江苏省泰州市2024-2025学年高一年级下册期末调研测试数学试卷（解析版）

2024^2025学年度第二学期期末调研测试

高一数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知向量。若a〃b,则实数f的值为（）

A.16B.4C.-4D.-16

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示可求

【详解】•.〃///?，/.4/-16=0=1=4.

故选：B.

2.某工厂6月份生产A&C三种产品的数量比为5:4:3,现用分层抽样的方法抽取一个容量为〃的样

本，若样本中A产品的数量为600,则〃的值为（）

A.1200B.1440C.1800D.2400

【答案】B

【解析】

分析】利用各层数量比可得答案.

【详解】〃x』=600,解得〃=1440.

12

故选:B.

z.

3.已知复数Z],Z2在复平面内所对应点分别为（1,6）和（0,1）,则一（)

Z2

A.V3-iB.G+iC.->/3-iD.-G+i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，可得马修2,然后利用复数的乘法、除法运算可求.

【详解】因为狂数4/2在史平面内所对应的点分别为（1,b）和（0,1）,

所以4=1+Gi,z2=i»

则五:上回［1+4）：苔担=百一

2

z2ii-1

故选:A.

4.已知事件A和事件8独立,若。（从）=尸（8）=0.3,则。（4+与）=（）

A.0.21B.0.51C.0.79D.0.91

【答案】C

“钻斤】

【分析】根据独立事件的概率公式计算P（A否），再利用概率的加法公式即可.

【详解】由题意可得，P（AB）=P（A）P（B）=P（A）［l-P（B）］=0.3x（l-0.3）=0.21,

则P（A+耳）=P（A）+P（万卜P（=（）.3+（）.7-0.21=（）.79.

故选：C

5.已知平面。和不重合的两条直线相，〃，则下列说法正确的是（）

A.若m±n,m//a,则〃_La

B.若m_L〃,m_La,则〃〃a

C.若//ma,则〃//a

D.若初〃几根_La,则〃_La

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误.

【详解】对A：若m则或〃〃。，或"ua或"与a相交，错误；

对B：若〃?J_a,则〃〃a或〃ua,错误；

对C：若机//〃，机〃。，则〃〃。或〃ua,错误;

对D：若机〃〃,"?！a,则〃_La,正确.

故选：D

6.己知函数/(A)=siiu则siru-（）的值为（)

3>/5-1厉+]3x/5+l

88

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得.

由/（入）一（，

(详解】函数/(x)=sinx-VScosx=2sin(x--),0=得sin(%——)=——<0,

,/八\3兀/兀2兀、ri兀/兀八、兀J15

由无£（0,兀），得X。一7w（一不二），则不一彳£（一不°），cos（x—）=----»

33333034

LLrl・•r/兀、兀1./兀、兀/兀、.兀

所以sir1A=sin[(x——)+—J=sin(x——)cos—+cos(题——)sin—

o03303333

LL巫在二必1

42428

故选：A

7.已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大

球的体枳为36兀，则该圆锥的侧面积为（）

A.367rB.45zC.54兀D.63几

【答案】C

【解析】

【分析】设圆锥底面半径、球的半径和表示相关参数，利用相似三角形建立关系，根据球体积公式计算球的

半径，代入圆锥底面半径和母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥底面半径为「，恻锥高为/?,底面直径与母线长相等，则母线长/=2厂，

再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为R,

根据勾股定理，h="-户=gy一产二后,

画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是•个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形的内切圆，根

据轴截面的相似三角形关系得：

」_」，即4=白?

2R=®-R，r=y/3R>

h-RIy/3r-R2r2

4

已知球的体积为36兀，贝ij铲R'=36兀，解得内=27，R=3,

所以r=6/?=3石，/=2厂=6石，

根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为“/=兀x3百x=54兀.

故选：C.

A

8.已知7ABe的内角A民C的对边分别为ahc.若。二工,c

=2cosB,cosC=csinA,则VA3C的面积

2

为（）

A」B.Ac.1D,也

202044

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理得sinC=2csinA,求出cosC和sinC，利用余弦定理和题H条件得到方程组，计算

出c和b即可求解.

1

【详解】因为‘一二」一，所以2_。，

sinAsinC.「.「

sinAsinC

所以sinC=2csinA,因为cosC=csinA>0,

所以2cosc=sinC,所以4cos2c=1—cos?C，

因为cosC>0,所以cosC=Y5，

5

所以sinC=冬色，因为c=2cos3,cosB="+’———，

5lac

所以C=2・4"J所以。2二2人于

c

22222

厂a+Z?-c>/5.-+b-c£

因为cosC=--------------=—,即0I4V5,

lab5[一u

所以J_+〃—c2=且人

45

将c?=2〃一，代入上式得，+从一2/+，=@b，解得人二地(负值舍去)，

242510

所以c=(负值舍去)，所以S=，〃1sinC='■义二义士叵义2后=』.

522210520

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.

9.设5是z的共挽复数，则下列说法正确的有()

A.z—5是纯虚数B.Z+3是实数

C.z5是实数D.|z-z|<2|z|

【答案】BCD

【解析】

【分析】复数z=a+8i(4,>£R),则一〃i,再利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可.

【详解】设复数z=a+历(a/eR),则2二々一〃，

所以z—5=2〃i,当人=0时，z-z=2bi=0实数，故A错误；

z-z=2aeR,故B正确；

zz=6?2-(M)2=tz2+/?2GR,故C正确；

|z-z|=|2Z?i|=|2/?|,2\z\=2\a-bi\=2>Ja2+b2>2后=\2b\,

所以|z—可《2同，故D正确；

故选：BCD.

10.已知a=(cosa,sina),/?=(四cosAx/5sin/?),若a+〃=(l,6),则()

A.a+b=2B.f/-Z?|=2

C.cos(a-=D.a-8在〃上的投影向量为5

【答案】AD

【解析】

【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得cos（a-尸）=亨，继而可判断

各项.

【详解】vtz4-/7=(l,>/3),:.\a+b\=4T+3=2,故A正确;

d+b=cosa+y/2cos/?,sina+5/2sin6),

cosa+6cosP=1即cos2a+2cos2B+2\/2cos6ifcos°=1

sina+&sin/3=\/3sin2a+2sin2p4-25/2sinasin/3=3

相加得3+2拉(cosacos尸+sinasin^)=3+2>/2cos(cr-/^)=4,

解得cos(a-0)=7-，

a-b=cosa-y11cos/?,sina-5/2sin尸),

=J(cosa—夜cos夕)+(sina—正sin夕)

/.a-b

二小3-2拒cos(a-/?)=&,故BC错误；

,/(a—•a=，-a•〃=1一夜(cosacosP+sinasin/)

=l-V2cos(a-/?)=-^,

a="山

4一人在。上的投影向量为a-bcosgbQ•二二二。，故D正确;

aaH2

故选：AD.

11.半径为1的球。'完全在半径为R（R>1）的球。的内部，且两球球面有唯一的公共点尸，球。表面上三

TI4

点A,民C确定的平面与球。相切，若PA=3,/E4B=/PAC=-,cosZCAB=-,M()

45

A.P三点共线

B.BC=-y/5

5

c.宜线FA与平面ABC所成角小于今

4

1Q

D.三棱锥尸一ABC的体积为不

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题易知两球有唯一公切线/即可判断A选项，根据A氏C确定的平面与球O'相切，可得PQ1，

平面ABC,PQ\=2,接着可得到VA8c外接圆半径为广，利用正弦定理可求8c得到B选项，/PAQ

就是直线PA与平面ABC所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由YABC外接圆半径为r及PO、=2,

川计算产出?C,再得到A伉AC,然后利用体枳公式川算体枳.

因为两球球面有唯一的公共点P,所以它们有唯一公切线/,所以0,0',〃三点共线，故A正确;

设V4BC外接圆半径为，外心为。1,又ARC确定的平面与球O'相切，

所以PQ|_L平面ABC,PO\=2,JPA—PO；=非,

43

在VABC,cosZCAB=—,则sinZ.CAB=-,

---------=2r=>BC=25/5x—=6y»故B错误；

sinABAC55

因为PO{1.平面ABC,所以NFAQ就是直线PA与平面ABC所成角，

sin/.PAO.==—<—»故C1E确；

1PA32

又0、B=OC=『=>/5,所以PB—PC=Ji+PO；=3，

又NTA8=/PAC=色，所以4尸八区-PAC为直角三角形，

4

则AB=AC=3行，5^c=1.4B.ACsinZBAC=1x3V2x3V2x1=^,

I]27IX

%。=3S做尸01=§X彳X2二5，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一组数据〃+1,。+2,〃+3,〃+4,〃+5,则这组数据的方差为.

【答案】2

【解析】

【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式可得答案.

。+1+。+2+。+3+。+4+。+5

【详解】这组数据的平均数为工=-----------------------------=a+3,

5

则这组数据的方差为s2=，[(a+l-〃-3『+(a+2-4-3)2+lZ+3-〃-3)2

+(〃+4-4-3)2+(々+5-4-3)2]=2.

故答案：2.

13.已知四棱锥P—A8C。的底面为平行四边形，过点A的平面a与棱P及PCPO分别交于E,EG.若

3PF

三棱锥P-AGF的体积是三棱锥P-EGF体积的二倍，则一的值为___________.

2PB

【答案】|

【解析】

33PE

【分析】由题可得AB//平面PFG,BPVP_AGF=VA_PFG==~VE-PFG»然后即可得/彳的值.

因为底面为平行四边形，所以AB〃CD,

又平面PC。，CDu平面PC。，

所以AB//平面尸CO,即A3//平面PFG,

一33

所以VP-4GF=^A-PFGP-EGF~/4-PFG»

3

所以点8到平面PFG的距离是点E到平面P9G距离的一,

2

PB3PE2

即一二一，所以

PE2PB3

故答案为：—

14.连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6）,记录抛掷结

果向上的点数•设事件A：第一次点数为1,事件4：两次点数之和为f（/£N+,2K，412）,若事件A与事

件3互斥，则，的最小值为;若事件A与事件3相互独立，则f的值为.

【答案】①.8②.7

【解析】

【分析•】根据互斥事件和独立事件的概念可解.

【详解】因为事件A与事件d互斥，所以它们不能同时发生，

所以两次点数之和为至少为8,才能保证第一次点数不为1,

所以♦的最小值为8；

因为事件A与事件3相互独立，所以P（A8）=P（A）P（B）,

当8W/W12时，第一次点数不可能为1,此时P（A3）=0,

当24I47时，P（AB）=£又P（A）=」，所以

3666

又1=2,3,4,5,6,7时，对应概率分别为上,

3618129366

所以，的值为7.

故答案为：8,7.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所

⑴[79.5,89.5）这一组的频率和频数分别为多少？

（2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）:

（3）估计这组数据的80百分位数.

【答案】（1）频率为0.25,频数为15：

（2）75%

（3）83.5.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据即可求解，

（2）根据图中数据即可求解频率得解，

（3）根据百分位数的计算即可求解.

【小问1详解】

频率为0.025x10=0.25,频数为0.025xl0x60=15；

【小问2详解】

及格率为1-0.01x10-0.015x10=75%；

【小问3详解】

因为数据落在［39.5,79.5）的频率为07

数据落在［79.5,89.5）的频率为0.25.

设这组数据的8（）百分位数为x,

所以xe［79.5,89.5）,

…x—79.50.1

所以-------=——故工=83.5,

89.5-x0.15

即这组数据的80百分位数为835

16.已知tan（a-E］二:，求下列各式的值.

I4；3

（1）tana；

“、1+sin2a

(2)

l+sin2a+cos2a

【答案】（1）tana=2

（2）1

【解析】

【分析】(1)直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可：

(2)方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可：方法二：根据正切值，结合同角

三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子.

【小问1详解】

因为=:,

I4J3

兀

tana-tan—,.

,..,,4tan«-l1

所t以-------------=--------=-,

1+tanstan兀l+tan6Z3

4

所以tan。=2.

【小问2详解】

方法一：

1+sin2a(sincr+cosa)2(sintr+cosa)2

因为-----------------=---7------------------------------------=-------------------------------

l+cos2a+sin2a1+(2cos2«-1)+2sin«cos«2cos2a+2sinacosa

分母不能为0,故cosow0,

(sin«+cos<7)2(tana+1了3

所以———---------------=-----------=—,

2cos~a+2sinacosa2+2lana2

即1+sin2a_(tancr+1)23

l+cos2a+sin2a2+2tantz2

方法二:

由lana=2>0得角。的终边在第一象限或第三象限,

(i)当角。的终边在第一象限时,

si2也

sina.

tana=------=25

全由Jcosa得.

sin%+cos%=1coscr_叵

5

所以sin2a=2sinacosa=—,cos2cr=2cos-1二一二,

1+9

所以—"sin2a—=_5_=2;

1+cos2a+sin2a.342

1-----+一

55

(ii)当角。的终边在笫三象限时,

2>/5

sina八sina=

tana=-------=2,"I"

由<cosOf得，

sin-tz+cos-<7=1cosa=且

5

3

所以sin2a=2sinacosa=—,ccs2a=2cos2夕一1=——

55

1+3

所以一1+sin2a_=^=3

1+cos2(2+sin2(2।342

55

1+sin2a_3

综上所述,

l+cos2a+sin2a2

17.如图，已知48=2,。。=4,人&。。的夹角为5.

（1）求人3/?。+3。。+。。。4+。4/13的值；

（2）若线段AO,BC的中点分别为P,0,PQ=xAB+yCD.

<i）求实数乂》的值；

（ii）求线段P0的长.

【答案】（1）-28（2）（i）x=g,y=-g；（ii）百

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算可得/C+ZM=-（A8+CQ）,即可根据数最积的运算律求解

（2）（i）方法一：根据PQ=PA+AB+BQ,PQ=PD+DC+CQ,即可根据相反向量化简求解；方法二:

连接8。，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解.

【小问1详解】

因为4BBC+3CCO+COZM+DAA3

=6C（A8+CO）+ZM（CO+A8）=（8C+OA）.（A8+CO）,

.UUUUIM1UUUUUU1'八4/4八一八\

由A4+3C+CO+QA=0得8C+OA=-（A8+C。），

所以八35c十台CCD十CDZM十ZM•八3=一(八6十CD)'

=-+CD2+2AB•CDj=-(22+42+2x2x4xcos6())=-28.

【小问2详解】

(i)方法一：

因为PQ=R4+A4+5Q,PQ=PD+DC+CQ,

因为AD,BC的中点分别为尸,Q,

所以2PQ=PA+AB+8Q+PQ+OC+CQ=(PA+PO)+<B+(BQ+CQ)+QC=AB+QC,,即

PQ=^AB-^CDf

由PQ=xAB+yCD,AB,CD不共线得％=g，＞=一3•

方法一：

连结40,取的中点M,

则PQ二尸M+MQ=(AB+goC,

---------------11

由PQ=xAB+yCD,AB,CD不共线得x=-,y=--.

C

-----2(I—♦I1-21-2|—

(ii)因为PQ-=-A3--CD=-AB+-CD一一ABCD

2J442

=—1x44+—1x1,6——1x2cx44xcos—R=3c,

4423

所以PQ=|PQ卜"

18.如图，在长方体-中，点2在平面AUG"内，M是棱CO上一点(不包括端

点），4M的中点为==

（1）求证：AO〃平面/V?C；

（2）求证：PE±BC；

（3）若二面角P—8C—A与二面角尸一A5—M的大小都为；，四棱锥夕一A8CM的体积为二，求

34

M的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）

2

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定可证AO〃平面P3C；

（2）根据线面垂直的判定可证8c_L平面包尸，继而可得PE_L3C；

（3）由（2）知/PEE就是二面角尸一8。一A的平面角，过E作EN_LAB,垂足为N,连结PN,继而

可证NPNE为二面角P—A3—M的平面角，即/PFE=NPNE=三,再利用四棱锥夕一A8CM的体积

3

3

为一，可得A4的长.

4

【小问1详解】

在长方体ABCD-ARCR中,

所以四边形48co为矩形，所以AO〃3C,

又因为AO（Z平面PBC,8Cu平面PBC,

所以AO〃平面28C.

【小问2详解】

取8C的中点/，连接

因为E为AM的中点，所以E尸〃A3,

因为AB_LBC,所以EF上BC,因为产区=PC,F为2C的中点，所以夕F_L3C,

闪为EF,尸"u平面尸EF,E"c尸尸二F,所以6C_L平面?斯,

因为尸Eu平血抬尸，所以BCJ.PE

【小问3详解】

因为二面角P—3C—A的大小为；,

3

PE

由（2）可知/P庄为二面角~一8。一4的平面角，所以NP庄=§,所以产石二耳,

过E作EN_LAB,垂足为N,连结呐，因为夫人=可么石为八〃的中点,

所以P£J_AM，因为BC_L平面PERPEu平面在户，

所以PEd.BC,因为8cAM相交，且8cAMu平面A3Q）,

所以PE_L平面ABCO,因为ABu平面A8CD,所以庄JL/1B.

因为PE,ENu平面PEN,PECEN=E,所以A8JL平面PNE,

因为PNu平面尸EN,所以PN_LAA.

7RPE

所以/PNE为二面角尸一A8—M的平面角，即/PNE=—,所以EN=y,

3V3

2PE

因为E为AM的中点，所以访

111、1PE2PEcl3

所以/_"皿=12四""七=3万（z加。+40必。孑七二5耳下尸石二"

所以PE=|,因为PEJ_平面ABC。，点〃在平面AB|GR内，

所以PE为平面A8CD与平面的距离，故PE=AA,

3

所以

2

19.在VABC中，co=2D4，设/A/OBC分别。，d0=入。.

(1)若夕='.

(i)求偿AO+80)80的值；

(ii)求九的最小值；

(2)若4=2,BD=2BC,求cos/7的值.

【答案】(1)(i)0；(ii)3

⑵-

4

【解析】

【分析】⑴(i)由仅AO+8O)­8O=(DC+8O),8D可得答案；(ii)方法一：由

(2,4。+80.3£)=0得8§4=3)"+4夕,利用基本不等式得cosA2立，再由。的范围可得答

\'4ADAB2

案；方法二：设==由正弦定理得2cosain(O-a)=sina,再利用弦花切

0|*41,10

tana=­r-,再利用基本不等式可得答案；

tairO+3

（2）设AO=x,AN=），,3C=m,由正弦定理得sin/3D4=sinZ8DC,由余弦定理得

cosA=x+,—包L,求出X=YZ〃7，y=y/lm,再由余弦的二倍角公式可得答案.

2