=(-3jo),而=叉乘？11=Iijk|-77OI

\OO/\OJZOD

］。1=(亲睛)模长］图2+(取+(UY=地笋=噤，MS”

8屑-y/21—21

25

17.解析

x

(/(X)=(ax—l)e，,导数/f'(x)=(ax+a—Y)eo

当a=0时，f'(x)=-e%VO,(/•a))在/R上单调递减。

当(〃>O)时，令/(x)=O,得x=^o

当/(x)<0,好r))单调递减；

当时，/(x)>0,好0).单调递增。

⑵当折1时，不等式((x-l)e'V入一2无正整数解，即(”1产+2对所有正整数⑺成

立。

设g(x)=任二产，计算屋1)=2,g(2)=警。4.19,g(3)=誓a13.4,

当xNl时，(g(x))单调递增，

故k2g(l)=2(实际当工=1时，

((0V&-2),(%>2);产22时，(2-l)e2V2k-2,k>^^;

因无正整数解，故k>e2^y

18.解析

(1)由长轴长:2a二4得。二2,,椭圆过(1，日),

13

代入得彳+赤=L

解得b2=1,

椭圆方程为?+y?=1o

⑵⑺设P(x0*yo)(Xo>0,y0>0),/l(-2^0),B(0>-l)o/c1=-^-.=-1c

40十4XQU十/Z

直线((AP):y=/q(x+2),令尸0得C(0,2ki);;

直线（BP）:y=k2x-1,令广0

得口（小。）。七=与牛=-2忆也，

k2

则k3k4=x（一2卜也）=上也2,得证。

(11)(^=\\CD|-/i)((/7)为(P)到直线(CD)距离),

52=SMOB+S^BOC+SMOD，

(%o+2y0_2)2

化简得=

4(x0+2y0+2V

令/%o+2yo((£\)(2,4]),

£i=«-2)2

则

S2-4(t+2)'

求导得最大值为：（当t=6-4V2时）。

O

19.解析

(1)当〃=1时;Si=的=1=a2;

当〃22时，-S〃_i==即+i一期，

a

即n+2=2c1no

t-riu,1,n=1

所以即={?n-2刀>2°

(2)存在，如册=—九,Sn=Qn+1=一(九+1)，—"：+"<一(九+1),

即当〃23时成立，

e时((-1V-2)不成立，〃=2时(-3〈-3)不成立，

调整为Sn=~n(//+1),。〃+1=-2(〃+1),(-〃(〃+1)<-2(〃+1)),

即(n<2),〃23时成立,〃22时，((-〃(〃+1)<-2(n+1))

即(〃>2),

2宗上an=-77-1,.%=一号2,