江苏省2024-2025学年上学期12月月考九年级数学测试卷（解析版）

九年级(上)12月

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答

在本试卷上无效.

2.请将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的制定位

置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1.帼物线y=(i)+2的顶点坐标是()

A.(1,2)B.(1,—2)c.(―1,2)D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解

题的关键.

【详解】解：抛物线y=(x—1丫+2的顶点坐标是(1,2),

故选：A.

2.五名同学捐款数分别是5,3,5,5,10(单位：元)，捐10元同学后来又追加了10元.追加后的5

个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是()

A.只有平均数B.只有中位数C.只有众数D.中位数和众数

【答案】D

【解析】

【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案.

【详解】解：追加前的平均数为：1(5+3+6+5+10)=5.8：

从小到大排列为3,5,5,6,1(),则中位数为5；

5出现次数最多，众数为5；

追加后的平均数为：|(5+3+6+5+20)=7.8；

从小到大排列为3,5,5,6,20,则中位数为5；

5出现次数最多，众数为5；

综上，中位数和众数都没有改变，

故选：D.

【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重

新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数.众数是一组数据中出现

次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

3.一个扇形的半径为4,弧长为2万，其圆心角度数是()

A.45B.60℃.90D.180

【答案】C

【解析】

【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数.

【详解】解：:扇形的半径为4,弧长为2万，

八x4

:.24=-----

18()

解得：〃=90,即其圆心角度数是90。

故选C.

【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键.

4.随机抛掷两颗质地均匀的正方体假子(正方体骰子的六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),则向上

一面两个数字的乘积是3的倍数的概率为()

5nl八2

A.—B.-C.-D.一

36393

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；

根据题意列出表格，求出所有等可能的情况数和两个数字的乘积是3的情况数，再利用概率公式求解.

【详解】解：列表得：

123456

1(1,1)(L2)。，3)(⑷。，5)0,6)

9.（2」）（2,2）（2,3）（2.4）（2,5）（26）

3（3』）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）

4（4」）（4,2）（43）（4,4）（4,5）（4,6）

5（51）（5,2）（53（54）（5,5）（5,6）

6（61）（60（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）

由表格可知：所有等可能的情况有36种，其中两个数字的乘积是3的情况有：（1,3）,（1,6）,（2,3）,

（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,（4,6）,（5,3）,（5,6）,（6,1）,

（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共20种,

5

20

・•・向上一面两个数字的乘枳是3的倍数的概率为一9-

36

故选：C.

5.若二次函数丁=依2一2改+。的图象经过点（一1,0）,则方程a?_23：+c=（）的解为（）

A.x=—1B.%=3,X1—1

C.=-l,x2=-3D.X}=3,X2=-1

【答案】D

【解析】

【分析】先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程

cue-2ax+c=（）的解.

【详解】X,=3,X2=-1

解：*.*y=ax1-2ax+c=a（x-\）2+c-a,

・••二次函数的图象的对称轴方程为直线x=l,

•・•二次函数U=加_2av+C的图象经过点（-1,0）,

・•・二次函数图象与大轴的另一个交点坐标为（3,0）,

：・方程or?一2av+c=0解为X=3,々=一1,

故选:D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与工轴的交点坐标.

6.如图，二次函数y=aF+法+c（〃>0）图象的顶点为。，其图象与工轴的交点A、3的横坐标分别为一1,

3.与），轴负半轴交于点C,在下面五个结论中：①加—匕=0；②c=—3。；③当机W1时，〃+8<〃〃/+加?；

④若端+如=4+加，且%。占，则%+/=2；⑤使A4CB为等腰三角形的。值可以有三个.其中

正确的结论个数是（）

A1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】①根据对称轴，可得答案；

②根据A点坐标，可得答案；

③根据顶点是函数的最值，可得答案；

④根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；

⑤分类讨论：A3=BC=4时，当AB=AC=4时，根据A点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组,

可得答案；AC=BC,根据勾股定理你，可得答案.

【详解】解：①•.•图象与x轴的交点A,。的横坐标分别为一1,3,

:.AB=4,

对称轴x=---=1,

2a

即2。+/?=0.

故①错误；

②点坐标为（T,。），

;.a-b+c=0,而。二一加，

.\a+2ei+c=0,即c、=—3a.

故②正确；

③由〃〉0,顶点是函数的最小值，时，得

a-\-b+c<cmr+bm+c»两边都减c,得

a+b<am2+bm，

故③正确；

④ax；+如=or；+bx2,得

ax：+bx}+c=谒+bx24-c,

且』工修，则不+々=2,故④正确；

⑤要使AACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或A8=AC=4或AC=,

当AB=BC=4时，

vAO=\,△8OC为宜角三角形，

又・,・CC的长即为Icl，

.•.4,2=16-9=7，

,・,由抛物线与>轴的交点在)‘轴的负半轴上，

:«=-不，

2a+Z?=0

♦Q-Z;+c=(),解得〃=业；

c73

同理当AB=AC=4时，

・.・AO=1,△AOC为直角三角形，

又・.・0C的长即为|c|,

/.c2=16—1=15*

,/由抛物线与)，铀的交点在》‘铀的负半轴上，

，C=一屈，

2a+b=0_

<a-b+c=。,解得〃二匹；

c=-^53

同理当AC=8C时

在△AOC中，AC2=1+C2»

在JOC中8。2=02+9，

\-AC=BC,

.•.1+/=/+9,此方程无解.

经解方程组可知只有两个。值满足条件，故⑤错误，

故正确的有②③®共3个正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称

轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上)

7.若x=1是方程W—3x+〃=0的解，则a的值为.

【答案】2

【解析】

【分析［本题考查了一元二次方程根的定义，把％=1代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定

义是解题的关键.

【详解】解：・.・x=l是方程/一3戈+。=0的解，

；・1-3+。=0,

G=2,

故答案：2.

8.某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值的平均增长率为

x,则可列方程为.

【答案】200(l+x)+200(1+J=720

【解析】

【分析】设公司月平均增长率为x,则二月的产值为200(l+x),三月的产值为200(1+八)，根据题意列

出方程，即可求解.

【详解】解：设公司月平均增长率为x,则二月的产值为200(1+力，三月的产值为200(1+力2,

根据题意得：200(1+x)+200(1+=720.

故答案为：200(1+x)+200(l+xf=720

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

9.半径为13圆内的两条平行弦分别为10和24长，则两条平行弦之间距离是_________________

【答案】17或7

【解析】

【分析】本题考查/勾股定理和垂径定理.，分两种情况进行讨论：①弦A8和C。在圆心同侧；②弦A8和

CO在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.

【详解】解：有两种情况：①如图，当A8和C。在。的两旁时，

过。作八3「加，交CD于N,连接。8,OD,

•/例CD,

:.MNLCD,

由垂径定理得：13M=-AB=\2,DN=-CD=5,

22

,.,OB=OD=10,

由勾股定理得：OM7OB?-BM'=5,

同理。N=12,

;.MN=5+12=17,

②当AB和CO在0同旁时，同理得MV=12-5=7.

故答案为：17或7.

10.在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占40%,期末成绩占

60%,小颖的平时、期末成绩分别为80分，90分，则小颖本学期的学业成绩为.

【答案】86分

【解析】

【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可求解，掌握加权平均数的计算公式

是解题的关键.

【详解】解：小颖本学期的学业成绩为80x40%+90x60%=86分，

故答案为：86分.

11.已知数据天,与，…，工”的方差是3,则一组新数据2%+4,2匹+4,…，2左+4的方差是

【答案】12

【解析】

【分析】如果一组数据A，々，…，Z的方差是S2,那么数据"床”的方差是公$2

（女工0），数据X+〃，々+。，…，的方差不变，依此规律即可得出答案.

【详解】解：•・•数据演，与，…，Z的方差是3,

，另一组数据2%,2z，…，24的方差为2?X3=12,

/.2X）+4,2%+4,…，2%+4的方差是12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数时，平均数也加.匕这个数，方差不变，即数据的波

动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0）,方差变为这个数的平方倍.

12.抛物线y=2x2的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为.

【答案】y=2（x-2）2-3

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：抛物线y=2/的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为

y=2（x-2）2-3

故答案为：y=2（x-2）2-3

【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键.

13.设ab为整数,若关于x的一元二次方程ad+bx+c=0的两个根为&b,则人的值是

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到。+力=-2,由于。、〃为整数，。工o,

a

b》0,则可判断〃为。的整数，设Z?=〃a,。+〃4=-〃，变形得到〃=--利用整数的整除性可判断

当〃=一2时，。为整数一2,然后计算出〃的值即可.

【详解】解：根据题意得。+人=-3，

因为〃、〃为整数，〃。()，

所以〃为。的整数，设/?二〃〃，

则a+na=-n,

当〃二-2时，々为整数一2，

所以〃=_2x(-2)=4.

故答案为4.

14.如图，AB是。。的直径，点C、D、E在上，若NC=100。，则/七的度数为

【答案】10。##10度

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，连接连接AC,可得NAC8=90。，即得

ZACD=ZBCD-ZACB=10°,再由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：连接AC,

•・•43是。。的直径，

・•・ZACB=90°,

•••/BCD=100。，

・•・ZACD=/BCD-ZACB=100°-90°=10°,

・•・ZE=ZACD=10°,

故答案为：10。.

B

15.若函数)，=/一4工+2。的图象与坐标轴有三个交点，则仃的取值范围是______.

【答案】c<2且cwO

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，由函数y=Y—4%+2C的图象

与坐标轴有三个交点，可得抛物线不经过原点且与x轴有两个交点，据此解答即可求解，掌握二次函数的

图象和性质是解题的关键.

【详解】解：1•函数》=12-4,丫十2。的图象与坐标轴有三个交点，

・•.抛物线不经过原点且与x轴有两个交点，

A=(—4)—4x1x2<?>0,且cwO,

解得c<2且c00,

故答案为：。<2且。工().

16.已知点4,4是半径为2的。。上两点，且N4OA=120。，点M是。。上一个动点，点。是AM的中

点，连接8P,则的最小值是_____.

人。

【答案】V7-1

【解析】

【分析】根据垂径定理即可判断点尸在以0A为直径的圆上，设为0。，连接8。，与。。的交点即为P点,

此时有最小值，最小值为8Q-QP,利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得BH,然后

根据勾股定理求得8Q,进而求得研的最小值为近-1.

【详解】解：连接0P,

,点产是AM的中点,

•・•点2在以0A为直径的圆上，设为0。，

/.0Q=AQ=QP=\,

连接8Q,与0Q的交点即为2点，此时肝有最小值，最小值为8Q-QP,

作0N工AB于N,QH工AB与H,

,;OA=OB,

.•.N是A8的中点,

・.・ZB<74=120°,

：.^OAB=ZOBA=3Q0,

AN=OA=V3»AH=AQ=,QH=—AQ=—.

22222

:.AB=2y/3，

A”3百

2

BQ=ylQH2+BH2=V7,

BP的最小值为77-1,

故答案为J7-1.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确

定点P在以Q4为直径的圆上是解题的关键.

三、解答题（本大题共n小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）解方程Y—61—7=0；

（2）用公式法解方程3/一4工一2=0.

r史我】ri、丫一Ir-72->/102+>/10

【答杀】（1）X]——1,x—/；（2）x.=----------♦x,=----------

233

【解析】

【分析】（1）利用因式分解法解答即可；

（2）利用公式法解答即可；

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

2

【详解】解：（1）Vx-6.r-7=0，

.\（x+l）（x-7）=0,

・・・工+1=0或x-7=0,

Xj——],X-y=/;

（2）。=3,b=-4,c=—2,

VA=（-4）2-4X3X（-2）=40>0,

.4±x/402土M

••x=--------=----------，

2x33

.2-7102+V10

••x.=--------»x=-----------

।32.3

18.已知关于x的方程9一2工十加一1二0有一个实数根是5,

（1）求机的值；

（2）求该方程的另一个根.

【答案】⑴加=-14

（2）-3

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义及解一元二次方程

的方法是解题的关键.

（1）把把x=5代入方程计算即可求解；

（2）把，”代入方程，再解方程即可求解；

【小问1详解】

解：把x=5代入方程得，25-1（）+m一1=0,

解得m——14；

【小问2详解】

解：•・•〃?二一14,

二方程为丁一2%一15=0，

即（x+3）（x-5）=0,

；・x+3=0或工一5=0，

解得％=-3,x2=5,

・•・该方程的另一个根—3.

19.已知二次函数y=x1-2mx+m2+2（〃?是常数）.

（1）求证：不论小为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与入轴只有一个公共点.

【答案】（1）证明见解析，（2）2

【解析】

【分析1（】）计算判别式的值得到△=-8,然后根据判别式的意义得到结论；

（2）设抛物线沿），轴向下平移&*>0）个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点，利用抛物

线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为尸r・2必+加+2・k,然后根据判别式的意义得到4=（-

2m）2-4（w2+l-k）=0,从而解关于江的方程即可.

【详解】解：（1）证明：△=（-2m）2-4（加+2）

=-8<0,

所以不论加为何值，该函数图象与1轴没有公共点；

（2）设抛物线沿y轴向下平移A。>0）个单位长度后得到的函数图象与.i轴只有一个公共点，

则平移后的抛物线解析式为-2〃优+〃户+2-匕

△=（-2m）2-4（〃产+27）=0,解得左=2,

即把该函数图象沿），轴向下平移2个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了抛物线与“粕的交点问题，解题关键是把求二次函数y=aF+/»+c（〃，儿。是常数，

“W0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.

20.一初中九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据共测试

成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题:

（1）本次抽取到的学生人数为，图2中，〃的值为；

（2）本次调查获取的样本数据的众数为分、中位数为分；

（3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？

【答案】⑴50,28

（2）12，11

（3）1200人

【解析】

【分析】（1）根据条形统计图可求出抽取的学生人数，进而可得小的值；

（2）根据众数和中位数的定义解答即可求解；

（3）用2000乘以成绩不低于11分的学生人数占比即可求解；

本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数，样本估计总体，弄清统计图之间的数据关系是解题

的关键.

【小问1详解】

解：本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16=50人，

A/n%=—xl00%=28%,

50

=28,

故答案为：50,28；

【小问2详解】

解：;12分的人数最多，

・•・样本数据的众数为12分，

数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第25个数和第26个数的平均数，

・••中位数为11分，

故答案为：12，11；

【小问3详解】

解：2000x巴士处=1200,

50

答：估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1200人.

21.小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：

盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩.

（1）小华选择C项目的概率是：

（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率.

【答案】⑴

3

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）列表法求概率即可求解.

【小问1详解】

解：共有三个热门项目，小华选择。项FI的概率是:；

3

故答案为：—.

3

【小问2详解】

解：列表法如图,

'、二小华

ABC

小丽

AA4ABAC

BBCBBBC

CCACBCC

共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种,

・•・小华、小玲选择不同游玩项FI的概率?=

93

【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点

为：概率二所求情况数与总情况数之比.

22.已知，函数）=（6+1）W-（〃2-4）X+（加—5）的图像过点A（0,-5）.

（1）求此函数的关系式；

（2）当一3cx<2时，的取值范围是______；

（3）若A（a），J,3（〃+1,为）两点都在该二次函数的图像上，且）"<%，求。的取值范围.

【答案】（1）y=x2+4x-5

（2）-9<y<l

（3）〃>—2.5

【解析】

【分析】本题考查二次函数最值，增减性，对称轴，熟练掌握性质是解题的关键.

（1）将点4（0,-5）代入函数解析式中即可：

（2）求出函数的对称轴结合开口方向可得函数最小值再分别求出两端点的函数值即可求解；

⑶将4（4/）,3（〃+1,），2）代入函数解析式即可得/+4々一5〈（。+1）2+45+1）-5,求解一元一次不

等式即可.

【小问1详解】

解：函数y=。〃+1）戈2-（加一4次+（6-5）的图象过点A（0,-5）,

/--5=/7i-5

向隼得：m=O,

则此函数的关系式为：y=x2+4x-5.

【小问2详解】

•・•函数解析式为：y=x2+4x-5,

b4c

42a2x1

,・,抛物线开口向上，

••・当x=—2时函数有最小值为：y=-9,

•・•当工=一3时函数值为—8；当x=2是函数值为7,

••・当-3cx<2时，》的取值范围为一9<y<7,

故答案为：—9W）Y7：

【小问3详解】

•「A（a,x）,3（。+1,必）都在函数），=V+4x-5上，且y<y2，

矿+4〃-5<（a+1）〜+4（〃+1）—5,

解得：ci>—2.5.

23.如图，A8为。。的直径，0。为。。的半径，。。的弦CO与A3相交于点尸，。。的切线CE交

A6的延长线于点E，EF=EC.

（1）求证：OD±AB；

（2）若。。的半径长为3,且BF=BE,求。尸的K.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得NOCE=90°,即得NOCO+/ECF=90。，进而由等腰三角形

及对顶角的性质可得NODC+NOED=90。，据此即可求证；

（2）设8尸=6石=尢，则石尸=XC=2x,OE=3+x,在RtaOC石中利用勾股定埋可得

32+（2X）2=（3+X）\得到8尸=2,再根据线段的和差关系即可求解：

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

【小问1详解】

证明：连接。C,

•・・CE是。。的切线，

：・0CtCE,

NOCE=90°,

Z0CD+ZECF=90°,

•：OC=OD,

・•・/OCD=/ODC,

・•・/ODC+NECF=90°,

•・•EF=EC,

:,4ECF=/EFC,

又：/EFC=NOFD,

・•・4OFD=/ECF,

・•・/ODC+NOFD=900,

：・ADOF=90°,

解：设3b=BE=x,则E〃=EC=2x,OE=3+x,

在RGOC石中，OC'EC?=OE'

・•・32+（2X）2=（3+X）2,

解得无=2,

・•・BF=2,

：.OF=3-2=\.

24.如图，48是。。的直径，AC是弦，。是AB的中点，CD与AB交于点E.尸是A3延长线上的一点,

（1）求证：CF为。。的切线；

（2）连接8。，取3。的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.

【答案】（1）见解析（2）AG=-VlO

【解析】

【分析】(1)方法一：如图1,连接OC,0D.由N0C3=N0£>C,FC=FE,可得

ZOED=ZFCE,由AB是。。的直径，。是AB的中点，ZDOE=90°,进而可得NOCE=90。，即

可证明C/7为。。的切线；

方法二：如图2,连接OC,BC.设NC45=x。.同方法一证明NOB=90。，即可证明CF为。。的切

线；

(2)方法一：如图3,过G作GHJ.A8,垂足为”.设0。的半径为〃则09=〃+2.在RtAOCF

中，勾股定理求得厂=3,证明GA/〃OO,得出△3HGS3OD,根据处=也，求得BH,GH,进

BOBD

而求得根据勾股定理即可求得AG；

方法二：如图4,连接A。.由方法一，得，・=3.AB=6,。是AB的中点，可得4。=8。=3啦，根

据勾股定理即可求得AG.

【小问1详解】

(1)方法一：如图1,连接OC,OQ.

•・•OC=OD,

・•・NOCD=/ODC.

,:FC=FE,

・•・AFCE=ZFEC.

■:4)ED=/FEC,

・•・4OED=/FCE.

〈AB是。。的直径，。是48的中点，

:.ZDOE=90°.

・•・/OED+NODC=90°.

・•・ZFCE+AOCD=90°，即Z.OCF=90°.

：,OCA.CF.

・・・C/为。。的切线.

c

D

图1

方法二：如图2,连接OC,BC.设NC45=x0.

•・Y8是。。的直径，。是A3的中点，

；・ZACD=NDCB=45。.

・•・NC即=NC4B+ZAC7）=（45+x）。.

,:FC=FE,

・•・/FCE=ZFEC=（45+A:）°.

・•・/BCF=x。.

•・・Q4=OC,

・•・ZACO=ZOAC=x0.

・•・ABCF=ZACO.

•・Y8是。。的直径，

・•・ZACB=90°.

・•・ZC>CB+ZACO=90°.

:./OCB+ZBCF=90°，即NOCF=90。.

AOC1CF.

/.。尸为。。的切线.

【小问2详解】

图2

解：方法一：如图3,过G作GH_LAB,垂足为从

设0。的半径为r，则Ob=〃+2.

在取△OCr中，42+r2=(r+2)2,

解之得r=3.

,:GH\.\B,

・•・/GHB=90。.

•・•ZZX?E=90°，

・•・4GHB=ND0E.

:.GH//DO.

:.ABHGSBOD

BHBG

~BO~~BD

•・・G为8。中点,

・•・BG=-BD.

2

313

・•・BH=-BO=-GH=-OD=-

22t22

39

AAH=AB-BH=6——=-.

22

2(9)23

:.AG=yjGH2+AH2=J|十二二ViU.

2

D

图3

方法二：如图4,连接A。.由方法一，得）。=3.

•Y・8是。。的直径，

・•・Z4DB=90°.

VAB=6»。是A3的中点，

・•・AD=BD=3五.

・；G为8。中点，

・•・DG=-BD=->/2.

22

・•・AG=〃小+於=J（3码~十（|血）=|V10.

D

图4

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定,综合运用以上知识是解题的关

键.

25.0。为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据卜列条件分别在图1,图2中画出一条弦，使这条

弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

•oA.O

CB

图1图2

（1）如图I,AC=BCx

（2）如图2,直线/与。。相切于点P,且/〃BC.

【答案】（1）作图见解析：（2）作图见解析.

【解析】

【分析】（1）过点C作直径CQ,由于AO8C,弧AC=弧8C,根据垂径定理的推理得C。垂直平分A3,

所以。。将4A/3C分成面积相等的两部分；

（2）连结P0并延长交BC于£过点A、E作弦八Q,由于直线/与。。相切于点P,根据切线的性质得

OPA.I,而"/BC,则根据垂径定理得8斤CE,所以弦AE将ABC分成面积相等的两部分.

【详解】（1）如图1,直径C。为所求；

（2）如图2,弦A。为所求.

26.某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量V（件）与销售单价工（元）之间满足一次函

数关系，其图象如图所示.

（|）求丁与工之间的函数关系式；

（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润

是多少？

当销售单价为46元时，每天利润最大，为3840元.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解可得;

（2）根据“总利润=每件利润x销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合式的取值范围，利用

二次函数的性质求解可得.

【详解】解：（1）设〉="+〃,

4（洪+6=300

将（40.300）、（55,150）代入，得：

55m50

%=-10

解得：

Z?=700

则y=-10x+700；

（2）设每天获取的利润为W,

则W=（x_30）（-1Ox+700）

=-10X2+1000X-21000

=-10（X-50）2+4000,

Xv-10x+700..240,

：.%,46,

•.「＜50时，W随式的增大而增大，

...当x=46时，W取得最大值，最大值为—10x16+4000=3840,

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目

蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质求最大值.

27.定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“〃阶方点”.例

如,点是函数y="图像的阶方点”；点（2」）是函数>=2图像的“2阶方点”.

13/x

（1）在①（-2,-；）；②③（1J）三点中，是反比例函数），=：图像的“1阶方点”的有

___________（填序号）；

（2）若），关于工的一次函数丁=⑪一