2026年浙江温州知临学校提前自主招生数学卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页数学试题卷考生须知：1、本试卷满分120分，考试时间120分钟.2、答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号.3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效.4、请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，如需画图，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．若与互为相反数，则的值（

）A．64 B． C．81 D．3．如果，，那么，的值为（

）A．36 B．16 C．14 D．34．如图，若，则，，之间的关系是（

）A． B．C． D．5．北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间，同一时刻的巴黎时间是早上．好好和点点分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，．与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为（

）A．10 B．9 C． D．87．如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（

）A． B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（

）A． B．C． D．9．如图，正三角形中，点分别为边上的点，，连接，过作交于点，若要求得的边长，只要知道（

）

A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的周长10．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11．如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M（）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg．12．如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么______．13．如图，下边横排中有无数个方格，每个方格中都有一个数字，且任意相邻三个格子中数字之和都相等．已知，第1个方格中的数字是5，第9个方格中的数字是，前101个方格中的数字之和是74，则第101个方格中的数字是______．5-6…14．已知方程有4个根，，，．则_____15．将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则：①表示的数是______；②若在，则的值为______．16．如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________．三、解答题（本题共有8小题，共66分，解需写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为．(1)当为何值时，两个动点第一次相遇；(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？18．如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，．(1)判断与是否平行，并说明理由．(2)若平分，求的度数．19．已知抛物线经过点（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求出抛物线与坐标轴的交点，并在如图所示坐标系中用描点法描出二次函数的图象．20．问题呈现：如图，正方形中，分别为边上的点，且，求线段之间的数量关系．在小组学习过程中，我们得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，利用可得，即．拓展延伸：（1）如图①，正方形中，分别为边上的点，且，已知．试求正方形的周长．尝试解决：（2）如图②，在正外作一等腰，以为顶点作一个角，角的两边分别交于两点，连结．①探索线段之间的数量关系，并加以证明；②已知的周长为的面积为，试求的长．21．如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E．(1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长；(2)如图2，当半径为，，若，求弦的长．22．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．(1)图1中，求证：；(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．23．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．(1)问题解决：确定桥洞的形状．建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；②求出经过点A的双曲线的函数表达式．(2)探索应用：这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）24．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点．(1)求点的坐标．(2)点是直线上的一动点，以为边向右作正方形．①若点是线段中点，求点坐标．②连接．若，求点的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个实数是否为无理数即可．【详解】解：在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的有：、、（相邻两个1之间0的个数依次加1），共3个；故选B．2．A【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，乘方运算．根据相反数的定义得出，得出x、y值，然后代入求值即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得：，，∴，故A正确．故选：A．3．A【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案．【详解】解：由，去分母，得，则∵，∴原式．故选：A．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键．4．C【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案．【详解】过点作，如图，∵，∴，∴，∴，∴，即，故选：C．5．C【分析】本题通过时差转换和解不等式确定共同时间范围，注意时间范围的交集．根据时差关系，北京比巴黎早7小时．设北京时间为T，则巴黎时间为．通话需满足北京时间T在，且巴黎时间在．解不等式求T的范围，再验证选项．【详解】解：∵北京比巴黎早7小时，∴巴黎时间北京时间小时．设北京时间为T，则需满足：，且．解得，得；解，得．但（北京时间范围），∴T的取值范围为．选项中只有C．在此范围内．∴这个时刻可以是北京时间．故选C6．D【分析】本题主要考查了三线合一，勾股定理和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是合理的利用三线合一；先根据三线合一得到线段相等和直角，根据勾股定理得到的长，再运用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半进而得到答案即可；【详解】解：∵在中，，平分,∴，，∵，∴，在中，，∴，∴,∵点F为的中点，∴，∴的周长为，故选：D．7．D【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可．【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图，则四边形为矩形，那么，，，故选∶D．8．A【分析】作轴于G，作轴于E，与交于H；由证明，得出对应边相等，，求出即可．【详解】解：作轴于G，作轴于E，与交于H；如图所示：则，∴，∵C点坐标为，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∴点B的坐标为：；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．9．D【分析】作，，交于，连接，延长至点，使，连接，，，先证明，再证明，，最后根据的周长得出结论．【详解】解：如图，作，，交于，连接，延长至点，使，连接，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，点三点共线，在和中，，，，，，在和中，，，，的周长，，的周长，若要求得的边长，只要知道的周长，故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．10．B【分析】本题主要考查反比例函数k的意义，将的面积转化为的面积是解题的关键．延长，，交于点F，通过证明，得出，由中心对称得点O是的中点，进而可得是的中位线，推出，，再过A作轴于M，过D作轴于N，通过证明，得出，设点A的坐标为，则点D的坐标为，根据列式计算，可得k的值．【详解】解：延长，，交于点F，是的角平分线，∴，，∴，又，∴，∴，又过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，∴点O是的中点，∴是的中位线，∴，∴，过A作轴于M，过D作轴于N，则，∴，∴，，∴，设点A的坐标为，则点D的坐标为，，∴，∴，解得故选：B．11．【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可．【详解】解：设反比例函数解析式为，∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；∴，∴反比例函数解析式为，当时，，∴M的取值范围是，故答案为：．12．24【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得的面积，进而问题可求解．【详解】解：∵，∴，∵和分别是和的中点，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，∴；故答案为24．13．3【分析】由任意相邻三个格子中数字之和相等，可得序列是周期为3的周期序列．根据前101个方格数字之和74求出，最后由周期可求出第101个方格对应周期中的第二个位置．本题是数字变化规律的考查，找出周期的三个数字是解题的关键．【详解】解：由题意，任意相邻三个格子中数字之和相等，因此序列是周期为3的周期序列，设第1个方格数字为，第2个为，第3个为，则，第9个方格对应第3个位置（因为余0），故，相邻三个格子之和为常数，，前101个方格中，完整周期数为33个（余2），余下两个方格为第100和101个，分别对应和，前101个方格数字之和为：化简得：即解得第101个方格对应周期中的第2个位置，故数字为．故答案为：3．14．【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出．根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案．【详解】设多项式有四根，∴，∴同理：，∴．故答案为：15．【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，推出第n排，有个数，且最大的数为，据此可解决问题．①根据题中数的排列规律，依次找出第5排，第6排，第7排的第1个数和最后一个数，再根据奇数排从左往右根号下的数依次加1，据此解答即可；②根据题中数的排列规律，推出第n排，有个数，且最大的数为，再由，确定第45排的第1个数和最后一个数，从而找出所在的位置，得出x，y的值，再计算．【详解】①解：根据题意，第5排从左往右第1个数为，最后一个数为；第6排从左往右第1个数为，最后一个数为；第7排从左往右第1个数为，最后一个数为；第7排从左往右第6个数为，表示的数是；故答案为：；②解：根据题中数的排列方式，可知第n排，有个数，且最大的数为，当n为奇数时，从左往右，根号下的数依次加1；当n为偶数时，从左往右，根号下的数依次减1；又，第45排从左往右，最后一个数为，第46排从左往右，第一个数为，最后一个数为，在第46排的最后1个数，即第个数．，，．故答案为：137．16．6【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中，运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得，在中，再次利用勾股定理得到，代入整理得：，利用因式分解求一元二次方程即可求解．【详解】解：根据作图可得，∴，如图所示，连接，设的半径为，∴，则，∴，在中，，∴，∵以为圆心，长为半径作弧交于点，∴，∵为的直径，∴，在中，，∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）∴的半径为6．故答案为：．17．(1)t=20(2)t为6或2【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点；（1）根据题意得方程即可求出答案；（2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，答：当为时，两个动点第一次相遇．（2）解：是边长为的等边三角形，，有种情况：①如图，过作于，，，由勾股定理得：由三角形面积公式得：，解得：，舍去；②如图2，，，，由三角形面积公式得：，解得：或，当时，在上，舍去，；③如图3：，，，，此方程无解；的值是，，答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为．18．(1)，理由见解析(2)【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质．（1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可；（2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：设，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，解得，又∵平分，∴，又∵，∴．19．（1）；（2）与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，)，画图见解析【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）令即可求出与x轴的交点坐标，然后求出顶点坐标和x=-2时点的坐标，再用描点法画出函数图像即可．【详解】（1）∵抛物线经过点，∴，解得，∴；（2）当y=0时，，解得x1=-3，x2=1，∴与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，)．∵=，∴顶点坐标为：(-1，2)．当x=-2时，=-2+2+=．如图，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点法画函数图象，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．20．（1）正方形的周长为24；（2）①；见解析；②【分析】（1）设，由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解；（2）①延长到，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而可证，最后问题可求证；②过点作的垂线交于点，连接，交于点M，由题意易得，，则有，然后可得，进而根据三角形的面积可进行求解．【详解】解：（1）如图，，设，则在中，，∴，解得，正方形的周长为24；（2）①如图，延长到，使得，连接，∵是等边三角形，∴，∵，∴，，在和中，，，，，，，在和中，，，，即；②如图，过点作的垂线交于点，连接，交于点M，∵，∴垂直平分线段，∴，∵，∴，，∴，，，在和中，，，，同理得，的周长为，的周长为，，，的面积为，．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．(1)8(2)【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出；（2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出．【详解】（1）解：如图1中，连接．∵过圆心O的线段于点F，，∴，∴，在中，根据勾股定理得，设，则，∵经过圆心O的线段∴，在中，根据勾股定理得，∴（不合题意，舍去），∴；（2）解：如图2中，作于H．∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵．∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，在，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键．22．(1)(2)①仍然成立，见解析；②【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可．（2）①证明，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．②由，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题．【详解】（1）解：如图1，在中，，点、分别在边、上，，，即，点、、分别为、、的中点，，，，（2）解：①仍然成立，如图2，连接，，由题意知，，，，，点、、分别为、、的中点，，分别是和的中位线，，，；②如图2中，，，，，，，，，，，，同法可得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23．(1)①；②(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞【分析】本题考查反比例函数的实际应用；（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，∴，，∵点C为，∴，∵落在第一象限的角平分线上，∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，∴点D是的中点，，∴，∵，∴，∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，②设双曲线接解析式为，把，代入得∴解得，，∴点A在双曲线上；（2）由（1