世界少年数学邀请赛2025年九年级真题

世界少年数学邀请赛2025年九年级真题

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.二次函数y=2x²-4x+3的顶点坐标是（）A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则它们的面积比为（）A.2:3B.4:9C.3:2D.9:43.已知圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，过点P的直线l与圆O相切，则l的条数为（）A.0B.1C.2D.34.某斜坡的坡度为1:√3，则该斜坡的坡角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°5.分式方程(x-2)/(x-1)=1/(1-x)的增根是（）A.x=1B.x=2C.x=0D.无增根6.从1,2,3,4,5中随机抽取两个数，和为偶数的概率是（）A.2/5B.3/5C.1/2D.1/37.二次不等式x²-3x+2<0的解集是（）A.x<1或x>2B.1<x<2C.x<0或x>3D.0<x<38.将点A(2,-3)绕原点顺时针旋转90°后的坐标是（）A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,3)D.(3,2)9.已知a=2³×3²，b=2²×3³，则a和b的最小公倍数是（）A.2³×3³B.2²×3²C.2³×3²D.2²×3³10.一组数据：2,3,5,5,7,8的中位数和众数分别是（）A.5,5B.5,7C.6,5D.6,7二、填空题（总共10题，每题2分）1.因式分解：3x²-6x+3=______2.圆的半径为4，圆心角为90°的弧长是______3.反比例函数y=k/x的图像经过点(2,-3)，则k=______4.三角形的三个顶点坐标为A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，则其外心坐标是______5.一元二次方程x²+mx+2m-1=0有整数根，则m的整数值为______6.在边长为2的正方形内随机取一点，该点到正方形中心的距离小于1的概率是______7.若sinα=3/5，则cos²α=______8.将函数y=2x²的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数表达式是______9.一个多边形截去一个角后，内角和为1800°，则原多边形的边数是______10.某商品原价100元，连续两次涨价10%后价格是______三、判断题（总共10题，每题2分）1.函数y=ax²+bx+c是二次函数（）2.两边对应成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似（）3.圆的直径所对的圆周角是直角（）4.当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大（）5.分式的分子和分母同乘一个数，分式的值不变（）6.一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数（）7.旋转前后的图形中，对应点到旋转中心的距离相等（）8.一元二次方程ax²+bx+c=0有实根的条件是b²-4ac≥0（）9.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（）10.概率的值可以大于1或小于0（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.用配方法解方程：2x²-4x-1=02.小明身高1.6米，站在阳光下，影子长2米，此时测得旗杆的影子长15米，求旗杆的高度。3.某商店销售某种商品，每件成本为30元，售价为x元（30<x<60），每天销售量为(100-2x)件，求每天的最大利润及对应的售价。4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求至少有一枚正面朝上的概率。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴，讨论a、b、c的符号关系。2.圆O中，AB是直径，C是圆上一点，过C作圆的切线CD，连接OC，证明CD⊥OC。3.从山顶A处测得山脚B处的俯角为30°，已知山高AC=100米（AC垂直于山脚水平面），求AB的距离（结果保留根号）。4.两组数据：A组：1,2,3,4,5；B组：2,3,4,5,6。比较两组数据的平均数和方差，说明哪组数据更稳定。答案一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.A7.B8.B9.A10.A二、填空题1.3(x-1)²2.2π3.-64.(2,1.5)5.0或86.π/47.16/258.y=2(x+1)²-29.11或12或1310.121三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题1.解：2x²-4x=1，两边除以2得x²-2x=1/2，配方得(x-1)²=3/2，开方得x=1±√6/2。2.解：设旗杆高为h，由相似三角形性质得1.6/2=h/15，解得h=12米。3.解：利润=（x-30）(100-2x)=-2x²+160x-3000，顶点横坐标x=40，代入得最大利润200元，对应售价40元。4.解：所有可能结果：正正、正反、反正、反反，共4种，至少一枚正面的有3种，概率为3/4。五、讨论题1.解：与x轴有两个交点→b²-4ac>0；与y轴交于正半轴→c>0；a的符号由开口方向决定：若a>0，图像开口向上，顶点在x轴下方（因与x轴有两交点）；若a<0，开口向下，顶点在x轴上方。综上，c>0，b²-4ac>0，a≠0，a与c同号（c>0故a>0或a<0均可）。2.解：根据切线定义，圆的切线垂直于过切点的半径。CD是圆O的切线，C是切点，OC是过切点的半径，因此CD⊥OC。反证法：若CD不垂直OC，则CD与圆有两个交点，与切线“仅一个交点”矛盾，故CD⊥OC。3.解：俯角为30°即视线与水平线夹角为30°，AC=100米为垂直高度。在Rt△ACB中，∠ABC=30°（内错角相等），sin30°=AC/AB→AB=AC/sin30°=100/(1/2)=200米？或用cos30°=AC/AB→AB=100/(√3/2)=200√3/3米？正确应为：俯角是从A看B的视线与水平线的夹角，故∠BAC=60°？不，画图：A在山顶，C在山脚正下方，AC⊥BC，水平线AD过A，∠DAB=30°（俯角），则∠ABC=30°（AD∥BC，内错角相等），AC=100米，AB=AC/sin30°=200米（sin30°=对边/斜边=AC/AB）。4.解：A组平