基本不等式（题型专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题02基本不等式

i目录

i

!第一部分题型破译微观解剖，精细教学

!

!女典例引领他■方法透视性］变式演练

i

I【选填题破译】

1题型01直接法求最值

!题型02配凑法求最值

|题型03消元法求最值

!题型04双换元法求最值

|题型05“I”的代换

j题型06齐次化求最值

|题型07证明不等式

i题型08不等式的应用

i

i第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

!______

题型01直接法求最值

4

【例1・1］设实数。＞0,则?的最小值为.

【答案】4

【分析】根据均值不等式a+力22”石，代入计算即可.

【详解】因为。＞0,所以"+322［「三=4,当且仅当。=±时成立，即当。=2时，«+-＞4

aiaaa

故答案为：4

【例1・2】已知实数以。满足但（21+33=电。+怆人，则2〃+36的最小值为.

【答案】24

23

【分析】由题设结合对数运算法则可得：+±二1，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值.

ba

【详解】由题意，lg（2a+幼）=lga+lg〃=lg（"）,a>0,b>0,

23

则2。4-3/?=ab,即一+—=1,

ba

所以20+3〃=（2.+%）信+£|哼+%+1222存9+12=24,

当且仅当当=段，即。=6,〃=4时等号成立，

ba

则2〃+3b的最小值为24.

故答案为：24.

方做遗规

已知eR+.

（1）如果x+y=S（定值），则“，且（当且仅当〃x=y"时取"=〃）.即“和为定位，积有最大

、2）4

值".

（2）如果与，=。（定值），贝ljx+y22向=2j?（当且仅当"x-y"时取"="）.即积为定值，和有最小值

【变式1・1】（25-26高三上•福建度门•期中）（多选）已知。>0,b>0,且〃+〃=1,则（）

A.7^的最大值为5B.:的最小值为4

2ab

C./+从的最大值为3D.&+扬的最大值为上

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项求解判断.

【详解】对于A,由。>0力>0,且。+人=1,得疝W审=；,当且仅当。=〃=g时取等号，A正确;

对于B,1+1=（«+/?）（1+1）=2+-+->2+2./^=4,当且仅当。=6=:时取等号，B正确；

abababNab2

对干C,/+”+（纥b）：+份2=L当且仅当。=8=:时取等号，C错误；

2222

对卜D,yfa+\[b=y]a+b+2\[ab=\l}+2yiab<\J\+a+b=>/2»当且仅'时取等号，D正确.

故选：ABD

【变式1・2】(25-26高三上•云南昆明•期中)当时，2〃+—1的最小值为_________.

a-\

【答案】2&+2

【分析】利用均值不等式即可求最小值.

【详解】因为所以〃一1>0,则2a+-^=2(a-l)+六+222小2(〃一1)-^+2=2夜+2,

当且仅当〃=1+也时，等号成立.

2

故答案为：2&+2.

=+2土2的最小值为一.

【变式1-3](25-26高三上•重庆・开学考试)已知x>0,>'>0,则

2xy

【答案】3

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x>0,y>0,

所以上+如旦=上+2+1之2耳互+1=3,

2xy2xy\2xy

当且仅当：=亘，即％=(y时等号成立，

2xy2

所以小+~+-的最小值为3.

2xy

故答案为：3

题型02配凑法求最值

14

【例2・1］当0<x<l时，一+；—的最小值为（）

X1-A

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】利用基本不等式"1"的代换求最小值，注意取值条件即可.

【详解】由得1一x>0,

14(14V31-x4x、「-ll-x4x八

'''i以—I------=—I--------A-+(1-x)=5H-----------1-------25+2./--------------=9，

Xl-xUl-xJL'，」x\-XVAl-x

当且仅当二=产，即1=:时等号成立，所以上+/一的最小值为9.

x1-X3x1—x

故选：B

【例2・2]（25-26高三上•新疆•月考）已知〃工0,〃>（）,函数/。）=火炉+仅-1卜，若/（x）之0,则_L+J

a+13b

的最小值为（）

A1+石R2+Grl+百n2+>/3

6633

【答案】D

【分析】由题意可得。>0且x=0是函数），=*+〃-1的•个零点，则由a+〃=l,再借助基本不等式中T

的活用计算即可得.

【详解】/（x）=a¥ev+（Z>-l）x=^（£/er+Z>-l）^0,

则〃>0,且x=0是函数y=优,+〃一1的•个零点，即。+。=1,

,,。1^―+—l（3«+3+3M4+—+—

1J_3।1734+33/J'La+1b

a+1383a+33866

[-3b_a+\

>Na+1b_2+6,

-6='

当且仅当〃=2-石，〃=6-1时，等号成立，

故一二+《的最小值为旦走.

a+13b3

故选：D.

方收电视

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

陵式僚称

【变式2・1】（2025高三上•湖北黄冈•专题练习）已知。>匕之0且二十二7=1,则加+匕的最小值为一

a+ba-b

【答案】16

【分析】由待定系数法可得2。+〃=：（。+"+!（。—力），则2〃+6=佶（0+〃）+!（。一6）][二十二7],然

后由基本不等式可得答案.

【详解】因则〃+。>0,4—〃>0,]^2a+b=x（a+b]+y（a-b）,

3

x+y=2x=23/1

则=>,2a+b=^(a+b)+-(a-b).

x-y=14Z

)'二5

-(a+b)+—(a-b)[――i———

则2a+h=

2V)2、力a-b)

e3(«+Z?)3(t?-Z?),c/(a+ib)(a-b)

=10+-^--------------------^>10+3x2.p-----------------^=16，

a-ba+bVa-ba+b

当且仅当心生=色二9,结合二+嗅=1,即。=&。=0时取等号.

a-ba+ba+ba-b

故答案为：16

【变式2・2】(25-26高三上•重庆九龙坡•期中)已知/(x)=e'-eT+sinx-x,若正实数〃?，〃满足

/(2m)+/(〃-1)=0,则J-+二的最小值为()

6m3〃+1

A.1B—C.LD.2

4444

【答案】D

【分析】首先判断函数的奇偶性单调性，即可得到2/〃+〃-1=0,则6/〃+3〃+1=4,再由乘“甘法及基本不

等式计算可得.

【详解】函数/(工)=eX-eT+sinx-x的定义域为R,

又f(t)=e'-er+sin(-x)+x=-(ev-eJ+sinx-x)=-/(x),

所以/(“为奇函数，

Xf\x)=ex+e~x4-cosx-l,因为cosx>-l,

所以f'(x)N2-1-1=0,当且仅当x=0且cosx=-l时等号成立.但此二条件不能同时满足，

故(。)>0恒成立，所以/(x)在R上为增函数

又正实数机，〃满足/(2加)+/(〃-1)=0,

所以〃2"。=〃1一〃)，故26=1-”，

所以2/〃+〃-1=0,即6〃?+3〃+1=4,

所以一!-+-^-=，(一!-+-^—)(6川+3〃+1)

6m3n+l4(6加3〃+1/7

13〃+124〃】+5424/n「9

―-------+--------------+5

46m3〃+13n+l4

当且仅当产=洛，即〃?=[,〃]时取等号.

6m3〃+199

故选：D

【变式2・3】（25-26高三上•福建宁德•期中）已知正实数〃，人满足a+b=4,则乙+1的最小值为（）

a+2b

12

A.-B.-C.1D.4

33

【答案】B

【分析】根据题意得:［（a+2）+句=1,再利用基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】解：因为正实数。，人满足。+%=4,

所以（a+2）+b=6,即3［（a+2）+b］=l,

511«11、171公ba+2}

42+2点.半］g当且仅当白=手工，即b=〃+2，

61Va+2b）3a+2b

又因为。+8=4,所以。=1,〃=3时等号成立，

所以一二十；的最小值为:.

a+2b3

故选：B

题型03消元法求最值

舞的和襁

【例3・1］（25-26高三上•上海金山•月考）已知。＞0,Z?＞0,且a+4h=l,工+f的最小值为______

ab

【答案】5

【分析】将:利用"1〃的代换变形为土弛+£=1+丝+3,再利用基本不等式求解.

ababab

【详解】将£变形为上*+：=1+竺+g由基本不等式竺+/之2隹1=4,

abababah\ab

故1+当且仅当a=2〃=!时取等号.

故答案为：5.

【例3・2］（25-26高三上•上海嘉定•期中）已知为正数，且2〃+?=1,则£的最大值为____.

bb

【答案】：/0」25

O

【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为〃＞。的＞0,

当且仅当=:且2〃+!=1,即”=:力=2时等号成立.

bb4

故答案为：

O

方收电视

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为

常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

【变式3・1】（25-26高三上•江西上饶・月考）已知正数满足〃十次？44,则"的最大值为（）

A.1B.2C.2&D.4

【答案】B

【分析】设〃〃=幺（4>0）,结合基本不等式可得〃+：人〉2义，再结合。+：人44”1得2：«4,可得：M2,即

可求解.

【详解】由题意，。>0力>0,设必=4（4>0）,

则〃+/l/?N2ja•劝=2x/I^=2/l，当且仅当"=昉时等号成立，

因为〃+4力44,所以24W4,解得442,

当儿=2时，ab=2,a=2b,即a=2,b=1时等号成立，

故而的最大值为2.

故选：B.

【变式3・2】（25-26高三上•河南南阳・期中）已知正数也〃满足〃-〃=2,则，〃（〃+1）的最大值是.

9

【答案】7

4

【分析】由题可知6+〃+1=3,根据〃?（〃+1）《'〃；+11求解即可.

【详解】根据题意，，"+〃+1=3

所以切（〃+1）（空产j=（£）2=q,（当且仅当加=〃+1,即6=|1=；时取等号），

Q

即〃2（〃+1）最大值为

9

故答案为：—.

4

【变式3・3】（25-26高三上•上海・月考）已知正实数。、。满足”+3〃=1,则必的最大值为

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.

【详解】正实数。、。满足。+外=1,则1=a+3Z?22」3ab,即ab«石,

当且仅当。=38=2时取等号，

2

所以当"=聂=］时，而取得最大值

故答案为：卷

题型04双换元法求最值

辑网引发

13

【例4・1】已知实数满足一1＜。＜1＜6,且。+〃=2,则」7+T一的最小值为_______.

a+1b-\

【答案】2+5/3/5/34-2

【分析】根据常数变树转化有+--------4-4+1）+（人川，展开后利用基本不等式求最值.

a+\

【详解】由条件一1V。v1可知，。+1＞0,/?-1＞0,

由a+b=2可知，(a+l)+(〃-l)=a+b=2,

所以・+a当£+言如+卜传-4

+陪*H*需1卜+6

当[-1=3(〃+1)时，即〃-1=石（。+1）等号成立,

a+\b-\

当〃-1=G(a+l),且4+0=2,得4=75-2，b=4-\[i),

13

所以--+-~~；的最小值为2+G.

a+1b-\

故答案为：2+曲

12

【例4・2］已知x＞）＞0且4x+3y=l,则^----+一丁的最小值为____.

2x-yx+2y

【答案】9

I?

【分析】通过换元，令a=2x-y力=x+2y,得〃+功=1,将问题转化为求一+丁的最小值.再通过T的代

换结合基本不等式即可得解.

【详解】由x>y>（）,2x-y>0,x+2y>0,令。=2不一，8=汇+2），，则”+2〃=4x+3y=1,

故—I2h2au今l2b2a八

一+:（67+2/?）=5+—+——>5+2.---------=9,

2x-yx+2yabah\ab

2b=2a

当且仅当《""石’即a=b=：时等号成立,

。+2〃=1,

今1

ii

也即；,即x=2，y=2时，等号成立,

x+2y=：,

故七+3的最小值为九

故答案为：9.

方收电视

如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解

1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理

2.最常见的因式分解：力+1=（。+1）（匕+1）

陵式信称

【变式4・1]已知〃>〃>（）,一，+二7=|,则2々一〃的最小值为____.

a+ba-b

【答案】12

【分析】令工=-27。=三2，把已知式用乂丁表示，2々-。也用其），表示后，利用基本不等式求得最小值.

a+ba-b

2?22I]I]

【详解】令X=产力，则"/,=?j=j且x>0,），>。，所以〃丁/丁丁

-+-=[-+-（3x+y）=3+-+—+3>6+2U—

又3x+），=l,=12,

xy㈠儿x），V）'

当且仅当x=，,y=:，即々=8,〃=4时等号成立.

62

故答案为：12.

2I

【变式4・2】已知。，…2^=3,则肃1+石的最小值为一.

【答案】:9

O

【分析】依题意可得（2。+4）+仅+1）=8,利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详角¥】因为。，b£R+日2〃+〃=3,所以（2。+4）+（〃+1）=8.

4土］［()(艮

所以2+4+2"4+"1)

a+2b+\2。+4b+\

小+2a+4।4(/?+l)'2a+44(〃+l)9

>-5+2.

b+\2a+4J8力+12。+48

当且仅当即出=①2S

‘即二'"时等号成立.

b+\2a+4

219

故定+E的最小值%.

9

故答案为：J

O

41

【变式4・3］若x>l,y>2,且工+）,=6,则----------F-------的--最小值为.

x-\y-2

【答案】3

【分析】根据“1”的变形技巧,再由均值不等式求最小值即可.

【详角第】由题意得X—1+）=2=3.X>1,y>2,

41I

所以x一-i+y-231n+y^Jd+y—2)

4(y-2)x-\」(y-2)1

।>-5+23,

x-1y-23、x-ly-2

4(y-2)x-1

当且仅当,即x=y=3H、j,等号成立.

x-\y-2

故答案为；3

题型05“1”的代换

共例引微

【例5・1】（多选）下列说法正确的是（）

1

A.若/(x)=x+-----，则丁=/（可的值域为［3,+8）

x-\

B.若x>。时，2—3x——的最大值为2—4^3

x

s2ir/白的最小值为3+2&

c.函数y=

D.设〃?，〃为正实数，则」的最小值为2五—2

m+2〃m+n

【答案】BCD

【分析】需要逐一分析每个选项的正确性，涉及函数值域、最值的求解，主要运用基本不等式求解即可.

【详解】对于A,当xvO时，f（x）<0,故选项A错误；

对于B,vx>0,/.3x+—^2^3xx—=4\/3,

所以有一（3%+自］工一4石，i^2-3x--<2-4>/3,

Ix）x

当且仅当x=2叵时等号成仁故选项B正确;

3

「21

对干c，丫=嬴工+嬴黄

sin父cosxPf

c2cos2xsin2xI2cos2xsin2x

=2+=+3+臼t际'3+3=2夜+3,

当且仅当咨±=包?时，即如？X=夜时等号成立，故C正确;

sin-xcos'x

对于D,因为以〃为正数，令〃?+2〃=。,〃?+〃=/?,则〃?=2/?-4,/?=。-6,

11«>0^>0,根据基本不等式可得一^!—+-^_=3Ll£+U=9+3-2之一2=2五一2,

m+2nin+nababNab

当且仅当竺时，即〃=同时，等号成立，此时机+2〃=&(m+〃)，解得利=夜〃.该条件符合心〃为正

ab

实数的要求，故最小值可以取到.故D正确.

故选：BCD.

14

【例5・2］（25-26高三上・江苏扬州•月考）一7+T—的最小值是.

sinxcosx

【答案】9

【分析】由siMx+cos2%=l并根据基本不等式中“1〃的应用计算即可.

【详解】依题意易知sin、>0,cos,x>0,且sin'+cosOf，

印］14（I4\.2\,cos2x4sin2x.、/cos2x.4sin2x八

所以一z—+—z—=—z—+——sin2-x+cos2x）=l+--4-——-—+4N5+2J——?——r—=9,

sin-xcosx\sinxcos'x/v/sin-xcosxVsinxcosx

当且仅当笆二二竺吟，即sinx=土立,cosx=土底时:等号成立；

sin'xcos"x33

14

此时++V—的最小值为9.

sin"xcosx

故答案为：9

方收透规

利用常数,xm=1代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”

m

的代换

（1）条件和结论有“分子分母”特征；

（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件

结陶形式：

ab

（1），求一十一

ab

（2）—十—=f求，

xy

喙式信称

【变式5・1】（25-26高三上•江苏无锡・月考）（多选）己知。＞0,。＞0,若〃则（）

A."的最大值为:B./+〃的最小值为!

84

21

C.一+7的最小值为8D.2"+4"的最小值为2&

ab

【答案】ACD

【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为/+加=5（匕-2]+1,求出最小值；C选项，利

I5）5

用基本不等式“1”的妙用求出最小直.

【详解】对于A,由于〃＞0,力＞0,则="殳『=』，即

I2J48

当且仅当4=山，且〃+处=1,即。=1/=1时，取等号，所以A正确：

24

对干B,因为。2+6=（1-»）2+/=56-4力+1=5

2I

当且仅当力=彳时，/+从取到最小值所以B错误：

JJ

对干C,因为〃＞0力＞0,所以2+：=（4+2〃）（2+：）=4+竺+224+2^^=8,

当且仅当竺=£,且。+力=1,即。=:，〃时，取等号，所以C正确；

ab24

对干D,2“+4”2252“♦4〃=2\l*=2及，当且仅当。=幼，且a+2Z?=I,

即“耳1时，取等号，所以D正确.

故选：ACD.

【变式5・2】（25-26高三上・贵州贵阳•月考）（多选）已知。＞0,b＞0,2〃+力=I.则下列说法正确的是

（）

A."的最大值为:B.邑电的最小值为12

oa

c.%的最大值为渔D.的最小值为过32

2«+12h+28

【答案】AC

【分析】借助基本不等式计算可得A、B、D,消元后构造函数，借助导数研究单调性后可得C

【详解】选项A,由。>0,力>0,%+人=1,则l=2a+〃N2x/5^,,

O

当“=!，时取"=〃，故"的最大值为:，A正确:

42o

选项B,X=(E+I5=4a+3.4,

若用基本不等式，0<〃<g，取不到等号，B错误;

选项c,—=«+灯,，暇一击r需手，

=>/12a2>/a在[。']上单调递减，且当々-?时，>•=

由y=0,

O

则当。y>o,函数单调递增，当外。，函数单调递减,

所以当。=，，杓最大值迈，cE确;

62

选项a扣（E+加计11

+

~a+\2b+2)

2b+24(a+l)l1ilb+24(«+1)9

5+---------1-----------2-5+/J--------------:--------

8a+\2b+28Va+\2b+28

当且仅当生匚=i!”!1,即时取等号，所以口错误,

。+12b+23

故选:AC.

【变式5・3】（25-26高三上•上海・月考）已知随机变量X~N（1,4）,随机变量V~N（2,4）,正实数m〃满

足P（XW〃）=P（y2b）,则）+：的最小值为.

【答案】3

【分析】根据两图象的对称性得到。+人=3,由“1〃的代换求最值.

【详解】由题意，随机变量X的分布图象关于直线x=l对称，随机变量丫的分布图象关于直线x=2对称,

II.随机变量X的分布图象与随机变量y的分布图象形状相同，所以两图象关于直线”，即X对称，

因为正实数小〃满足尸（x<a）二尸”泊），所以;（4+3=>|,解得4+8=3,

山7141/14、If.b4八、1匕J匕4a]_

所以_+£=W(a+b)-+-=-b+-+—>-5+2——=3,

ab3\abJ3\ab)3^Vrzb)

b4〃I4

当且仅当2=?，即a=l,〃=2时，等号成立，故上+；的最小值为3.

abab

故答案为：3.

题型06齐次化求最值

'典例引颔

y+31

【例6・1］已知x>0,y>0,旦尤+)=1,则"—+一的最小值是______.

工y

【答案】8

【分析】利用"1〃的代换化简2y—+3+一1式子中的3和1,进而利用基本不等式即可.

*y

【详解】由题意可得，出+L止&±»+山=”+土+4N2、户立+4=8,

xyxyxy\xy

7i

等号成立时4y2=/，即不二彳力二：.

JJ

故上丑+」的最小值是8.

xy

故答案为：8

【例6・2】已知正数。，〃满足2a+〃=2,则纪土空当土丝的最小值为________.

ab

【答案】16

【分析】由5/+36+4。+»=5/+3从+4=5a?+3从+4/+加+4抽结合均值不等式得出结果.

ababab

【详解】由2。+。=2得(%+8)2=4,即4/+〃+4。〃=4,

5a2+3b2+4a+2b5a2+3h~+45/+3/+4/+6?+4〃力

则IH----------:---------=--------：------=-----------------------------

9片+4〃八12"/必

------------+4>+4=16,

46

当9/=4从，且2。+。=2时，即“］时取等号.

r-r-r，|5。-+3Z?~+4〃+2bgpg.v

所以----------------的最小值为16.

an

故答案为：16.

方法电视

齐次化构造型：

一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算

求解

【变式6・1】（25-26高三上•上海徐汇・期中）已知x,y>0,x+y=0,立幺士的最小值为

X）'

【仆案12\/6+2

【分析】由<12丫+2={+2），2+（x+y）］,结合基本不等式即可求解.

x2+2y2+2」2+2y2+{x+»_2/+3丁+2个,

【详解】

外冷'个

=—+^-+2>2x/6+2,

yx

［2x=3y

当且仅当IX,即x=3&—2百,y=2石一2无时，取等号，

x+y=42

所以£+2）=+2的最小值为+2,

孙

故答案为：2指+2

【变式6・2】（2025高三上•江苏南通・专题练习）直线以+外-l=（Xa>0,〃>0）经过函数

/（入）=logs（六］--三十八一］图象的对称中心、，则。++：”的最人值为________.

\4-xJx-2a~+3ab+2b-

【答案】|

【分析】根据解析式可得/（力+〃4-力=2,即可得函数的对称中心，再由已知有2〃+2=1,将目标式化

1

简为巧，应用“1〃的代换和基本不等式求最大值.

一+一

ab

【详解】由]工>°

，得0<x<4且xw2,所以函数/(力的定义域为(O,2)D(2,4).

x-2工0

X/(-^)+/(4-x)=log3—-----+x-l+log.-^—+4-x-l=2,

'4-xx-2x2-x

所以/(6的图象关于点(2,1)对称，故直线依+⑵・1=0经过点(2,1),

即2。+/?-1=0,所以2a+Z?=l,

azb+ab2_ab(a+b)_ah_1

因为/+3a〃+2〃(a+2h)(^a+b)(。+2〃)2+1»

ab

..21(21.12b2a_.12bla_

而-+厂[-+jJ(2a+b)x=4+l+—+—>5+2^...-=9,

当且仅当竺二学，且2々+〃一1=0,即。=人=!时等号成立.

ab3

故答案为：g

题型07证明不等式

舞刎引名

1^17-1](2026高三•全国•专题练习)已知小破R,求证：?：w&-b+匕.

36叫163

【答案】证明见解析

【分析】将号化简为启4'利用基本不等式进而求出舄最大值为去再利用配方法求

出*-力+工最小值为白，即可证明.

6312

6"6”]

【详解】36""+1-36x36“+1-36x6、1，

.6"

因为36x6"+，>2j?6x6"x，=l2.当且仅当36x6“=，,即〃=一1时,等号成立.

所以备心

所以Y—<--^+—.

36aM+163

【例7-2](多选)已知dKcvOQvav力<1,贝ij()

A.a+d<b+cB.ac<bd

C.ad<bdD.—\-->1

ah

【答案】AD

【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A,由根据不等式的性质，可得a+dvO+c,所以A正确;

对于B,取/=［,d=—2,c=—l,可得ac」>bd=-l,所以B不正确；

323

对于C,取。=；为=：,〃=一2,可得。"=（$-2=9,/=（3）-2=4,此时所以C不正确;

对干D,由可得2>1,又由2+42、回=2,

aab\ab

当且仅当2=f时，即。=〃时，显然等号不成所以2+£>2,所以D1E确.

abab

故选：AD.

【变式7/】36高三上•重庆・月考）（多选）已知正数“满足八品而>外号荔，则（）

A.ln（a-/?+l）>0B.2。+。<2/+/?

1141111

匚apa”D・e。p1a

【答案】ACD

【分析】将已知不等式变形可得会一0>e"-J.构造函数，外=©'-h’一，x>0,利

用导数以及复合函数的单调性可得/（X）在（0,+力）上单调递增，从而可得然后再利用不等式的

基本性质逐一判断即可求得结论.

【详解】因为正数夕满足Y-々［金>阴+L,

2p+sinp27ra+sina

所以ca--------------->c/{----------------,

2a+sina2〃+sin/

构造函数/（幻=。'-丁」^,A>0,

2x+sinx

令g（x）=2x+sinr,g'（x）=2+cos^>0恒成立，

所以g（力在［0,+8）上单调递增,所以g（x）>g（（））=0对任意x«（）,+00）恒成立,

由兔合函数的单调性可知一丁」一在（0,+8）上单调递增，

2x+sinx

所以f(x)=ex--~—在(o,y)上单调递增，

2x+smx

由/3)>/(月)，可得a>/>0,

对于A,由尸，可得。一/7+1>1,所以ln(a-/7+l)>0,故A正确：

对于B,由a>/?>0,可得2。〉2%则2"+。>2"+"，故B错误；

对于C,(，+工](2+/7)=2+彳+222+2、修%=4,当且仅当&时等号成立，但a不等于夕，

(a0)'pa\pa

故等号无法取到，则(，+J〕(a+/)>4,所以，+故C正确；

(aP)xaPa+P

对于D,令〃一」,(x>0),

CX

，/、-x-211er-?

xex-e

再令M6=e'-V,

//(x)=eA-2x,

令〃(x)=e，-2x,/f(x)=e'-2,易得：>=〃'(力在(0,+8)上单调递增且〃'(1!12)=0,

故y=〃'(x)在(0,ln2)上小于0,在(In2,+8)上大于0；

即y=n(x)在(0,ln2)上单调递减,在(In2,+a>)上单调递增,

Xw(ln2)=eln2-21n2=2(l-In2)>0,

所以;7(.r)=//(.r)>。对任意rG(0,引)恒:成立，

所以y=h(x)在(0,+功上单调递增，

所以。(4)=e'-f>/7(0)=1>0对任意xe(0,")恒成立

所以加(工)>0对任意x£(0,y)恒成立，

所以y=m[x)在(0,+e)上单调递增，

又由a>p,得：m(a)>〃](户):即士■一，>；-，，

eae"£

即j7+)>；+,，故D正确.

epe"a

故选：ACD.

【变式7・2】已知〃L〃均为正数，且〃冲〃，设a=b=皆,°=屈，则下列关系中不可能

成立的是()

A.\a-?\<\b-?\<\c-?\B.1f啡一彳(,一彳

C.|/2-2|<|C-2|<|«-2|D.|«-2|<|c-2|<|h-2|

【答案】D

【分析】利用基本不等式可得a>"c,再按力>cN2,2>a>b>c>0,c<2<。分类讨论可判断ABD,

对于C：利用完全平方式可得到/=给2一/,再令c=g,>=3,可计算出。，进而可判断C.

【详解】已知“，〃均为正数，且/

因为〃_万=病+*_（加+〃）2=（加一/>o,即

244

由基本不等式可知：—^―>yjmn,所以。>力>。>0,

由干a>b>c,考虑ahc相对于2的位置：

当22a>Z?>c>0时，选项A可能成立，选项D不成立；

当a>b>cN2时,选项B可能成立,选项D不成立；

当c<2<a时，贝“4一2|=。一2,上一2|=2—°,

若选项D成立，贝ij|a-21Vle-2|成立，即o-2<2-c,此时a+c<4,

同时上一2|<步-2|成立，即2-C<2-2],

当6K2,则\b-2\=2-bt要求2-c<2-b,即b<c,但b>c,矛盾;

当b>2f则\b-2\=b-2,要求2-c〈