角平分线的性质（二）学案-2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第5章直角三角形

5.4角平分线的性质（2）

►学习目标与重难点

学习目标：

I.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关

键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。

2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心美系的逻辑推理能力。

3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。

学习重点：

角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。

学习难点：

从综合条件（如血积相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与

逆定理的适用场景。

►学习过程

一、复习回顾

【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？

二、探究新知

探究：角平分线的性质及逆定理的应用

教材第179页

【说一说】如图，在AABC中，D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点.若BE=CF,SABDE=S^CDF，

则点D在NBAC的平分线上吗？

B

DC

【说一说】如图，在AABC中，D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点.若BE=CF,SABDE=SACDF»

则点D在乙BAC的平分线上吗？

教师提问：三角形的面积公式是什么？

三角形的面积底x高

教师讲授：由于SABDE=SACDF»BE二CF,所以点D到BE,CF的距离相

等，因而点D在NBAC的平分线上.

【思考】如图，已知EFJLCD于点E,EF1AB于点F,MN1AC于点N,M是EF的中点.需要添加

一个什么条件，就可使CM,AM分别为NACD和NCAB的平分线呢？一

问题1：要证明它们是平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，需要

满足什么核心条件？

教师讲授：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.即证明MN=ME,MN=MF.

问题2：由M是EF的中点可以得到什么信息？

问题3：添加一个什么条件可以使得MN=ME,MN=MF?

解：添加条件MN=ME即可.

因为ME1CD,MN1AC,MN=ME,

所以点M在NACD的平分线上，

即CM是ZACD的平分线.

又M是EF的中点，则MF=ME=MN.

同理可•证AM是乙CAB的平分线.

三、例题精讲

例2如图，在AABC的外角NCAD的平分线上任取一点P,作PEJLDB,PF1AC,垂足分别为点E,

F.试探索BE+PF与PB的大小关系.

例2如图，在"BC的外角/CAD的平分线上任取一点P,作

PE1DB,PF1AC,垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的

大小关系.

解:因为AP是42AD的平分线，

XPE1DB,PF1AC,

所以PE=PF.

在AEBP中，BE+PE>PB,

因此BE+PF>PB.

【做一做】任意作一个aABC,在aABC内部找一点P,使其到三边的距离相等.

【做一做】任意作一个^ABC,在AABC内部找一点P,使其到三边的距离相等.

任务1：作NBAC的角平分线；

任务2：作NBAC的角平分线.

教师提问：这两条角平分线有几个交点？该交点到三边的距离有什么关系？

教师讲授:在AABC中分别作NBAC与4ABe的平分线，它们

交于点P，如图，过点P作PDLAB,PE1AC,PFJ_BC,垂足

分别为点D,E,F.

因为AP是NBAC的平分线，PD1AB,PE1AC,

所以PD=PE.

因为BP是NABC的平分线，PD1AB,PF1BC,

所以PD=PF.

故PD二PE二PF,因此P为所求作的点.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.三角形中到三条边距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

2.乙4。8的平分线上一点P到04的距离为5,Q是射线0B上任一点，则（

A.PQ>5B.PQ>5C.PQ<5D.PQ<5

3.如图1,这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其

侧面结构小意图.现量得托板长48=10cm,支撑板顶端的C恰好是狂板48的中点，托板力8可绕

点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD148,且射线DR恰好是NCDE的平分线时，此时点B

到直线的距离是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.10cm

选做题

4.如图，一个加油站恰好位于西条公路m,n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m,

则它到公路日的距离是m.

•加油站

5.如图，在△48。中，80平分乙ABC,AD1BD,△BCD的面积为45,△/10C的面积为20,则4

48。的面积等于

A

6.如图，0C是々1。8内部的一条射线，P是射线0C上任意一点，PD1OA,PE10B.下列条件:

(T)^AOC=LBOC,@PD=PE；®0D=OEx®/.DPO=LEPO,其中能判定OC是乙40B的平分

线的有_____________.(填序号)

7.如图，在△力8c中，40是角平分线，E,F分别为AC,A8二的点，且44ED+乙4F。=180°.与

。产有何数量关系？请说明理队

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？

六、作业布置

1.如图，直线12,6表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距

离相等，则可供选择的地址有（）

A.1处B.2处C.3处D.4处

2.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园.如图所示，△ABC是一个正在修建的

口袋公园.要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路4B、AC的距离相等，且使得=

SABCH，则凉亭H是（）

A.乙B/1C的角平分线与4c边上中线的交点

B.48力。的角平分线与48边上中线的交点

C,乙48c的角平分线与4c边上中线的交点

D.448c的角平分线与BC边上中线的交点

3.如图,在△力BC中,ZC=90°.平分N4BU交4U干点”•作0/?1力口垂足为F.连接4D,若

LBAD=90°,AD=4,AC=7,则EF的长为（）

4.如图，4。是△4BC的角平分线，4c=90。，CD=1cm,点P是4B上一动点.

（I）连接。P，求。P的最小值；

（2）若48二30。，求△力DB的面枳.

答案解析

课堂练习：

1.【答案】D

【解析】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点,

故选：D

2.【答案】B

【解析】解：如图，过点P作PE_L08于E,

B

YOP是/力。8的平分线，

：.PD=PE=5,

•・・Q是08上任一点，

：,PQ>PE,

:・PQ>5.

故选:B.

3.【答案】B

【解析】解：过点B作垂足为点F,

•・・C是48的中点，AB=10cm,

：

.BC=2-AB=5cm,

'：CDLAB,BF1DE,射线。8是NCOE的平分线，

；.BC=BF=5cm,

故选：B.

4.【答案】80.

【解析】解：•・•加油站恰好位于两条公路m,n所夹角的平分线上，且加油站到公路m的距啕是

80m,

・•・加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即它到公路〃的距离是80m.

故答案为：80.

5.【答案】25.

【解析】解：延长4D交BC于E,如下图,

A

BEC

•・・B。平，ND垂直于BD,

:•乙ABD=々EBD,LADB=Z.EDB=90°,

在A/W。和AEBD中，

(Z.ABD=乙EBD

BD=BD，

KZ.ADB=乙EDB

•MABD三△EBO(4S4),

：.AD=ED,

**^hABD=S^EBD，S&CDE=^A<4(?D=20»

,•SMB。=S^EBD=^ABCD一^LCDE=45-2°=25.

故答案为：25.

6.【答案】①②③④.

【解析】解：•・2｛。。=480，，・・・OC是N力。8的平分线，故①正确;

,:PD1OA,PE1OB，PD=PE

・・・OC是〃。8的平分线，故②正确；

":PD1。4,PE1OB,

:.乙ODP=乙OEP=90°

•：OD=OE,OP=OP

：.Rt△ODP三Rt△OEP(HL)

:•乙DOP=乙EOP

••・OC是〃。8的平分线，故③正确；

■:PD1OA,PE1OB，

:•乙ODP=乙OEP=90°

■:乙DPO=^EPO,OP=OP

：.Rt△ODP三At△OEP(AAS)

:,乙DOP=乙EOP

•••OC是4力。8的平分线，故④正确；

故答案为：①②③④.

7.【答案】解；0E=DF.

理由：如图，过点。作DM1AB于点M,DNA.AC于点、N.

A

Rf)C

•••力。平分匕8AC,

DM=DN.

•••Z-AED+LAFD=180°,LAED+乙NED=180°,

LAFD=乙NED.

在AFMD和△ENO中，

/.MFD=乙NED,

乙FMD=乙END=90°,

(DM=DN,

FMD"END(AAS),

:.DE=DF.

作业布置：

1.【答案】D

【解析】解：•・•中转站要到三条公路的距离都相等，

・••货物中转站必须是三条相交真线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点,

而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，

如图，

工货物中转站可以供选择的地址有4处.

故答案为：D.

2.【答案】A

【解析】解：如图:

A

•••力。平分/B4C,点H在力。上,

・•・点H到48、4c的距离相等,

是AC边上的中线，

••SMBE=^ABC£»SAA〃E=SASE»

••SAABE一SAAHE=SABCE-ShCHE,

••SAABH=SACBH，

・•・凉亭H是MAC的角平分线与江边上中线的交点,

故答案为：A.

3.【答案】A

【解析】解：如图，作。”1EC交8C的延长线于点，，连接CD,

:•乙H=90°,

'：^BAD=90°,

：,DA1BA,

•・・8D平分448C,RDA1BA,DH1BC,

：.HD=AD=4,

'：DE1AC,/.ACB=90%

：.DE||BC,乙DEC=LH,

：,LEDC=乙HCD,

在AEDC和AHC。中，

(乙