世界少年数学邀请赛九年级2025年真题详解

世界少年数学邀请赛九年级2025年真题详解

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.二次函数y=2x²-4x+1的顶点坐标是A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-1,1)2.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为A.2:3B.3:2C.4:9D.9:43.圆的切线与过切点的半径的位置关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合4.盒子里有2个红球和3个白球，不放回地摸2个，第一次摸红球、第二次摸白球的概率是A.1/5B.3/10C.3/5D.2/55.不等式|x-2|≤3的解集是A.x≥-1且x≤5B.x≥-1或x≤5C.x≥5或x≤-1D.x>-1且x<56.因式分解x³-9x的结果是A.x(x²-9)B.x(x-3)²C.x(x+3)(x-3)D.(x-3)(x+3)7.计算tan60°的值是A.1/2B.√3/2C.√3D.18.两个质数的和为15，则它们的积是A.30B.26C.60D.329.将函数y=3x²的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式是A.y=3(x+2)²+1B.y=3(x-2)²+1C.y=3(x+2)²-1D.y=3(x-2)²-110.反比例函数y=k/x的图像过点(2,3)，则该函数图像上任意一点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是A.3B.6C.12D.不确定二、填空题(总共10题，每题2分)1.因式分解x²-6x+8=______2.一元二次方程x²-4x+m=0有两个相等实数根，则m=______3.若△ABC∽△DEF，相似比为3:4，则它们的面积比为______4.圆的半径为5cm，圆心角为72°，则该弧的长度为______cm（π取3.14）5.从4名同学中选2名参加活动，不同的选法有______种6.某同学站在地面上，用测角仪测得旗杆顶部的仰角为45°，测角仪到旗杆底部的水平距离为10m，则旗杆的高度为______m（忽略测角仪高度）7.不等式组{x+1>0，x-2<0}的解集是______8.整数6和8的最小公倍数是______9.函数y=x²-2x与y=x的交点坐标为______10.方程|2x-1|=5的解是______三、判断题(总共10题，每题2分)1.二次函数y=-x²+3x-1的图像开口向下2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3.圆中任意一条弦所对的圆周角都是直角4.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是1/25.若a>b，则ac²>bc²（c为实数）6.数字0是最小的自然数7.一次函数y=-2x+5的函数值随x的增大而减小8.sin30°=cos60°9.绝对值等于它本身的数是正数10.若x₁、x₂是方程x²-3x+2=0的两根，则x₁+x₂=3，x₁x₂=2四、简答题(总共4题，每题5分)1.已知二次函数的图像过点(0,2)，且顶点坐标为(1,3)，求该二次函数的解析式2.在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求EC的长度3.求证：圆的切线垂直于过切点的半径（写出证明过程的关键步骤）4.盒子里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球，从中随机摸出2个球，求摸出的2个都是红球的概率五、讨论题(总共4题，每题5分)1.某商店销售一种成本为每件40元的商品，经市场调查发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系为y=-10x+800，求商店每周销售该商品的最大利润及此时的销售单价2.请设计一种利用相似三角形测量学校操场边一棵大树高度的方案，写出所需工具、测量步骤及计算方法3.直线与圆有三种位置关系，请分别说明这三种位置关系的定义，并指出如何通过圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断4.小明和小刚玩掷骰子游戏，规则是：掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则小明赢；若点数为3或4，则小刚赢；若点数为5或6，则重新掷。请判断这个游戏是否公平，并说明理由；若不公平，请修改规则使游戏公平一、单项选择题答案1.A2.A3.B4.B5.A6.C7.C8.B9.B10.B二、填空题答案1.(x-2)(x-4)2.43.9:164.6.285.66.107.-1<x<28.249.(0,0)和(3,3)10.x=3或x=-2三、判断题答案1.对2.对3.错4.对5.错6.对7.对8.对9.错10.对四、简答题答案1.设二次函数顶点式为y=a(x-1)²+3，代入点(0,2)得2=a(0-1)²+3，解得a=-1，因此解析式为y=-(x-1)²+3，展开得y=-x²+2x+2。2.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，相似比为AD/AB=3/(3+6)=1/3，因此AE/AC=1/3，AC=AE×3=6，所以EC=AC-AE=6-2=4。3.假设切线l与圆O切于点A，连接OA，若l不垂直OA，则过O作OB⊥l于B，根据垂线段最短，OB<OA，但OB是圆心到切线的距离，而切线定义是只有一个交点，OB应等于半径OA，矛盾，故切线垂直于过切点的半径。4.总选法有C(5,2)=10种，选2个红球的选法有C(3,2)=3种，概率为3/10。五、讨论题答案1.利润W=(x-40)y=(x-40)(-10x+800)=-10x²+1200x-32000，顶点横坐标x=-b/(2a)=-1200/(2×(-10))=60，代入得W=-10×60²+1200×60-32000=4000，故最大利润4000元，单价60元。2.工具：米尺、标杆。步骤：①选一根标杆，量出长度h；②将标杆竖直立在地面，量出标杆影子长度l₁；③同时量出大树影子长度l₂；④因为太阳光线平行，△标杆与影子相似于△大树与影子，所以大树高度H=h×l₂/l₁。3.三种位置关系：①相离：直线与圆无交点，d>r；②相切：直线与圆有一个交点，d=r；③相交：直线