基本不等式（题型专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题02基本不等式

目录

!第一部分题型破译微观解剖，精细教学

!

!打典例引领10方法透视|0变式演练

i

I【选填题破译】

|题型01直接法求最值

!题型02配凑法求最值

|题型03消元法求最值

!题型04双换元法求最值

I题型05“I”的代换

j题型06齐次化求最值

|题型07证明不等式

i题型08不等式的应用

i

I第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

!______

题型01直接法求最值

4

【例1・1］设实数。＞0,则4+2的最小值为.

【例1・2】已知实数满足lg（2a+3/?）=lga+lgm则2〃+3匕的最小值为

已知x,ycR+.

（1）如果x+y=S（定值），则9dW上）=—（当且仅当。=y〃时取"=〃）.即“和为定值，积有最大

I2J4

值".

⑵如果（定值），则x+yN2而=2〃（当且仅当"x=y"时取〃="）.即积为定值，府有最小值〃.

【变式7]（25-26高三上•福建厦门•期中）（多选）已知〃>0,/?>0>且4+Z;=l,则（）

A.\[ab的最大值为gB.1的最小值为4

ab

C.a2+/的最大值为gD.6+正的最大值为拉

当〃>1时，2〃+」二的最小值为_________.

【变式1-2]（25-26高三上•云南昆明•期中）

a-\

已知x>0,J>0,则齐+生土上的最小值为

【变式1-3]（25-26高三上•重庆•开学考试）

2xy

题型02配凑法求最值

9例引颔

14

【例2・1]当0<x<l时，一+；—的最小值为（）

X1-A

A.8B.9C.10D.12

【例2・2]（25-26高三上•新疆•月考）己知。/0,b>（）,函数〃"二曲"+（/A1）X,若则一二+乙

ct+13b

的最小值为（）

A1+V3口2+0r1+百n2+出

6633

方法速视

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

文式演佳

【变式2・1】（2025高三上•湖北黄冈•专题练习）已知a>〃N0且二十二7=1,则为+人的最小值为

a+ba-b

【变式2・2】（25-26高三上•重庆九龙坡♦期中）已知/（x）=e=eT+sinx-x,若正实数〃?，〃满足

/（2,〃）+/（〃-1）=0,则J-十二的最小值为（）

6/7?3〃+1

179

A.-c.-D.-

444

（25・26高三上・福建宁德・期中）已知正实数。，〃满足"八4,则2+/最小值为（）

【变式2-3］

i2

A.3B.-C.1D.4

3

题型03消元法求最值

再何和横

【例3・1］（25-26高三上•上海金山•月考）己知。〉（），/?＞（）,且〃+48=1,-的最小值为

【例3.2］（25-26高三上•上海嘉定•期中）已知9为正数，且2"六，则泊最大值为

方收遗规

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数''或"积为

常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

【变式3J】（25-26高三上•江西上饶・月考）已知正数满足〃+"244,则的最大值为（）

A.1B.2C.2^2D.4

【变式3・2】（25-26高三上•河南南阳・期中）已知正数也〃满足〃，+〃=2,则，〃（〃+1）的最大值是

【变式3・3】（25-26高三上•上海月考）已知正实数。、〃满足。+3。=1,则她的最大值为.

题型04双换元法求最值

舞钠引名

13

【例4・1】已知实数〃满足—ivavlvb,且。+。=2,则一；+丁二的最小值为_______.

。+1b-\

I2

【例4・2】已知且4x+3.y=l,则：;——十—丁的最小值为一.

2x-yx+2y

方法逡也

如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解

1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理

2.最常见的因式分解：〃+》+出升1=（«+1）（。+1）

支式僚称

【变式4・1］已知—^―+—^―=1»则2a-匕的最小值为____.

a+ba-b

21

【变式4・2】已知〃，MR'2a+b=3,则一的最小值为_____.

a+2b+\

41

【变式4・3］若x>l,y>2,且工+），=6,则一-+—^的最小值为______

jv-1y-2

题型05“1”的代换

共例引额

【例5・1］（多选）下列说法正确的是（）

A.若/（x）=x+_1,则），=/（2的值域为［3,+8）

X-1

B.若x>0时，2-3工一3的最大值为2-46

x

C.函数y==-+—-的最小值为3+2&

sin~xcos'x

D.设孙〃为正实数，则一的最小值为2a—2

m+2"m+n

I4

【例5.2】⑵-26高三上・江苏扬州・月考）京的最小值是一‘

方收遗规

利用常数，x〃?二l代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造广倒数”关系。多称之为“1”

m

的代换

（1）条件和结论有“分子分母”特征；

（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件

结陶形式：

ab

（1）〃1¥+/少=，求一十一

工y

ab

（2）—+—=f求，nr+町，

%y

【变式5・1】（25-26高三上•江苏无锡・月考）（多选）己知。>0力>0,若。+必=1,贝IJ（）

A."的最大值为:B.的最小值为:

84

71

c.W+］的最小值为8D.2"+4人的最小值为20

ab

【变式5・2】（25-26高三上・贵州贵阳•月考）（多选）已知。>0,b>0,%1.则下列说法正确的是

A.而的最大值为。B.2土上的最小值为12

oa

C.6+〃的最大值为"D.+二的最小值为北里

2a+\2b+28

【变式5・3】（25-26高三上•上海月考）已知随机变量X~N（1,4）,随机变量丫~N（2,4）,正实数小b满

足P（XWa）=P（y淮），则*的最小值为.

题型06齐次化求最值

绫例引颔

v+31

【例6・1】已知x>。，y>0,且》+y=l,则^—+一的最小值是.

%）'

【例6-2】已知正数。，）满足2〃+。=2,则空士史士”主竺的最小值为

方做透规

齐次化构造型：

一段情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算

求解

支式僚称

【变式6・1］（25-26高三上•上海徐汇・期中）已知x,y>。，x+y=血，土土生色的最小值为_____

X）'

【变式6・2】（2025高三上•江苏南通•专题练习）直线以+外-1=0（"。,〃>0）经过函数

f（x）=logj已口2+X-1图象的对称中心，则万竺帅：最大值为_________

\4-xJx-2a~+3ab+2b~

题型07证明不等式

匕共例引颔

6“5A2

【例7・1】（2026高三•全国•专题练习）已知小〃团R,求证：一^一<--/?+—.

36叫163

【例7・2】（多选）已知dWcvOQvavOvl,则（）

A.a+d<b+cB.ac<bd

C.ad<b''D.乙+f>2

ab

‘支式信称

【变式7」】（25-26高三上•重庆・月考）（多选）已知正数满足e、忌丽〉V+悬石,则（）

A.ln(cz-/7+I)>0B.2a+a<2fi+fl

11411I

c.—।—>---D.-+-^>—+—

apa+Be夕e'a

【变式7・2】已知〃L〃均为正数，且〃?工〃，设a=J?E匚，〃=等，。=屈,则下列关系中不可能

成立的是（）

A.|«-2|<|/?-2|<|c-2|B.|c-2|<|Z?-2|<|^-2|

C.|/9-2|<|C-2|<|«-2|D.|«-2|<|C-2|<|Z2-2|

2h+3c-aa+3c-2ha+2b-3c

【变式7・3］⑴已知〃也c均为正实数，求证:H-----------------------1--------->---3--；

2b3c

1、

(2)已知a>O,〃>O,a+/〉=l,求证:1+11+->9.

。八b)

解答题破译＜

题型08不等式的应用

舞钠引名

【例8・1］已知数列｛q｝是等差数列，数列也｝是等比数列，4=仄=机，/=&=〃，〃?，〃为正数且不等,

则下列不等关系中错误的是（）

A.%<白B.

C.%<与D.4)<%

【例8・2］（25-26高三上•重庆•月考）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角B的

内角平分线长为石，若B=i，则a+2c的最小值为

A.6B.2+2&C.3+2&D.3+26

，文式信称

【变式8・1］（25-26高三上•上海松江•期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为

10门的圆形花坛扩建成一个矩形花园.若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则

矩形花园占地面积的最小值为.（结果精确至IJ1m?）

【变式8・2】（2025•四川眉山•一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点

连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为），2="7不一V-1，其两焦点直角坐标系坐标为耳（1，。）和

鸟（-1，0）,动点尸是火上一点，则I。耳1+1尸入I最小值为.

【变式8・3】（25-26高三上•山东青岛•期中）在矩形/WCO中，M,N为边A8上的两个点，

AM=MN=NB=BC,当尸在线段CQ上运动时，记/4PM=a,NBPN=0,则lan（a+/?）的最大值为

02

一、单选题

1.已知，2是正数，且。（1一与=2,则]的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为300m，深度为3m.池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米

的造价为50元，设计水池的最低总造价约为（）

A.12（XX）元B.15000元C.1&XX）元D.24000元

3.在VABC中，心一2,点O为三角形的外接圆的圆心，若40=MA+y人。（工y£/?），且丫+2），=1,则VABC

的面积的最大值为（）

A.2B.8C.16D.18

4.已知/+炉=4,以下结论正碓的有（）

①生/e（-8,2]Uy,+oo

x-Ij7

②f+y-6.v+10的最大值为26

③2J13-6），-J20-84的最大值是2加

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2026高三•全国•专题练习）已知正实数々〃满足lg"3=lg（“+2〃），则2a+〃的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

6.已知函数y=2ar+助（«>0,/?>0）的图象过函数/"）=，/+1（〃>0,用工1）图象的定点，则"的最

小值为（）

A.4B.6C.8D.9

二、多选题

7.（25-26高三上•河北沧州•月考）设实数”，〃满足3（a-〃y=6-4M,则必的可能取值有（）

3

A.1B.—1C.2D.—

4

8.