江西省某中学2026届高三年级上册一轮诊断考试 数学试题（含解析）

江西省宜春中学2025-2026学年高三上学期一轮诊断考试数学试卷

一、单选题

1.已知集合力=,，，8=k|2'<4},则4口4=()

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D.卜2,2]

2.复数z=i（3+i）,则z的虚部为（）

A.3B.1C.3iD.i

3.已知向量值=（一1/），b=(2,-3),若+则4=()

13八13

A.-5B.-—C.一D.5

55

4.在“5C中,已知si/C+&sinBsinC=-(8sX+cos8)(cos/-cosB),则力=()

兀一兀-2九〜3九

A.-B.-C.—D.—

4334

12

5.若且满足x+y=4,则---+---;的最小值是()

x-yy-\

9

A.6B.18C.-D.9

2

6.当时，关于x的不等式f-〃LL〃?+15<0有解的一个充分不必要条件是()

A.MG[5,+X)B./»e[6,-co)C.we[7,+oo)D./we(-oo,8]

7.已知一正三楂柱的底面边长为6,其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为

()

A.20\/7571B.64屈nC.96兀D.60n

8.设。=-!-力=lnl.O5,c=e0°5—l,则下列关系正确的是()

21

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

二、多选题

/\

9.已知函数/（x）=cosa）x+-（勿＞0）,则下列判断正确的是（）

\4，

A.若/（x）=/（兀-x）,则①的最小值为g

B.若将/。）的图象向右平移;个单位得到奇函数，则〃，的最小值为g

C.若在(甘)单调递减，则0<耳

D.若/(')在(去兀)上只有1个零点，则

10.已知函数困(x)的定义域为R,/(x+l)—l是奇函数,/(O)=O,/(x+2)+/(x)=2,则()

A./。)的一个周期为4B./(%)的图象关于直线x=2对称

2026

C./(X)的图象关于点(7,0)中心对称D.£/(/)=2027

r=1

11.在正三棱柱"C-44G中，力〃=44=1,点产满足丽死+〃两，其中则

()

A.当2=1时，△力用尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-4BC的体积为定值

C.当4=；时，有且仅有一个点P,使得4夕，3。

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得44_L平面力用尸

三、填空题

12.已知函数/3=泉-2'，则满足*-5x)+/(6)>0的实数x的取值范围是.

13.已知各项均不为零的数列满足：％=2,ai=〃”q(〃，mcN)若〃=(-1)%“，则数列出｝的前〃

项和S*.

14.已知函数〃x)的导函数/'(X)满足：/'(x)-/(x)=e2；且/(0)=1,当xe(O,+⑹时，x(/(x)-a)之1+Inx

恒成立，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开

展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及

以上的教师)，200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师)，会后均参加相关知识考核，考核结果为

优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：

经验丰富教师经验不丰富教师总计

优秀200150350

合格10050150

总计300200500

⑴根据小概率值a=0.01的独立.性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？

(2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研,

设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X,求X的分布列和数学期望.

....2n(ad-bc)~,

附：Z=7-—7km,其中〃=4+力+。+4・

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a().10.05().010.001

入a2.7063.8416.63510.828

，、111,1

16.各项均不为0的数列/｝对任意正整数〃满足：一+—+…+---=1---.

⑴若｛凡｝为等差数列，求”；

2

(2)若求｛为｝的前〃项和S”.

17.如图，已知44co和CDM都是直角梯形，ABHDC,DC//EF,AB=5,QC=3,EF=1,

/BAD=NCDE=60°,二面角E-OC-B的平面角为60。.设M,N分别为的中点.

(1)证明：FN1AD；

(2)求直线跟“与平面所成角的正弦值.

18.已知椭圆C:HR=1(〃>6>0)的两个焦点分别为片，鸟，离心率为三，点?为。上一点,周

长为2上+2，其中。为坐标原点.

(1)求。的方程；

⑵直线/：V=x+m与。交于44两点，

(i)求△048面积的最大值；

(ii)设丽=5+砺，试证明点。在定直线上，并求出定直线方程.

19.已知函数/(x)=ax2-lnx-Lg(x)=xev-av2(aeR).

⑴求g(x)在x=0处的切线方程；

(2)讨论/(3)的单调性；

(3)证明：/(x)+g(x)>x

参考答案

1.B

【详解】由题意可得：A={x\-2<x<3],B={x\x<2}.

所以4c8=[-2,2).

故选：B.

2.A

【详解】z=i(3+i)=-l+3i,虚部为3.

故选:A

3.C

【详解】由题意可得妨+B=(—攵+2,4—3),因为+

则。(%+E)=2(—A+2)—3(A—3)=0,

即-54+】3=0,解得々=£.

故选:C.

4.D

【详解】因为

sin2C+V2sini?sinC=-(cos/l+cosZ?)(cosJ-cosZ?)=cos2B-cos24=(1-sin?8)-(1-sin?A}

=sin;4-sin，B，

由正弦定理得：c2+42hc=a2-b^

由余弦定理，cosA=h+c2~cr,

2bc2

又力为三角形内角，所以力=学.

4

故选:D

5.C

【详解】由x+y=4nx+y-2=(x-y)+2(y—l)=2,

则,tI二1；+衣2=二1；+万4丁1/,7+c2尸2.J)[二1十折4

1-2y-2।4(x-"2y-24)

5>-x2"5=2

2x—y2y—22x—y2y—2

当且仅当殳匚=41'一?时取等号,即尸l=x-y,再结合x+y=4,

x-y2y-2

75

可得X=(,y时取等号.

故选:C

6.C

【详解】当1VW4时，关于x的不等式x?-〃a-加+15<0有解，

24.15

即r在14x44上有解.令，=x+l,vl<x<4,

x+1

所以2W5,Mx=/-1,

+15Z«(/-1)2+15r-2r+l+15r-2t+\616、

代入'--得——L----=-----------=---------=/+——2，

16.今16。，

V/+---2>2,t----2=6

当且仅当，宁时取等号，此时』，.•.誓的最小值为6.

故当1WxW4时，关于x的不等式』-心-加+15W0有解的充要条件是〃此6,

所以满足题意的充分不必要条件是〃的真子集，选项中只有C符合

故选：C

7.D

边长为6的正三角形的内切圆半径为：=6

所以正三棱柱的高为/?=2R=26,

则外接球半径r=OA=1K+Od=3+—x—x6=\[\5»

132J

所以外接球的表面积为：4村'=4兀xl5=60兀,

故选：D.

8.C

【详解】记〃x)=e'-l-x,(xNO),因为/(x)=eT,当x>0时，/V)>0,所以/(%)在(0,口)上单调

递增，

则当x>0时，/(x)=ex-l-x>/(0)=0,即/—1八，取x=O05,所以e。05—1>0.05，

1Y

记g(x)=ln(x+l)-x,(x20),因为g'(x)=；——1=--<0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递减,

则当x>0时，g(x)<g(0)=0,即In(l+X)<x,取x=0.05,所以lnl.05v0.05,故lnl.05<e」-l，即〃<c；

V-11Y

it!A(x)=ln(x+l)--—(x>0),因为〃(x)=;——--石=大-当x>0时，〃'(x)>0,所以人5)在

1+x1+x(1+X)-(l+x)~

(0,3)上单调递增，

所以当x>0时，/<r)>//(0)=0,即1]](1+幻>上，取x=0.05,所以lnl.05>=二=-1,即6>q；

1+x1+0.0510521

所以c>/)>a.

故选：C.

9.ABC

【详解】对于A,由/(力=/(九-力可得/卜)关于*=5对称，

所以刃£+q=履,％eZ,可得：(o=2k--,kGZ,

242

因为。>0,所以/的最小值为I，故A正确；

2

对于B,将/("的图象向右平移]个单位得到g(x)=cos,1”£|+；=cos(0x£0+：｝因为g(x)为

奇函数，

所以一三④+:=1+履,丘2,则0=-—2〃，所以"的最小值为"故B正确;

24222

对干C,函数/(x)=cos(+：)(切>0)的单调减区间为：

“兀-…，〜2kit7t_3兀2kn,)

2krKcox4—S冗+2.kn,k€Z,则--------4尤W---1------*wZ,

4(1)4(1)4(0(1)

令£=0,--<x<—,则把之兀=0<。《3,故C正确；

4co4(o46y4

对于D,若/(x)在弓，兀)上只有1个零点，则

取0=1,令/(X)=cos(x+；)=0,则X+(=]+%7l,%wZ,

则丁=f+EMeZ,XG时，/(x)无零点，故D不正确.

412J

故选：ABC.

10.ABD

【详解】对于A,v/(x+2)+/(x)=2,.*./(x+4)=2-/(x+2)=2-[2-/(x)]=/(x),

・••/(x)的一个周期为4,故A正确；

对于B,+—l是奇函数，/./(r+l)—l=—[/(x+l)—1],

.■J(r+l)=2-/(x+l),故/(2-X)=2-/(X)=/"+2),

・•・/(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对干C,v/(14-x)=/(4x3+(2-x))=/(2-x)=2-/(x),

--./(A)的图象关于点(7,1)中心对称，故C错误；

对于D,••./(0)+/(2)=2,/(0)=0,/./(2)=2-/(0)=2,又于⑴=2-/⑴,=

•.•/⑴+/(3)=2,.•./⑴+/(2)+〃3)+/(4)=4,

2026

故⑴=506[〃l)+/(2)+〃3)+〃4)[+〃l)+〃2)=4x506+l+2=2027,故D正确.

:=1

故选:ABD

11.BD

【详解】

易知，点尸在矩形8CG用内部（含边界）.

对于A,当2=1时，BP=BC+pBB[=BC+/jCC{,即此时Pc线段CQ,△力4尸周长不是定值，故A错

误;

对于B,当必=1时，而=2而+函=函+4酝，故此时尸点轨迹为线段4G，而B£〃BC,4G〃平面

ABC,则有「到平面4〃。的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当时，而=；前+4函，取AC,8c中点分别为。，H,则丽=屈+〃丽，所以P点

轨迹为线段。〃，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A与0,1,2(0,0,〃)，｛(),；,()｝则

X/

乖=—\,前=,-；,〃｝季.加二〃(〃-1)=0,所以〃=0或〃=1.故〃，。均满足，故C

错误；

对于D,当〃=]时，BP=2BC+QBB1,取网，CG中点为M，N.而二两+力丽，所以尸点轨迹为线

段MN.设尸(0,%])因为/佟0,0),所以后=一日丽=(一季提一)所以

3111

-^-yo--=0=>yo=--,此时P与N重合，故D正确.

故选：BD.

12.(2,3)

【详解】解：根据题意，函数/(劝=呆2"/(-x卜土--'-.—/.,即函数/(x)为奇函数，

乂由y=£在“上为减的数，，=-2’在&上增函数与，则函数/0)在“上为减函数，

则/(〜小/⑹〉。

f(x2-5x)>-f(6)

.•./(x2-5x)>/(-6)

..x'-5x<-6,

解可得：2Vx<3,

即i的取值范围为(23；

故答案为：(2,3)

-2-(-2f+,

io•

3

【详解】•♦•/+”,=4•am(明weN*j,/.all+l=an•q=2an,

所以数列｛4｝是公比为2的等比数歹U,

所以(=2x=2"也=(一1丫包=(一1)"x2"=(-2)",

所以数列也｝是公比为-2的等比数列，所以S.=斗弓普•=-2-：2)

2-(-2严

故答案为:

14.(f2]

【详解】设g(x)=电，则g，(x)J"，*Je"故g(x)=e'+c,贝ij/(x)=(/+c)c',又因为

eee

/(O)=1,即l+c=l,所以c=o,/(X)=e2x,X(e2x-t?)>l+lnx,因为xe(0,+oo),所以

a4Q.]Tnx"b'.'土皿在”6电田)上恒成立,其中心皿之2x+lnx+1,理由如下：构造

XX

0(x)=e'r-l,则d3=e「l,令d(x)=O得：x=O,当x>0得：(p'(x)>0,当x<0得：/(x)<0,

故夕(x)在x=O处取的极小值，也是最小值，姒力之。(0)=0,从而得证.

故e2「如一|一Mx之+Inx+1一1-In”=2,故三2,实数。的取值范围为(-8,2]

XX

故答案为：(-8,2]

15.(1)不能

Q

⑵分布列见解析：£(x)=g

【详解】(1)零假设H”：认为这次考核结果与经验丰富无关，

由题意.2_500(200X50-150X100)2

4/一350x150x300x200«3.968<6.635，

所以根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断〃。成立，

即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.

(2)由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10x舞=6人，经验不丰富的教师人数为10x蜉=4人,

则X可取的值有0,1,2,3,4,

P(X=O)=与，，^(%=1)=-^-=—,

I'。14''C；21

誉=]0（丫=3）=詈=&，P（X=4）=

P（X=2）

LjO/J。3

X的分布列如下表

X01234

18341

P

2?735210

8

所以EX=lxA13X±4X-^=

21+2X7+35+2105

1

16.（1）«（=-

/33

⑵S“=〃-O/ZH---

7

由题意1+1+…+—^―=1-

【详解】(1)

q外a2a32%

111,1

当”22,〃6N'时，----1----1-…d=1,

%%a2a3-----%%------2%

两式相减得」一=Y一—一—=%+1-=2,〃22,

2%

因为｛4｝为等差数列，在式子：」一+—!—+—+—-—=1-，一中令〃=1,

得---=]一丁，所以‘二一十彳，

a｝a22a2a｝2

11.1

所以见一4=一+;-4=2nq=-2或“二工，

q22

若4=-2,则与=0,但这与411Ho矛盾，舍去,

所以《=;.

271

(2)因为。|=一二,所以K=一二+]=-3,

722

而当〃之2,〃wN♦时，an^-an=2,所以此时《,二-3+2(〃-2)=2〃-7,

「二|〃iizrj4c2(〃-1)(一3+2〃-7),33

所以此时S,,=一-+-----八---------L=tf-6/74—,

"727

而〃=1也满足上式，

综上所述，｛q｝的前〃项和反二/小什日.

17.(1)证明见解析：

【洋解】(1)过点E、。分别做直线。C、48的垂线EG、。〃并分别交于点G、//.

•・•四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CDUEF,AB=5,DC=\EF=1,ABAD=ZCDE=60°,

由平面几何知识易知，DG=AH=2/EFC=NDCF=/DCB=£ABC=90。,则四边形EFCG和四边形

DCBH是矩形,・••在RsEGO和《△。物，EG=DH=2曰

•:DC上CF,DC上CB,且CrcC5=C,

・•・DC±平面BCF,/BC尸是二面角尸--6的平面角，则4CF=60，

・・・A8,是正三角形，由。Cu平面4BCZ),得平面平面8b,

是8。的中点，.EN_L8C,又。C_L平面85,ENu平面8c/，可得FN_LCO,而BCcCO二C,

・•・FN1平面ABCD,而40u平面ABCD:.FNVAD.

(2)因为FN_L平面/1次第，过点N做4B平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、所在直线分

别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系N-xyz,

设,4(5,6,0),4(0,6,0),。(3,一6,0),七(1,0,3),则〃[二堂,],

x/33]

.•.丽=,而=(-2,-273,0),DE=(-2,6,3)

设产面ADE的法向量为方=(x,y,z)

/?•AD=0—2x—2>/3=0

由[万•砺=0，f|-2x+V3y+3z=0取力=(6.-1,6),

设直线BM与平面ADE所成角为。,

3国争孚

・・sin。=cos♦n,BM❷|=1.__\=

同・忸必,3+1+3-卜算

AH

18.（l）y+/=l

61

（2）（i）争（ii）证明见解析,y=--x.

【详解】（1）设焦距为2c,依题意，。一2'解得（[：

2a+2c=2y/2+2,

又标=〃+一，所以〃=标—。2=],

所以。的方程为1+）户=1.

（2）（i）设/（再,乂）,8（X2，%）,

-x---by~-»=1।一

因为2,所以3/+4〃?x+2〃J-2=0,

y=x+m

△=16〃/4x3x(2加22)>0,解得〃/<3,

erLi4m2m2-2

所以再+x2=-—,x)x2=--——।

2工

I力⑷=J(x「xj+(必一%)=gx{(xi+x2)-4%2=¥*524_8〃/

点0到直线/：x_y+〃?=o的距离d=空,

所以△丽