集合与常用逻辑用语（11大题型）-高一数学上学期期末专项训练（苏教版）解析版

专题01集合与常用逻辑用语

I题型归纳•内容导航I

I题型通关•靶向提分

题型一利用元素的互异性求参数（共4小题）

1.已知，〃eR,〃eR,若集合1/〃,二［1={〃?2,加+九。},则〃产+〃2025的值为（）

"IJ1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根据集合相等结合集合的互异性求〃?，〃，代入即可得结果.

【详解】因为］211=卜犹〃?+〃，。}，

mv'

“『知0ek,且〃7工0,可得〃=（）,

即{见0,1}={疗，肛0},可得病=1,且加工1,解得加=-1,

代入〃=0,"?=-1检验符合题意，所以〃产+/产

故选:B.

2.（25-26高一上•江苏扬州•期中）已知集合4={2,。+5,/+54,若6eA,则〃=.

【答案】-6

【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可.

【详解】因为A={2,〃+5,/+5a},6GA,

当4+5=6时，则a=l,此时（/+5〃=6，不符题意：

当/+5〃=6时，解得。=1（舍去）或"=-6,若。=-6,则A={2,-1,6},符合题意；

综上所述，a=-6,

故答案为：-6.

3.已知集合人={12,标+44/-2},-3eA,则。=（）

A.-1B.-3或1C.3D.-3

【答案】D

【分析】根据元素与集合的关系求出。的值，验证集合元素互异性即得.

【详解】由-3w4可得+4。=一3或。-2=-3.

①当/+4〃=-3时，解得。=一1或。=一3,

若。=一1,则〃-2=-3,与集合元素互异性矛盾，

若〃=—3,贝Ija—2=—5,此时A={12,-3,—5）,符合题意，故。=一3；

②当a-2=-3时，a=-\,由上分析可知不合题意.

故a=-3.

故选：D.

4.若集合A={4，%，…,可}（0<4<%<一<凡,〃£1^,〃23）具有性质。：“时任意。（1〈/'〈）«，。，q+勺与

至少有一个属于A”,则称集合4为/,型集合.已知集合{%,%，%}为/'型集合，且生=2025,则

%=（）

A.1025B.3075C.4050D.4100

【答案】C

【分析】根据题意，得到。3=。£人，得到％=0,再由4结合元素的互异性，即可求解.

【详解】由集合2M3}为。型集合，则。46<%</，

因为对任意i，J（i</<><«）,a,+«；与勺-q至少有一个属于A,

则%+勺信4%-%一0G八，所以外一。，

又因为生+。3/A，则/-/wA,

根据集合元素的互异性，可得/-生=%，所以%=2%=2x2025=4050.

故选：C.

题型二集合子集个数判断（共5小题）

5.若集合X={0」},则集合丫={（。力）keXM-heX}的真子笑的个数为（）

A.3B.4C.7D.15

【答案】D

【分析】分类讨论〃=0和。=1时，6的可能取值,得出集合丫={（0。，（0,7）,（1⑼,（□）}，即可求出集合

y的真子集.

【详解】集合x={（）4},集合y={e，〃）kex,a-8eX},

若a—0,则〃一0或一1；若a—1,贝ij〃一0或1,

0/={（0,0）,（0,-1）,（1,0）,（1,1）},

^Y={（ayb）\aGXya-bGX}的真了集的个数为2,-1=15.

故选：D.

6.（25-26高一上•江苏常州•期中）已知集合A满足{1,2}星4[[1，2,345},则满足条件的集合A的个数为

（）

A.2个B.3个C.4个D.7个

【答案】D

【分析】根据集合A中的元素个数分类讨论即可求解.

【详解】由{1,2}14={1,2,3,4,5}有:

当集合人中有3个元素时，人可以为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},共3个

当集合4中有4个元素时，4可以为{1,23,4},{1,2,3,5},{1245},共3个,

当集合A中有5个元素时，A为{1,2,3,4,5},共1个，

所以满足条件的集合A的个数为3+3+1=7个，

故选：D.

7.若xcA且J-wA则称非空集合A为“和谐集已知集合哈上二内底凡则集合必的子集中

I（23J

"和谐集"的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由“和谐集”定义对集合M中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集〃中的一组元素，

23

可得结果.

【详解】根据题意可知，当工=-2时，任A,所以-2不是“和谐集”中的元素；

1-x3

1I221II

当工=一二时，---=—eA；当彳=不时，----=3wA；当x=3时，----=--eA；

21—x331—x1—x2

12

所以乙，早3是“和谐集”中的一组元素；

当工=0时,J-=\eA,当x=l时.」一无意义，所以0,1不是“和谐集〃中的元素•：

i-xi-x

[12

综上可知，集合M的子集中"和谐集"的个数只有1个，即一5々3、

故选：B

8.已知集合A={-1,0,1},8={z\z=x+y+\,xeA,yeA],则集合3的真子集个数为（）

A.8B.16C.31D.63

【答案】C

【分析】根据题意，利用列举法求化简集合8,从而求得集合3的真子集个数.

【详解】依题意，得z=T-l+l=-l；z=-l+0+l=0；z=-l+l+l=l：

z=0—1+1=0；z=0+0+1=1；z=0+1+1=2：

z=l—1+1=1：z=l+0+l=2；2=1+14-1=3,故8={-1,0,1,2,3},

其真子集的个数为：25-1=31.

故选：C.

9.定义A*8={Z|Z=D+1,XCA）”8},设集合A={0,l},集合4={1,2,3},则集合的子集的个数

是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】根据题中定义，运川列举法、集合子集个数公式进行求解即可.

【详解】因为A"={1,2,3,4）,

所以人*8集合的子集的个数是24=16,

故选:C

题型三根据集合包含关系求参数（共5小题）

10.（25-26高一上•江苏•月考）若集合A=卜辰2_曲+2=（）}有2个子集，则实数〃?的值为（）

A.1B.2C.0或2D.1或2

【答案】C

【分析】分析可知，集合A有且只有1个元素，对实数〃，的取值进行分类讨论，当〃2=0时，直接验证即

可；当旭工。时，可得出A=0,综合可得出实数―的值.

【详解】因为集合A=k|〃涓-4x+2=0}有2个子集，故集合A有且只有1个元素，

当加=0时,A={x\-4x+2=0}=^,合乎题意：

当加W0时，则美于x的方程帆丫2-4x+2=0有两个相等的实根，

所以△=（-4）2一4"ix2=16-8/??=0,解得m=2.

综上所述，〃2=0或2.

故选：C.

11.已知集合A={x|-2W10},非空集合8={引1-〃区y4l+〃“，若A,则实数机的取值范围为

（）

A.m<3B.in<3C.0<m<3D.0<m<3

【答案】C

【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可.

【详解】因为集合月=卜|-2JK10},非空集合8={刈-〃区”1+/〃},且

1-//?<1+m

所以<1一〃?2-2,解得：OW,〃工3.

1+w^IO

故选:C.

12.设集合4=卜卜1<%<2},8={x|"x<a+l},若则。的取值范围是（）

A.1-1,1)B.I-UIC.[0,2]D.(T11

【答案】B

【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可.

【详解】由题意可得A={x[T<x<2},B={R〃<x<a+l},且

因此Wjtz，解得

故选:B.

13.已知集合A={4M+2,-3},3=k,+2x—3=0},且8=A,则。的值为（）

A.1B.-1C.±1D.3

【答案】A

【分析】求出集合8,分析可知集合A中必含元素-3、1,可得出关于实数。的方程，结合集合A中的元

素满足互异性可得出实数。的值.

【详解】因为8=[x\x2+2x-3=0}={-3,1}且BqA,

所以-3eAleA,

所以/=1或4+2=1,得。=1或-1,

根据集合中元素的互异性可得+]解得4-1且"2且”-5,故4=1.

。+20一3

故选：A.

14.（25-26高一上•江苏淮安•期内）己知全集。=1<,设加为实数，集合4={x|lWxW4},集合

⑴若〃?=一1,求心（A（JB）；

（2）若Aq8,求机的取值范围.

【答案】⑴6（4=3）={小<-1或x>4}

（2）川〃721）

【分析】（1）当，〃=-1时，写出集合8,利用并集和补集的定义可求得集合Q,，（AD8）；

（2）分8=0、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数加的不等式（组），综合可得

出实数次的取值范围.

【详解】(1)当〃?=一1时，集合8={必%。42-用}=3—1WXW3},

由集合A={X|1WXW4},所以AJ8={H_1WXW4},

所以e(A=B)={Mxv-l或x>4}.

(2)分以下两种情况讨论：

①当5=0时，m>2-m,解得〃>1,此时3=4,合乎题意；

m<2-m

②当时，由BqA可得一"21,解得切=1.

2-〃?44

综上所述,实数〃?的取值范围是{〃加21}.

题型四集合的交并补运算(共5小题)

15.已知集合人="|Y-X_2>U},H=|A|y=ln(3x-x2)},贝！Af[4=()

A.(-1,0)B.(-1,3)C.(2,3)D.(0,2)

【答案】C

【分析】由丁一工一2>()和3x-f>o化简集合A,B,再由交集运算即可求解.

【详解】由丁7-2>0得至卜>2或文<-1,即A=(-OO,T)U(ZE),

由维-/>。得到0<工<3,即8=(0,3),

所以4。5=(2,3),

故选：C

16.(24-25高一上•江苏南通•期天)已知集合A={xcN'|x=j2x—y+4}，若4U8=A,满足条件的

所有集合B中元素的和.

【答案】36

【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得4y2-8冲+/。-2)2=0,根据判别式可得04x44,再依次经

检验得A={2,3,4},再根据A|J8=A可得满足条件的所有集合B,即可计算元素的和.

【详解】根据题意，将等式/=行3+4两边平方得Y=2x+2而二7

继续平方整理得4V-8个+-*-2)2=0,故该方程有解；

所以△=64/—16/(工一2)220,即一人+4、之0,解得04x44.

又因为xeN",故x=L2,3,4；

当x=l时，即4)，2一8)叶1=0,解得工乂手，代入户乒丁+4验证可知不符合题意；

当工=2时，即)，_4),=0,解得丁=0或y=4,代入验证可知符合题意；

当工=3时，即4y2-24)，+9=0,解得)，=2半，代入验证可知符合题意；

当1=4时，即)，2一8)，+16=0,解得y=4,代入验证可知符合题意；

故人={2,3,4},由AU8=A,可知集合B是集合A的了•集：

所以，满足条件的所有集合B共有8={2},13={3},4={4},〃={2,3},4={2,4},13={3,4},

3={2,3,4},

所以，所有元素之和为4X(2+3+4)=36.

故答案为：36.

17.设全集U=R,集合人={文1W—5X+4>。},集合4={X|2'<8},则(«A)C8=()

A.(1,3]B.[1,3)C.[3,4)D.[3,4]

【答案】B

【分析】分别求出集合A与集合B,再求补集及交集运算即司;

【详解】解不等式5x+4>0得五<1或x>4,所以A=(F,DU(4,E)；

解不等式2，<8得xv3,所以8=(-8,3),

所以务A=[l,4],所以佃A)c3=[l,3以

故选:B

18.设全集。=1<,集合4={x|-lvx<4},B={x|y=ln(.r-2)},则4D(Q/)=()

A.y,4)B.(y,4]C.(-1,-Ko)D.R

【答案】A

【分析】先明确集合4,再利用集合的混合运算求A=(4图).

【详解】由x-2>0=x>2,所以8={x|x)2}.

所以4.8={x|x<2},40(霞冏={x|x<4}=(—,4).

故选:A

19.(24-25高一上•江苏宿迁•期末)已知集合A=3x为不大于6的正奇数},B={M-lvxv4},则

AC|8=()

A.{1}B.{1,3}C.{3,5}D.{1,3,5}

【答案】B

【分析】求出集合A,利用交集的定义可求得集合AcB.

【详解】人=3%为不大于6的正奇数}二{1,3,5},B={x|-l<x<4},故4n8={1,3}.

故选:B.

题型五根据交并补混合运算求参数(共6小题)

20.已知集合4={x|xW2},B={X|X2-2X-3>0},C={xQ〃}且4J&8)UC=R,则实数〃的取值范

围为()

A.(-1,-KO)B.(。,3)

C.(fT]D.(F3]

【答案】B

【分析】先求解集合〃，再得到然后根据4U(«8)UC=R.即可求解实数〃的取值范围.

【详解】因为B={xk2-2x-3"},所以8={小《-1或工23}.

所以QB={M_I<X<3},

所以45«3)=卜,<3},

因为AU&B)UC=R，所以a<3,

所以实数。的取值范围为(―,3).

故选：B.

21.(25-26高一上•江苏南京・期口)已知集合A={1,〃?2},集合8={T1,〃“，若80区=人，则实数〃，的

值为.

【答案】0

【分析】结合题意得到达而建立方程并合理取舍，最后得到参数值即可.

【详解】因为An8=A,所以A=B,

而m2之（），则讨论病=，〃即可，

当〃P=〃?时，可得〃〃?=0，解得〃7=1或〃7=0,

当加=1时，不满足互异性,故排除,

当〃7=0时，A={1.0},B={-1,1,0）,满足条件，所以m=0.

故答案为：0

22.集合A={x|-lvxv4},B={x\-\<x<3},集合C={涉〃WxW〃?+2},若Cn«（AUB）=0,则以下

用的取值不满足题意的是（）

A.m=-\B."7=0C.m—1D.in=2

【答案】D

【分析】根据题意，求得。（A=B）,利用cna（AUB）=0,列出不等式，求得利的取值范围，结合选

项，即可求解.

【详解】由集合A={x|-lvxv4},B={x|-l<x<3},

可得AU3=[T，4）,则Q（Au8）=（f,-1）34,”），

>—1

因为Cna（AUB）=0,则满足《一c.解得一1工m<2,

in+2<4

结合选项，可得选项D不满足题意.

故选:D.

23.己知集合A=33"<7},8={小>〃“，若他A）UA=R,则机的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<7D.ni>7

【答案】A

【分析】根据题意，求得电4=3x<3或67},结合@A）U8=R,即可求解.

【详解】由集合A={x|3Wxv7},B=[x\x>m\,可得条4={x|x<3或x37},

因为QA）U8=R,则满足〃?<3.

故选;A.

24.（25-26高一上•江苏镇江•月考）设A={X,-7X+12=0},8=卜卬-1=。},若=则实数

的值不可以是（）

A.0B.—C.-D.3

34

【答案】D

【分析】利用交集的概念分类讨论方程的解判定选项即可.

【详解】易知x2-7x+12=0的解为x=3或x=4,即A={3,4},

若8=0,即。=0,显然符合题意；

若8W0,则，=3或』=4,即〃、或：；

aa34

综上所述：〃=（）,Q=g或；.

故选：D

25.（24-25高一上•江苏•期末）已知集合4={x|a-l<x<a+l},8={#）<x<3}.

⑴若AU8=B,求实数。的取值范围；

⑵若AC|Bw0,求实数。的取值范围.

【答案】（l）14a42

⑵-1<a<4.

【分析】（1）依题意可得AqB,即可得到不等式组，解得即可；

（2）依题意可得0va+lv3或（）〈。-1<3,即可求舟参数的取值范闱.

【详解】（1）解：因为AU8=8,所以AqB,

a—120

所以{­,，即14。42；

«+1<3

（2）解：因为

所以Ova+1<3或0<。一1<3,

所以一1<々<4.

题型六Venn图及容斥原理的应用（共7小题）

26.（多选）如图，已知矩形U表示全集，是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A.（dA）c8B.4（Ac8）C.«（Ac8）D./⑷（Ac团

【答案】AC

【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.

【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合4,而不属于集合A,

即在阴影部分区域内任取一个元素工，则满足X任A，且xwB,即xeQ/且xe4；

因此阴影部分可表示为何力（1乩即A正确：

xeB且工武“14），因此阴影部分可表示为asns，C正确；

易知阴影部分表示的集合是。，（4C国和年瘀）（4「8）的真子集，即B错误，D错误.

故选：AC.

27.高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪

山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人.则这两部电影都观看的有（）

A.6人B.7人C.8人D.9人

【答案】C

【分析】画出韦恩图，列方程可得.

设这两部电影都观看的有x人，

由图形可知18—X+K+15-X+25=50,解得X=8.

故选：C

28.（25-26高一上•江苏南京•期一）已知全集。=氏，A={x|-3<x<l},笈={幻0父.1<2},则图中阴影

部分表示的集合为.

U

AB

【答案】3-3<x<0}

【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为An（Q，8）,再利用交集、补集的概念和运算规则求解.

【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为AG（电8）,

VB={x\0<x<2],U=R,

.•.QI={K|X<0或）之2},

A={x|-3<x<1},

/.箱（64）={x|-3<X<1}Q{xIA<0nKA->2}={x|-3<X<0},

故答案为：{x|-3vx<0}.

29.现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25

名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加

的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（）

A.10B.8C.9D.14

【答案】A

【分析】利用容斥原理即可得到答案.

【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为45-（25+22-12）=10.

故选:A

30.某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A、径赛项目8、其他健身项目

C.该班有25名同学选择球类项目A,20名同学选择径赛项目8,18名同学选择其他健身项目C；其中

有6名同学同时选择A和8,4名同学同时选择A和C,3名同学同时选择3和C.若全班同学每人至少选

择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（）

A.52B.51C.50D.49

【答案】A

【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案.

【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择A和B两个项目的同学有4人，

只选择A和C两个项目的同学有2人,只选择C和8两个项目的同学有1人，

只选择4一个项目的同学有17人，只选择8一个项目的同学有13人，只选择C一个项目的同学有13

人，如图,

所以班级人数为；25+13+1+13=52.

故选：A

31."量子计算机原型机，九章三号〃'"可重复使用试验航天器"“新一代人工智能大模型，紫东太初30〃是2025

年我国三大前沿科技成果，某校高一(1)班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15

人关注了“九章三号”，有8人关注了“可•重复使用试验航天器〃，有14人关注了“紫东太初3.0〃，有3人同

时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号〃和〃紫东太初3。“，没有人

同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0〃的人数为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】设关注了“九章三号''的同学构成集合A,关注了“可重复使用试验航天器”的同学构成集合“，关

注了“紫东太初3.0〃的同学构成集合C,利用韦恩图求解.

【详解】设关注了“九章三号〃的同学构成集合4.关注了“可重复使用试验航天器”的同学构成集合

关注了“紫东太初3.0”的同学构成集合C,

由题可得G"(A)=15,Card(⑼=8,Ca/rZ(C)=14,Card(力c8)=3,CarJ(AnC)=3,

Card(AuBuC)=28,

如图，可得

Card(A<jB^jC)=Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(Ac8)-Card[AoC)-ChrJ(BnC).

.•.28=15+8+14-3—3-CmH(bcC),即得厂d(BcC)=3,

所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为14-3-3=8.

故选:C.

32.已知集合A、R、C是全集。的三个真子集，A、9、C.的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所

B.Anc+^nc

C.（AcC+8cC）-Ac8cCD.Ac&CuB）

【答案】B

【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.

【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为（Anc）u（〃nc）,

即阳影部分表示集合为Anc+Hpic.

故选：B.

题型七集合新定义（共5小题）

,-

33.若xwA,则则称A是伙伴关系集合，在集合M=-4,-1,0,4,1,2,4的所有非空子集

x22

中，具有伙伴关系的集合个数为（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可.

【详解】・.・一2eA时，则々wA；-leA时,则4"；

-2-1

IwA时，则;eA；2wA时，则:©4,

.•.笑合用={-4,-2,-的所有满足新定义的元素有6个，

那么A={-1},A={1},4={-2,-1),A=d，2},A={-1,1},

22

A={-2,—；,7},/t={-2,-1,1),A={-l12),A={1,：,2},

A=,A={-1,1,—,2},A={-2,--,-1,1),

2222

A={—2,—A={-2,-l2),>4={-2,-l-1,112),共有15个.

故选：B

34.已知集合A={1,2,3},^={XGN|X2-3X-4<0},若4。8={.小£A且xe3},则A08=()

A.{0,4}B.{T4}C.{-1,0}D.{-1,0,4)

【答案】A

【分析】求出集合3,结合题中定义可得结合A08.

【详解】因为集合4二{1,2,3},/^={xeN|x2-3x-4<o}={xeN|-l<x<4}={0,1,43,4},

所以404=卜,区A且xwB}={0,4}.

故选：A.

35.对于集合AB,我们把集合{x|xeA,且x足印叫做集合的差集，记作A—/L已知集合

M=(-2,l),7V={x|x2-2(/+I)x+r+2r<0},则下列说法正确的有()

A.若f=O,则M—N=(—2,0)B.若f=l,则N-M=[l,2)

C.若M-N〜N,则一2""一1D.存在f,使得M—N=N-M

【答案】C

【分析】先化简集合N=(f"+2),根据差集得定义可判断AB选项；根据M-N=g(MnN),

N_M=a(MCN),结合题意，转化为集合N,"之间的关系可判断CD选项.

【详解】由％2—2(/+l)x+/+2/<0,得(x—f)[x—(/+2)]<0,解得rvxvf+2,

则N=(1,/+2),

对于A,当“0时，N=(O,2),又”=(-2,1),则M-N=(-2,0],故A错误；

对于B,若1=1,则N=(l,3)，见N—M=(l,3),故B错误；

对于C,由定义知M—N=a/MnN）,又M-N=a,N,

则McN=N,因此可得NqM,

t>-2

叫二2<1’解得—24Y-1,故C正确；

对干D,由“一'=为（加口"），N-M=M（MCN）,

乂M—N=N—M、可得M=N,

t=-2

则0-无解，因此不存在这样的f，使得M-N=N-M,故D错误；

r+2=1

故选：c.

36.若数集A={4，%，…<%，〃之2）具有性质p：对任意的《巧与巴■中

至少有一个属于A,则称集合A为“权集〃，则（）

A.{134}为“权集〃B.{2.3,6}为“权集”

C.“权集〃中元素可以有0D.“权集"中一定有1

【答案】B

【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B,集合“权集"中不能有0,判定C错误，举例验证，判定D错

误.

【详解】因为3x4与g均不属于数集{1,3,4},所以A错误；

因为2x3,*1都属于数集{2,3,6},所以B正确；

由“权集”的定义可知不能有0,所以C错误：

易知{2,3,6}是〃权集〃，所以“权集”中不一定有1,故D错误.

故选：B.

37.已知实数集A={a”a2M3,…4}（〃23）,定义夕（4）={《勺|a/wA/wj}.

⑴若A={-2,-1,0,3},求研A）；

⑵若以4）={-15,-12,-6,0,8,10,20},求A；

⑶若A中的元素个数为7,求夕（4的元素个数的最小值.

【答案】⑴e（A）={-6,-3,0,2}

（2）.4={-3,0,2,4,5}或A={-5,-4,-2,0,3}.

（3）9

【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；

（2）根据给定定义可得OeA,再按4中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计

算；

（3）按A中没有负数和A中至少有一个负数两种情况分类讨论求解.

【详解】（1）因为A={-2,T,0,3},所以夕（A）={-6,-3,0,2}.

（2）因为Oe0（A）,所以OwA.

因为夕（4）中除0外还有6个元素，所以A中除0外至少还有4个元素.

因为矶A）中除0外有3个负数，3个正数，所以A中除。外的4个数是1负3正或1正3负.

①若A中除。外的4个数是1负3正，设4={〃,0/"4},其中a<0<〃vc<d.

由“4=-15,ac=-12,ab=-6,可得a,bcd=-1080.

由be=8、bd=10,cz/=20,可得bed=40,

所以a?=一27，从而。=-3,6=2,c=4,d=5,即4={-3,0,2,4,5）.

②若A中除0外的4个数是1正3负，设A={a,A,GO,d},其中av。vc<0vd.

fhud=-15,bcJ=-\2,cd=-6,可与d3abe=-1080.

由儿=8,ac=10,a〃=20,可得。从=-40,

所以『=27,从而d=3,a=-5，人Tc=-2,即A={-5,<-2,0,3}.

综上所述，A={-3,0,2,4,5}或A={-5,-4,-2,0,3}.

（3）因为将A中的所有元素均变为原来的相反数时，0（A）不变，

所以不妨设A中正数个数不少于负数个数.

①当A中没有负数时，设4={4，生吗，…，/}，其中0<4<%<…<为，

则0<Va2a3<a2a4<•••<<。仍<…Va/h.

上式从小到大的数共有1+5+4=10个，它们都是夕（4）的元素，说明。（A）最少有10个元素.

②当A中至少有一个负数时，设九4，…也是A中的全部负元素，q，G，…,q是A中的全部非负元素，

不妨设“<%<一<"<OWCi<G〈・Yq,其中s，f为正整数，s+r=7,sW3,/N4.

因为久<力£<…<〃心<〃£<0,其中从小到大的数共有s+f-l=6个，

所以以A）中至少有6个非正元素.

因为Ovqq<。2。4vqc4V…<。一£，△4,所以0（4）中至少有3个正元素，

所以*（A）中至少有9个元素.综1：所述，0（A）中至少有9个元素.

题型八充分条件、必要条件、充要条件的判断（共8小题）

38.2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日.台湾是中国不

可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳.那么“小明是台湾人"是“小明是中国人”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断.

【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人〃，“小明是中国人"不能推出"小明是台湾人”，

所以“小明是台湾人"是"小明是中国人"的充分不必要条件.

故选:A

39.设Q,0sR,则"sina=sin'"是"a+阿=兀”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由sin。=sin"解出a,£的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断.

【详解】由a,,sinar=sin/7,可得a=/?+2Mr,KwZ或a+尸=兀+2也，kwZ.则可知"sina=sin/?”

是纥+/=兀〃的必要不充分条件.

故选:B.

40.对于实数工，""1"是",一2|工1〃的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】利用推出关系来判断充要关系即可.

【详解】由十-2|工1"等价于力"且XH3”，

当xwl时无法保证4。3,但当工行且xw3时必然有xwl,

故"工工「是"卜-2|01〃的必要且不充分条件.

故选：B

41.（多选）下列结论中正确的是（）

A."x<4〃是“《-2〃的必要不充分条件.

B.在MBC中，"A^+AC'AC?"是"V48C为直角三角形〃的充要条件.

C.若小R,则"/+"（）”是"〃不全为0〃的充要条件.

D."|乂<1"是"_2_3<o"的充分不必要条件.

【答案】ACD

【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误.

【详解】对于A,｛士<-2｝是｛・|x<4｝的真子集，

所以"x<4〃是“欢-2〃的必要不充分条件，正确；

对于B,充分性：若A8?+AC?=AC?,则/3AC为直角，

所以VA8C为直角三角形，充分性成立；

必要性：若VABC为直角三角形，

则“N84C为直角”或"NA8C是直角〃或为直角〃，

所以"A/32+AC2=AC"或"AB2+BC2=AC?"或"AC2+BC2=AB2”,

即必要性不成立.

因此"A3、AC2=皿2〃是“VA4C为直角三角形〃的充分不必要条件，错误.

对于C选项，充分性：因为《J+Z/wO,若。=〃=0,则〃2+〃=0,

所以。=〃=0不成立，所以。、。不全为0,充分性成立；

必要性：若〃、。不全为0,贝1」片+从>0,必要性成立.

因此7+6=0，，是“。、。不全为0〃的充要条件，正确;

对于D选项，W<lo-U/-2工-3<00-1<4<3,

｛x|-lVXV1｝是｛x|-l<x<3｝的真子集，

所以"国<1"是的充分不必要条件，正确.

故选：ACD.

42.已知函数〃力的定义域为R,命题p"（2）>/（l）,命题是增函数，则〃是，/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断.

【详解】充分性：函数/（力的定义域为R，若不能就此判断了（X）是增函数，

xxW2

例如函数〃力=］二，此时〃2）=2J⑴=1,满足

但该函数在定义域R不是增函数，所以则P是夕的不充分条件.

必要性：若/（力是增函数，根据增函数定义，一定有〃2）>/（1）,则〃是4的必要条件.

综上，〃是夕的必要不充分条件.

故选:B.

43.“-2<大<2"的一个必要不充分条件是（）

A.-2<x<2B.-1<x<2

C.x>2D.x>-2

【答案】D

【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可.

【详解】—2<x<2可以推出x>-2,x>—2不能推出一2<%<2,

所以x>-2是-2<x<2的必要不充分条件，D选项正确；

"-2<x<2〃是-2vxv2的充要条件，A选项错误；

“一1<%<2"可以推出一2cx<2,"―l<x<2"是—2<x<2的充分条件，B选项错误；

“一2<X<2〃不可以推出x>2,“人>2〃不是—2vxv2的必要条件C选项错误；

故选：D.

44."知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语・雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的

人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题P：“一个人以学习为乐〃，命题

心“一个人喜爱学习"，则P是"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】根据题意，

若命题P（一个人以学习为乐）成立，则命题夕（一个人喜爱学习）一定成立，即〃

但命题“成立时，命题P不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即P.

因此，〃是夕的充分不必要条件.

故选A.

45."匈奴未灭，何以家为〃是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮

语.体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活.没有“大

国崛起"，就没有"小民尊严".请问"大国崛起"是"小民尊严"的（）条件.

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件D.充分不必要条件

【答案】C

【分析】由充分、必要条件概念艮]可判断.

【详解】没有“大国崛起〃，就没有"小民尊严"，

这等价于：如果有“小民尊严〃，则--定有“大国崛起

也就是说：“大国崛起"是"小民尊严"的必要条件.

条件中没有说“大国崛起”一定导致"小民尊严"，所以不充分.

因此，“大国崛起〃是“小民尊严〃的必要不充分条件.

故选：C

题型九根据充分条件、必要条件求参数（共6小题）

46.已知p：-l<x<l,若<7是P的必要不充分条件，则实数，〃的取值范围是（）

A.B.（fT]C.（-1,0）D.（fT）

【答案】B

【分析】将必要不充分条件转化为真了•集关系即可求解.

【详解】设集合A={H-l<xvl},集合8={上>〃?},若夕是P的必要不充分条件，

所以A是8的真了•集，可得〃K-1.

故选：B.

47.己知集合A={M-2WxW5},B=+1<x<2/?z-1|,若P：xeA,9：xwB,〃是“的必要不充

分条件，则，〃的取值范围是（）

A.[2,3]B.[-3,3]C.（-oo,3]D.（2,3]

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得.

【详解】〃是9的必要不充分条件，则8是4的真子集，

当〃2+1>2"7-1，即〃7<2时，8=0符合题意；

当加+142加一1,即〃232时，8H0,则〈且两个等号小能同时取得，解得—34，〃43,加以

2m-1<5

2<ni<3,

综上，"?w（田,3],

故选：C.

48.已知集合4={#1小或x之3）,3={x|l<xv〃+2）,若与€金4是的充分不必要条件，则实数。的

取信范围是（）

A.[1,3]B.（-oo,l]C.（1,-Ko）D.[1,+co）

【答案】C

【分析】先求得"