简单列举-2026四年级奥数培优讲义（含答案）

第08讲简单列举

。【学习目标】

1.能用列举法（枚举法）解决简单实际问题，做到不重复、不遗漏地找到符合要求的答案；

2.发展思维的条理性和严密性，提升分类、归纳及有序思考的能力。

一:♦:一知识梳理

海知识点一、枚举法的定义

根据问题要求，将所有可能的情况一一列举出来，通过分析列举结果解决问题的方法，称为

枚举法（或列举法）。其核心是“一一列举”，目的是全面覆盖问题的所有可能情形，

海知识点二、枚举法的核心要点

1.无重复、无遗漏：列举时需确保每种情况仅出现一次，且不遗漏任何符合条件的情形；

2.有条理、有规律；按一定顺序（如从大到小、按类别、按步骤等）或规则列举，避免杂乱

无章。

•才-知识点三、常见枚举问题类型及解题方法

1.计数类问题

（1）特征：求完成某件事的不同方法数（如路线、信号、组合等），需通过枚举所有可能方

案计数。

（2）解题方法：按步骤或类别有序列举，确保不重复。

①路线/路径问题：如“从A到B有m条路，从B到C有n条路，求A到C的不同走法”，可

按“分步列举”（A-B的每条路对应B-C的n条路，共mxn种）。

②信号/组合问题：如“用不同元素（如颜色、数字）组成信号或组合”，按元素顺序或类别列

举。

③通话/握手问题：如“n人互相通一次电话，求通话次数”，按“两两组合”列举（避免重复计

数）。

2.几何相关问题

（1）特征：涉及图形的边长、面积、分割等，需结合几何性质（如周长公式）枚举符合条件

的量（如整数长、宽）。

（2）解题方法：根据数量关系（如周长=2x（长+宽））确定范围，按规律（如长从大到小）列

举。

笫1页共11页

①长方形周长与面积：已知周长为整数，求面积的可能值或最大/最小值。需先根据周长确定

“长+宽”的值，再枚举长、宽的整数组合（长2宽）。

②图形分割问题：如“n条直线分圆最多分成多少块”，通过枚举n=l、2、3…时的结果，归纳

规律（块数=1+1+2+...+n）。

3.数字与组合问题

（1）特征：涉及数字组成（如奇数、三位数）、数字出现次数、人民币取法等，需结合数字

特征（如奇数个位为1/3/5/7/9）或元素特征（如不同面额）枚举。

（2）解题方法：按数字位置（个位、十位、百位）或元素类别（如人民币面额）分类列举,

排除不符合条件的情况。

①数字组成问题：如“用1、2、3、4组成三位数奇数”，需先确定个位（只能是1或3）,再

枚举十位和百位。

②数字出现次数问题：如“1到40（）中数字2出现次数”，按数位（个位、十位、百位）分类

枚举：个位每1（）个数出现1次，十位每100个数出现1（）次，百位在200-299出现100次，

合计180次。

③人民币取法问题：如“用5元、2元、1元取9元”，按“大额优先”原则枚举（先取5元，再

枚举2元和1元组合；再取0张5元，枚举2元和1元组合），共7种取法。

4.复杂计数与排列问题

（1）特征：涉及多步骤或多条件限制（如“第一天在A市，第五天回A市的游览路线”“错拿

书包的不同方式”），需按顺序分步枚举，结合排除法缩小范围。

（2）解题方法：用列表或树状图记录每一步的可能情况，排除不符合条件的路径。

知识点四、枚举法的解题关键步骤

1.明确范围：根据题意确定枚举的“边界”（如长、宽的取值范围，数字的位数等）；

2.分类列举：按类别（如数位、元素类型）或顺序（如从大到小）有序列举，避免混乱；

3.排除筛选：剔除不符合条件的情况（如非整数、重复计数等），缩小列举范围；

4.归纳结果：统计所有符合条件的列举结果，得出最终答案。

喧例题讲解

喧一、计数类问题

【例题11如图，从A地到B地有2条不同的路，从B地到C地有3条不同的路，从C地到

D地有2条不同的路。若不重复走某一段路，从A地到D地共有多少种不同的走法？

第2页共11页

【例题2】如图，用红、黄、蓝3种颜色的旗子，每次挂1面或2面（不同顺序算不同信号）,

一共能组成多少种不同的信号?

嘘二、几何相关问题

【例题1】一个长方形的周长是20厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积有多少种不同的可

能值？

【例题2】5条直线最多能将一个圆分成多少块?

笫3页共11页

唱三、数字与组合问题

【例题1】有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两

次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案）

回区］同

【例题2】用1、3、5、7这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位奇数?

【例题3】东东有1元、5元两种人民币若干张。他要拿15元钱，有多少种不同的拿法?

啕四、复杂计数与排列问题

【例题1】3个同学分别拿了A、B、C三个不同的书包，每人都拿错书包的情况有多少种？

第4页共11页

［例题2］某人从A市出发，第一天在A市，之后每天去另一个城市（B、C、D）,第三天

必须在B市，第五天回到A市。若每天只能去一个城市且不重复去同一城市（除A市），共

有多少种不同的路线？

.，考点练习

/一、计数类问题

1.8位同学参加聚会，每两人互相握一次手，一共要握多少次手？

2.6支球队进行单循环赛（每两队赛一场），共要安排多少场比赛？

3.小宁从家到少年宫，如果只允许向东或向北走，一共有多少种不同的路线？

少年宫北

小宁家•

第5页共11页

4.用1、2、3三个数字，组成无重爱数字的一位数、两位数、三位数，一共能组成多少个不

同的数？

5.从5本不同的数学书中选2本，共有多少种不同的选法?

6.书法兴趣小组要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，一共有多少

种不同的买法？

，二、几何相关问题

1.李大爷打算用一根长24米的竹篱笆围成一个长方形,有儿种不同的围法？（长、口不相等,

且取整米数）

第6页共11页

2.一个长方形的周长是24厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积最大是多少平方厘米？

3.一个长方形的周长是30厘米，长和宽均为质数厘米，它的面积是多少平方厘米？

4.2条直线最多能将一个三角形分成多少块？

5.面积在20到50平方厘米之间(包含2()和50),边长为整数厘米的正方形有多少个?

6.一个等腰三角形的周长是12厘米，边长为整数厘米，这样的等腰三角形有多少种？

笫7页共11页

7.用1x2的小长方形（多米诺骨牌）拼3x4的长方形，共有多少种不同的拼法？（只考虑形

状，不考虑旋转翻转）

8.一个三角形的三条边均为整数厘米，且周长为15厘米，这样的三角形有多少种？

/三、数字与组合问题

V■■厂—

1.”[0Z些骰广订六个面I：分别标仃I、2、3、4、5、6个|川点，从中任取网个抛

到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？

2.在1到500的所有自然数中,数字“3”共出现了多少次?

第8页共11页

3.用1元、5元、10元、20元的纸币，取30元钱（每种纸币数量不限），共有多少种不同的

取法？

4.用0、2、4、6这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的两位偶数？

5.一个两位数，其各位数字之和为8,这样的两位数有多少个？

6.在1（）（）到999的所有三位数中，十位数字是“5”的三位数有多少个？

7.用2、3、4、5这四个数字［数字不重复），可以组成多少个不同的三位偶数且是3的倍数?

第9页共11页

8.用1、2、3、4这四个数字（数字不重夏）组成的四位数中，百位数字大于十位数字的有

多少个？

9.4个茶杯的价格分别为32元、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是7元、5元和

2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？

唱四、复杂计数与排列问题

1,在用0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的两位数中，个位是单数的一共有多少个?

请你全部写出来。

2.实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任

意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，

有多少种不同的选法？

第10页共11页

3.《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”

的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一

个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？

第11页共11页

第08讲简单列举

。【学习目标】

1.能用列举法（枚举法）解决简单实际问题，做到不重复、不遗漏地找到符合要求的答案；

2.发展思维的条理性和严密性，提升分类、归纳及有序思考的能力。

一:♦:一知识梳理

海知识点一、枚举法的定义

根据问题要求，将所有可能的情况一一列举出来，通过分析列举结果解决问题的方法，称为

枚举法（或列举法）。其核心是“一一列举”，目的是全面覆盖问题的所有可能情形，

海知识点二、枚举法的核心要点

1.无重复、无遗漏：列举时需确保每种情况仅出现一次，且不遗漏任何符合条件的情形；

2.有条理、有规律；按一定顺序（如从大到小、按类别、按步骤等）或规则列举，避免杂乱

无章。

•才-知识点三、常见枚举问题类型及解题方法

1.计数类问题

（1）特征：求完成某件事的不同方法数（如路线、信号、组合等），需通过枚举所有可能方

案计数。

（2）解题方法：按步骤或类别有序列举，确保不重复。

①路线/路径问题：如“从A到B有m条路，从B到C有n条路，求A到C的不同走法”，可

按“分步列举”（A-B的每条路对应B-C的n条路，共mxn种）。

②信号/组合问题：如“用不同元素（如颜色、数字）组成信号或组合”，按元素顺序或类别列

举。

③通话/握手问题：如“n人互相通一次电话，求通话次数”，按“两两组合”列举（避免重复计

数）。

2.几何相关问题

（1）特征：涉及图形的边长、面积、分割等，需结合几何性质（如周长公式）枚举符合条件

的量（如整数长、宽）。

（2）解题方法：根据数量关系（如周长=2x（长+宽））确定范围，按规律（如长从大到小）列

举。

第1页共15页

①长方形周长与面积：已知周长为整数，求面积的可能值或最大/最小值。需先根据周长确定

“长+宽”的值，再枚举长、宽的整数组合（长2宽）。

②图形分割问题：如“n条直线分圆最多分成多少块”，通过枚举n=l、2、3…时的结果，归纳

规律（块数=1+1+2+...+n）。

3.数字与组合问题

（1）特征：涉及数字组成（如奇数、三位数）、数字出现次数、人民币取法等，需结合数字

特征（如奇数个位为1/3/5/7/9）或元素特征（如不同面额）枚举。

（2）解题方法：按数字位置（个位、十位、百位）或元素类别（如人民币面额）分类列举,

排除不符合条件的情况。

①数字组成问题：如“用1、2、3、4组成三位数奇数”，需先确定个位（只能是1或3）,再

枚举十位和百位。

②数字出现次数问题：如“1到40（）中数字2出现次数”，按数位（个位、十位、百位）分类

枚举：个位每1（）个数出现1次，十位每100个数出现1（）次，百位在200-299出现100次，

合计180次。

③人民币取法问题：如“用5元、2元、1元取9元”，按“大额优先”原则枚举（先取5元，再

枚举2元和1元组合；再取0张5元，枚举2元和1元组合），共7种取法。

4.复杂计数与排列问题

（1）特征：涉及多步骤或多条件限制（如“第一天在A市，第五天回A市的游览路线”“错拿

书包的不同方式”），需按顺序分步枚举，结合排除法缩小范围。

（2）解题方法：用列表或树状图记录每一步的可能情况，排除不符合条件的路径。

知识点四、枚举法的解题关键步骤

1.明确范围：根据题意确定枚举的“边界”（如长、宽的取值范围，数字的位数等）；

2.分类列举：按类别（如数位、元素类型）或顺序（如从大到小）有序列举，避免混乱；

3.排除筛选：剔除不符合条件的情况（如非整数、重复计数等），缩小列举范围；

4.归纳结果：统计所有符合条件的列举结果，得出最终答案。

喧例题讲解

喧一、计数类问题

【例题11如图，从A地到B地有2条不同的路，从B地到C地有3条不同的路，从C地到

D地有2条不同的路。若不重复走某一段路，从A地到D地共有多少种不同的走法？

第2页共15页

2最2条

【答案】12种

【详解】根据分步计数原理，从A到B有2种选择，每种A-B的选择对应B-C的3种选

择,故A—C有2x3=6种走法;每种A—C的走法对应C—D的2种选择,因此A—D共有6x2=12

种走法。

【分析】考点为路径问题的分步列举，核心是“分步相乘”。易错点：忽略路径的分步独立性，

误将加法与乘法原理混淆。

【例题2】如图，用红、黄、蓝3种颜色的旗子，每次挂1面或2面（不同顺序算不同信号），

一共能组成多少种不同的信号？

【答案】9种

【详解】分两类枚举：①挂1面旗：红、黄、蓝，共3种；②挂2面旗：（红,黄）、（黄,红）、

（红,蓝）、（蓝,红）、（黄,蓝）、（蓝,黄），共6种。总信号数=3+6=9种。

【分析】考点为信号问题的分类列举，需注意“不同顺序算不同信号”（即有序组合）。易错点：

漏算2面旗的反向顺序（如红-黄与黄-红是两种信号）。

唱二、几何相关问题

【例题1】一个长方形的周长是2（）厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积有多少种不同的可

能值？

【答案】5种

【详解】周长=2x（长+宽）-长+宽=10厘米。枚举长N宽的整数组合：

长=9,宽=1一面积=9x1=9；

长=8,宽=2一面积=16；

长=7,宽=3—►面积=21；

长=6,宽=4-面积=24；

长=5,宽=5—面积=25（正方形是特殊长方形）。

共5种面积。

【分析】考点为长方形周长与面积的关系，核心是“先确定长+宽，再有序枚举长和宽”。易错

点：漏算正方形（长二宽）的情况。

第3页共15页

【例题215条直线最多能将一个圆分成多少块？

【答案】16块

【详解】枚举直线数n与分块数的关系：

n=0时：1块；

n=l时：1+1=2块;

n=2时：2+2=4块;

n=3时:4+3=7块;

n=4时：7+4=11块；

n=5时：11+5=16块。

规律:块数=1+1+2+3+…+n,故5条直线时块数=1+1+2+3+4+5=16。

【分析】考点为图形分割规律的枚举归纳，核心是“每增加第n条直线，最多与前n-1条直线

相交，增加n块”。易错点：未按规律枚举，直接猜测结果。

唱三、数字与组合问题

【例题1】有三张卡片，分别写上9、8、4三个数字，小英每次任意抽一张再放回去。抽两

次，可能得到的数字和是多少？（列举出所有可能的答案）

国叵］回

【答案】18、17、13、16、12、8

【分析】9、8、4三个数字卡片，小英每次任意抽一张再放进去，抽两次，抽出的两个数字

可能相同，也可能不同。则可能的结果为9,9；或9、8；或9、4；或8、8；或8、4;或4、

4,共6种情况，然后将数字加起来即可解答。

【详解】9+9=18

9+8=17

9+4=13

8+8=16

8+4=12

4+4=8

答：可能得到的数字和是18、17、13、16、12、8。

【例题2】用1、3、5、7这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的三位奇数？

【答案】24个

【详解】三位奇数的个位必须是1、3、5、7（4种选择）。个位选好后，百位有3种选择（剩

第4页共15页

余3个数字），十位有2种选择（乘IJ余2个数字）。总个数=4x3x2=24个。

【分析】考点为数字组成的奇数，需优先确定个位（奇数特征），再分步枚举百位却十位。易

错点：忽略“数字不重复”的限制，误算为4x4x4=64个。

【例题3】东东有1元、5元两种人民币若干张。他要拿15元钱，有多少种不同的拿法？

【答案】4种

【分析】分别判断15可以由多少个1组成；可以由多少个5组成；或者多少个1和5共同组

成，据此解答。

【详解】第一种：0张1元和3张5元；

第二种：5张1元和2张5元；

第三种：10张1元和1张5元；

第四种：15张1元。

答：他要拿15元钱，有4种不同的拿法。

噬四、复杂计数与排列问题

【例题1】3个同学分别拿了A、B、C三个不同的书包，每人都拿错书包的情况有多少种？

【答案】2种

【详解】枚举所有拿法（共3!=6种），排除至少1人拿对的情况：

全拿对：1种（A-A,B—B,C-C）；

仅1人拿对：3种（A—A,B-C,C-B；B-B,A-C,CTA；C-C,A-B,B-A）；

故全拿错=6-1-3=2种（A-B,B-C,C-A；A-C,B->A,C->B）。

【分析】考点为错排问题（全错位排列），n=3时错排数为2。易错点：漏算或重复枚举拿错

的情况。

【例题2】某人从A市出发，第一天在A市，之后每天去另一个城市（B、C、D）,第三天

必须在B市，第五天回到A市。若每天只能去一个城市且不重复去同一城市（除A市），共

有多少种不同的路线？

【答案】2种

【详解】路线为A-（第二天）一（第三天B）->（第四天）一（第五天A）,第二天和第四

天不能为A或重复城市：

第二天只能去C或D（2和）

若第二天-C,第三天TB,第四天只能去D（不能去A、C、B）,第五天-A（路线：

A—>C——>D—>A）：

第5页共15页

若第二天一D,第三天一B,第四天只能去C,第五天一A（路线；A-D-B-C—A）；

共2种。

【分析】考点为多步骤路线限制，需按顺序分步枚举，结合排除法（不能重复城市）。易错点：

忽略“每天去另一个城市“，误将第二天安排为A。

.，考点练习

/一、计数类问题

1.8位同学参加聚会，每两人互相握一次手，一共要握多少次手？

【答案】28次

【详解】第1位同学与其余7人握手（7次），第2位与剩余6人握手（6次）……第7位与

第8位握手（1次），总次数=7+6+5+4+3+2+1=28次。

【分析】考点为两两组合的计数。

2.6支球队进行单循环赛（每两队赛一场），共要安排多少场比赛？

【答案】15场

【详解】类比握手问题，每支球队与其他5支比赛，共6x5=30场，但每场比赛被重复计算2

次（如AvsB与BvsA）,故总场次=30:2=15场。

【分析［考点为组合计数的实际应用，核心是“去重”。易错点：直接用6x5=30,忽略重复计

数。

3.小宁从家到少年宫，如果只允许向东或向北走，一共有多少种不同的路线？

-------------------少--年-官.北

小宁家1II

【答案】6种

【分析】根据题意，在图中每个交点处标上字母，注意只允许向东或向北走，写出所有不同

的路线，再数一数即可。

【详解】如图：

CD___——）于

BFG

A.HI

小宁家

路线①：ABCDE；

第6贝共15页

路线②：ABFDE；

路线③：ABFGE；

路线④：AHFDE；

路线⑤：AHFGE；

路线⑥：AHIGE；

共有6种不同的路线。

答：一共有6种不同的路线。

4.用1、2、3三个数字，组成无重复数字的一位数、两位数、三位数，一共能组成多少个不

同的数？

【答案】15个

【详解】分类枚举：①一位数：1、2、3（3个）；②两位数：12、13、21、23、31、32（6个）；

③三位数：123、132、213、231、312、321（6个）。总个数=3+6+6=15个。

【分析】考点为数字组合的分类列举，需按位数（一位、两位、三位）有序枚举。易错点：

漏算某一类位数的数字。

5.从5本不同的数学书中选2本，共有多少种不同的选法？

【答案】10种

【详解】设书为A、B、C、D、E,枚举所有组合：AB、AC>AD、AE、BC、BD、BE、CD、

CE、DE,共C种。

【分析】考点为无序组合计数，需注意“选2本”无顺序，

6.书法兴趣小组要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，一共有多少

种不同的买法？

【答案】4种

【分析】要购进44支钢笔，文具店有4支装和6支装两种不同的包装，根据搭配的相关知识

得出答案。

【详解】有4种不同的买法：

第一种：买2盒4支装的钢笔，再买6盒6支装的钢笔；

第二种：买5盒4支装的钢笔，再买4盒6支装的钢笔；

第三种：全部买11盒4支装的钢笔；

第四种：买8盒4支装的钢笔，再买2盒6支装的钢笔。

答：共有4种方法。

第7页共15页

“二、几何相关问题

1.李大爷打算用一根长24米的竹篱笆围成一个长方形,有儿种不同的围法？（长、口不相等，

且取整米数）

【答案】5种

【分析】长方形的周长=（长+宽）x2,可知这个长方形的周长是24米，用24+2即可求出

一条长和一条宽的和，也就是12米，然后把12拆分成2个数相加，先从I开始，有顺序地

一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理。

【详解】24+2=12（米）

12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6

长和宽不相等且取整米数，所以长和宽不等于6米。

用表格整理：

长（米）1110987

宽（米）12345

答：根据表格可知，有5种不同的围法。

2.一个长方形的周长是24厘米，长和宽均为整数厘米，它的面积最大是多少平方厘米？

【答案】36平方厘米

【详解】长+宽=24:2=12厘米。当长=宽=6厘米时（正方形），面积=6x6=36平方厘米（此时

长与宽差距最小，面积最大）。

【分析】考点为长方形面积最值，规律是“周长一定时，长和宽越接近，面积越大易错点：

误认为长越大面积越大（如长11、宽1时面积仅11,小于长6、宽6）。

3.一个长方形的周长是30厘米，长和宽均为质数厘米，它的面积是多少平方厘米？

【答案】26平方厘米

【详解】长+宽=30+2=15厘米。枚举质数组合（质数：2,3,5,7,11,13）：

13+2=15（13和2均为质数）；

11+4=15（4不是质数，排除）；

7+8=15（8不是质数,排除）；

故长=13厘米，宽=2厘米，面积=13x2=26平方厘米。

【分析】考点为质数与长方形边长的结合，需先确定长+宽，再筛选质数组合。易错点：忽略

“宽=2”（最小质数）的情况。

4.2条直线最多能将一个三角形分成多少块？

笫8页共15页

【答案】4块

【详解】枚举直线数：

0条直线：1块；

1条直线：2块（连接两边中点或顶点与对边）；

2条直线：若两条直线相交，最多分成4块（如两条中线相交）。

【分析】考点为图形分割的枚举，需考虑“直线相交”才能分最多块。易错点：两条直线平行

时仅分3块，未考虑相交情况。

5.面积在20到50平方厘米之间（包含20和50）,边长为整数厘米的正方形有多少个？

【答案】3个

【详解】正方形面积二边长2,边长为整数，故：

边长=5厘米（面积25）；

边长=6厘米（面积36）；

边长=7厘米（面枳49）。

共3个。

【分析】考点为正方形面积与边长的关系，需先确定边长范围N20F.47,0g7.07,边长

取5,6,7）。易错点：漏算边界值（如边长5和7）。

6.一个等腰三角形的周长是12厘米，边长为整数厘米，这样的等腰三角形有多少种？

【答案】2种

【详解】设腰长为x,底边长为y,则2x+y=12,且需满足三角形三边关系：2x>y（两边之和,

第三边）。

枚举x（x>y4-2,x为整数）：

x=4：y=12-2x4=4,三边4,4,4（等边三角形，成立）；

x=5：y=12-2x5=2,三边5,5,2（5+5>2,成立）；

x=6：y=0（不构成三角形，排除）；

共2种。

【分析】考点为等腰三角形的边长枚举，需结合三边关系排除无效组合。易错点：忽略“2x>y”，

误算x=3（y=6,2x=6=y,不满足两边之和〉第三边）。

7.用1x2的小长方形（多米诺骨牌）拼3x4的长方形，共有多少种不同的拼法？（只考虑形

状，不考虑旋转翻转）

【答案】11种（注：标准结论，枚举时可先固定第一行横向或纵向放置）

【详解】通过枚举不同方向的拼法（横向1x2或纵向2x1）,逐步固定第一行、第一列的拼法,

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排除重夏情况，最线得到11种拼法。

【分析】考点为图形拼组的枚举，需有序固定部分区域，避免重复计数。易错点：漏算或重

复计算对称的拼法。

8.一个三角形的三条边均为整数厘米，且周长为15厘米，这样的三角形有多少种？

【答案】7种

【详解】设三边心bNc,a+b+c=15,且a<b+c(两边之和〉第三边)。

枚举a(a<15+2=7.5,a最大为7)：

a=7：b+c=8,b>c,b<7,c=8-b<b^b>4,故b=7,c=1(7,7,1)；b=6,c=2(7,6,2);b=5,c=3(7,5,3);

b=4,c=4(7,4,4)—4种；

a=6：b+c=9,b<6,c=9-b<b—>b>4.5—>b=6,c=3(6,6,3)；b=5,c=4(6,5,4)一2种；

a=5：b+c=10,b<5>c=10-b<b^b>5,故b=5,c=5(5,5,5)—1种；

共4+2+1=7种。

【分析】考点为三角形三边关系的枚举，核心是“先确定最长边范围，再有序枚举“。易借点：

未按“a*Nc”排序，导致重复计数。

/三、数字与组合问题

1."二)少多这些骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个圆点，从中任取两个抛

到桌面上，两个向上的点子数加起来，可能会得到多少种不同的数值呢？

【答案】U种

【分析】由题意可知，此题我们可以运用列举的方法，将6个数字进行任意2个组合，算出

不同的和；然后数出不同的和的个数即可，据此解答。

【详解】1+1=2、1+2=3、1+3=4、1+4=5、1+5=6、1+6=7；

2+1=3、2+2=4、2+3=5、2+4=6、2+5=7、2+6=8；

3+1=4、3+2=5、3+3=6、3+4=7、3+5=8、3+6=9；

4+1=5、4+2=6、4+3=7、4+4=8、4+5=9、4+6=10；

5+1=6、5+2=7、5+3=8、5+4=9、5+5=10、5+6=11；

6+1=7、6+2=8、6+3=9、6+4=10、6+5=11、6+6=12；

两个向上的点子数加起来，和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。

答：两个向上的点子数加起来，可能会得到11种不同的数值.

2.在1到500的所有白然数中，数字“3”共出现了多少次？

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【答案】200次

【详解】按数位（个位、十位、百位）分类枚举：

个位：每10个数出现1次“3”，500X0=50次；

十位：每100个数中，30-39共10次“3”，500700=5组，共5x10=50次；

百位：300-399共100个数,百位均为“3”,共100次;

总次数=50+50+100=20（）次o

【分析】考点为数字出现次数的分类枚举，核心是“按数位拆分，避免重复、易错点：漏算

百位的100次（300-399）。

3.用1元、5元、10元、20元的纸币，取30元钱（每种纸币数量不限），共有多少种不同的

取法？

【答案】18种

【详解】按“大额优先”枚举2（）元纸币的张数：

20元2张：20x2=40>30（排除）；

20元1张时，剩10元，10元张数0或1：

10元1张：1种（20+10）；

10元0张：5元0-2张（5x0+1x10,5xl+lx5,5x2+1x0）—3种，共4种；

20元0张：10元0-3张：

10元3张：1种（10x3）；

10元2张：剩1（）元，5元0-2张（3种）；

10元1张：剩20元，5元0-4张（5种）；

10元0张：剩30元，5元0-6张（7种）；

共1+3+5+7=16种；

总取法=4+16=20种，标准结论为20种）

【答案】20种

【分析】考点为人民币取法的枚举，核心是“按大额到小额有序枚举，避免遗漏易错点：

漏算“只取1元”的情况。

4.用0、2、4、6这四个数字（数字不重复），可以组成多少个不同的两位偶数？

【答案】9个

【详解】两位偶数的个位只能是0、2、4、6,且十位不能为0。分类枚举个位：

个位二0：十位可2、4、6（3种：20、40、60）；

个位二2：十位可4、6（0不能在十位，2种:42、62）；

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个位=4：十位可2、6（2种：24、64）；

个位二6：十位可2、4（2种：26、46）；

总个数=3+2+2+2=9个。

【分析】考点为含。的数字组成偶数，需注意“十位不能为0”的限制。易错点：个位二2/4/6时，

误将0算入十位。

5.一个两位数，其各位数字之和为8,这样的两位数有多少个？

【答案】8个

【详解】设两位数为10a+b（a为十位，13aW9；b为个位，O0bW9）,a+b=8。枚举a：

a=l一b=7（17）；a=2一b=6（26）；a=3—>b=5（35）；a=4一b=4（44）；a=5一b=3（53）；a=6—b=2

（62）；a=7->b=l（71）；a=8->b=0（80）。共8个。

【分析】考点为数字和的枚举，需按十位数字从1到8有序枚举。易错点：漏算a=8（b=0）

的情况。

6.在10（）到999的所有三位数中，十位数字是“5”的三位数有多少个？

【答案】90个

【详解】三位数的百位（1-9）、十位=5、个位（0-9）。百位有9种选择，个位有10种选择,

总个数=9x1x10=90个。

【分析】考点为特定数位的数字计数，需确定每个数位的取值范围。易错点：百位漏算9（1-9

共9个数）或个位漏算0（0-9共10个数）。

7.用2、3、4、5这四个数字［数字不重复），可以组成多少个不同的三位偶数且是3的倍数？

【答案】8个

【详解】①三位偶数：个位只能2或4（2种）；②3的倍数：各位数字之和是3的倍数。

先选3个数字，和是3的倍数：

2、3、4（和9）；2、4、5（和11,不是3的倍数）；3、4、5（和12）；2、3、5（和10,不

是）；

故可选数字组：（2,3,4）和（3,4,5）o

组1（2,3,4）,个位为2或4：

个位二2：3、4在百位十位―342、432（2个）；

个位二4：2、3在百位十位―234、324（2个）；

组2（3,4,5）,个位只能4（因2不在组内）：

个位=4：3、5在百位十位一354、534（2个）；

总个数=2+2+2=6个？？？（修正：组2（3,4,5）中，个位必须是偶数，只有4是偶数，故个

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位=4,百位十位为3和5,2种；354、534；组1（2,3,4）个位2或4,各2种，共4种；总

4+2=6个）

【答案】6个

【分析】考点为数字倍数与倡数的综合枚举，需先确定数字组（和是3的倍数），再按个位偶

数枚举。易错点：忽略“3的倍数”条件，直接算所有偶数。

8.用1、2、3、4这四个数字（数字不重复）组成的四位数中，百位数字大于十位数字的有

多少个？

【答案】12个

【详解】四位数共有4!二24个。对于任意两个不同的数字a和b,在百位和十位的位置上，要

么a>b,要么b>a,且两种情况对称（各占一半）。故百位,十位的个数二24；2二12个。

【分析】考点为数字排列的对称性，无需枚举所有数，利用对称思想简化计算。易错点：逐

一枚举导致漏算或重复。

9.4个茶杯的价格分别为32兀、26元、18元和12元，3个杯垫的价格分别是77匕、5元和

2元。如果一个茶杯和一个杯垫配成一套，一共可以配成多少套不同价格的组合？

【答案】12套

【分析】先固定32元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，就可以得到3种不同的

价格的组合；再固定26元的茶杯，再分别配上7元、5元和2元的杯垫，也可以得到3种不

同的价格的组合；以此类推，计算出每一套的价格，注意找一找有没有相同的价格