概率论与数理统计 教案 4.1数学期望、方差

《概率论与数理统计》教学设计方案理论2课时1.知识与技能目标（1）理解数学期望、方差的概念，掌握离散型和连续型随机变量数学期望、方差的计算方法；（2）掌握数学期望、方差的性质，并能运用性质进行相关计算；（3）了解常见分布的数学期望.掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的方差。2.能力与思维目标（1）培养学生抽象概括、逻辑推理和数学运算的能力；（2）培养学生运用数学期望解决实际问题的能力.（3）采用举例法，使学生明白方差的含义及其与数学期望的联系与区别；（4）通过对典型案例的探究，使学生了解方差的应用并会计算随机变量的方差．3.情感态度与价值观目标（1）采用举例法，使学生明白方差的含义及其与数学期望的联系与区别；（2）通过对典型案例的探究，使学生了解方差的应用并会计算随机变量的方差；（3）激发学生学习概率论与数理统计的兴趣，培养学生严谨求实的科学态度。（1）数学期望、方差的概念及计算方法；（2）数学期望、方差的性质；（3)常见随机变量的方差；处理措施：讲解、举例、练习、讨论．连续型随机变量数学期望的计算；数学期望性质的证明．处理措施：举例、练习．思政元素融入在生活中，我们做很多决策的时候，都要像这样理性分析，不能只看表面的得失，还要考虑背后的概率和期望。这就像我们在面对各种选择时，要思考清楚，不能盲目冲动。教学过程教师活动学生活动导入（共10分钟）在一个神秘的小镇上，有两个抽奖摊位。A摊位抽奖规则是，你花2元钱抽奖，有50%的概率抽到价值1元的小奖品，50%的概率抽到价值3元的小奖品；B摊位抽奖规则是，同样花2元钱抽奖，有30%的概率抽到价值0元的空奖，70%的概率抽到价值4元的大奖。现在问大家，如果是你，你会选择去哪个摊位抽奖呢？思考并在学习通上完成选择教学环节主要教学内容学生活动安排新课(70分钟)1.数学期望的定义2.随机变量函数的数学期望3.数学期望的性质4.常用分布的数学期望从学习通的结果显示大家看法不太一样呀，那我们能不能用数学的方法来分析一下，到底哪个选择更划算呢？这就是我们今天要开始探讨的离散型随机变量的数学期望问题啦，它能帮我们找到答案哦。“接下来，我们将详细学习数学期望的计算方法及其性质，并通过例题加深理解.”定义4.1.1设离散型随机变量的分布律为，.若级数绝对收敛，则其的和为随机变量的数学期望，记，即.设连续型随机变量的概率密度为。若积分绝对收敛，则其的值为随机变量的数学期望，记，即.数学期望简称期望，又称为均值.例4.1.1有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为（1）若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命的数学期望.（2）若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命的数学期望.定理4.1.1设是随机变量的函数（是连续函数）.（1）是离散随机变量，其分布律为，.若绝对收敛，则有（2）是连续型随机变量，其概率密度为.若绝对收敛，则有上述定理可推广到两个或两个以上：设（是连续函数），当是二维离散型随机变量，其分布律为（）时，若绝对收敛，则有当是二维连续型随机变量，其概率密度为，若绝对收敛，则有特别地，有例4.1.2随机变量的分布律如表4-5所示，求.例4.1.3近似测量球的直径，设其值均匀分布在区间内，求球体积的数学期望.定理4.1.2设随机变量的数学期望,存在(1),其中为常数；(2)，其中为常数；(3)（可推广到任意有限个随机变量之和）；(4)若相互独立，则有（可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积）.例4.1.4设一电路中电流（单位：）与电阻（单位：）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为求电压（单位：）的均值.例4.1.5设对某一目标进行射击，命中次才能彻底摧毁该目标，假定各次射击命中的概率为，求彻底摧毁这一目标平均消耗的炮弹数（1）（）分布.设随机变量服从参数为的（）分布，则的数学期望为（2）二项分布.设随机变量服从参数为的二项分布，其分布律为则的数学期望为令则由数学期望的性质有.解决问题：现在咱们来看看刚才抽奖的例子怎么用数学期望分析。对于A摊位，抽到价值1元小奖品的概率是0.5，抽到价值3元小奖品的概率也是0.5。那么按照数学期望公式，A摊位抽奖的数学期望E(XA)=1×0.5+3×0.5=2元。对于B摊位，抽到价值0元空奖的概率是0.3，抽到价值4元大奖的概率是0.7，所以B摊位抽奖的数学期望E(XB)=0×0.3+4×0.7=2.8元。这样看，虽然B摊位有抽到空奖的风险，但从数学期望角度，它平均收益更高，也就更划算啦。接下来，分组讨论，每组发一个小问题：假设有一家游戏公司推出一款新游戏，玩家每次充值10元抽奖。抽奖有三种结果，一等奖奖金100元，中奖概率0.01；二等奖奖金20元，中奖概率0.05；三等奖奖金5元，中奖概率0.1。请大家计算一下这款抽奖游戏对于玩家来说，数学期望是多少，是赚钱还是赔钱呢？（学生分组讨论，教师巡视）哪个小组先来分享一下你们的讨论结果呀？第一组代表：老师，我们算出来数学期望是E(X)=100×0.01+20×0.05+5×0.1=2.5元，但是玩家每次抽奖要花10元，所以是赔钱的。师：非常棒，计算很准确！那有没有其他小组有不同的想法或者补充呢？第二组代表：我们也是这个答案，不过我们还想到，如果长期玩这个游戏，可能会有一些玩家运气好中很多奖，所以数学期望可能就不准啦。师：这个想法很有意思呀，确实实际情况可能更复杂。那大家想想，从这个游戏例子里，除了数学期望的计算，还能想到什么道理呢？生3：感觉游戏公司这样设置概率，就是为了赚钱，不太公平。师：没错，这就涉及到一个公平性的问题啦。在生活中，我们做很多决策的时候，都要像这样理性分析，不能只看表面的得失，还要考虑背后的概率和期望。这就像我们在面对各种选择时，要思考清楚，不能盲目冲动。（3）泊松分布.设随机变量服从参数为的泊松分布，其分布律为则的数学期望为令，则有.（4）均匀分布.设随机变量服从区间上的均匀分布，其概率密度为则的数学期望为（5）指数分布.设随机变量服从参数为的指数分布，其概率密度为则的数学期望为（6）正态分布.设随机变量其概率密度为则的数学期望为令，则因为所以听讲思考听讲理解听讲思考为什么？思考听讲思考听讲理解5.方差的定义6.常见随机变量的方差7.方差的性质设随机变量的均值，的取值当然不一定恰好是，会有偏离．偏离的量有正有负，为了不使正负偏离彼此抵消，我们一般考虑，而不去考虑数学上难以处理的绝对值．因为仍是一个随机变量，所以其均值就可以作为刻画的“波动”程度，这个量被称为的方差，其定义如下．定义4.2.1设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为或，即．称方差的平方根为随机变量(或相应分布)的标准差，记为或．由定义知，方差实际上就是随机变量的函数的数学期望．于是对于离散随机变量，有其中，是的分布列．对于连续随机变量，有其中是的概率密度．方差与标准差都是用来描述随机变量取值集中与分散程度的特征数．方差与标准差越小，随机变量的取值越集中；方差与标准差越大，随机变量的取值越分散．方差与标准差之间的差别主要在量纲上，由于标准差与所讨论的随机变量、数学期望有相同的量纲，所以在实际中，人们比较乐意选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才能得到．另外需要指出的是：若随机变量的数学期望存在，其方差不一定存在；而当的方差存在时，必存在．定理4.2.1(方差的计算公式)．例4.2.1设随机变量的数学期望为，方差．记，则；．即的数学期望为0，方差为1．称为随机变量的标准化随机变量．例4.2.2设随机变量的概率密度为，求．例4.2.3设随机变量的可能取值为，，，且，．求的分布列．两点分布设随机变量服从两点分布，则，，所以．二项分布设随机变量～，则，所以．泊松分布设随机变量～，则，所以．均匀分布设随机变量～，则，所以．5.指数分布设随机变量～，则，所以．6.正态分布设随机变量～，由于～，所以的方差为．由方差的性质得．这个结果表明，正态分布中的另一个参数就是方差．性质1常数的方差为0，即，其中是常数．性质2若，是常数，则．性质3若随机变量与相互独立，则有．这个性质可推广到维随机变量场合，即若，，…，相互独立，则有．例4.2.4已知，，求．例4.2.5设有，两种不相关的证券，它们的收益与概率如下表：类型收益(元)概率证券证券问应如何投资这两种证券最佳(即要满足收益越大越好，风险越小越好)？“数学期望不仅是一个理论概念，它在实际生活中有广泛的应用.比如，保险公司如何计算保费？投资者如何评估收益？这些问题都离不开数学期望.”听讲思考为什么？思考听讲理解听讲