概率论与数理统计 教案 第六章第二节 参数估计 -区间估计教学设计(2课时)

《概率论与数理统计》教学设计方案PAGE21.知识与技能目标：（1）理解区间估计的基本概念，理解区间估计的基本概念；（2）掌握区间估计的思想方法；（3）了解区间估计的置信区间在不同情况下如何计算及推导过程.2.能力与思维目标：（1）能够利用统计软件根据已知条件，计算在不同情况下的置信区间；（2）学生能体会区间估计的统计意义，并能够根据实际情况选择合适的置信水平.3.情感态度与价值观目标（1）体会区间估计在实际场景中的应用价值，培养用数学思维解决复杂问题的严谨态度；（2）通过了解我国载人深潜事业从跟跑到领跑的发展历程，增强民族自豪感与科技自信，激发投身海洋科技领域的责任感.正态总体下均值和方差的区间估计方法.处理措施：结合实际问题，讲解正态总体下均值和方差的区间估计方法，并通过例题演示如何构造置信区间.置信区间的理解和解释，了解其现实使用意义．处理措施：对于置信区间的理解，采用直观解释和类比推理的方法，帮助学生理解置信区间的统计意义，而不拘泥于严格的数学推导.思政元素融入以我国载人潜水器探测热液区为背景，通过运用数学方法解决实际探测中的问题，展现我国在深海探测领域的技术实力，让学生感受到我国从深海探测空白到建立全海深体系的跨越式发展，增强民族自豪感和对我国科技发展的自信.了解深海工匠——顾秋亮的工作态度，引导学生在学习和未来工作中秉持严谨求实的精神.知识点1（数字人视频）：区间估计的基本思想.参数的点估计法，是使用一个统计量θ作为未知参数θ的估计量，若得到了样本的观测值，就可以用统计量θ的观测值作为θ的估计值.这种方法虽直观且便于计算，但该方法有一个明显得缺陷，即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有给出这个近似值的误差范围.区间估计的基本思想是用样本来构造一个参数的取值范围，使得待估参数落在这个范围内的可信程度较高，这就是区间估计.区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到，区间的长度意味着误差.知识点2（数字人视频）：区间估计举例说明比如需估计某湖泊中鱼的数量，若根据一个实际样本，利用最大似然估计法估计出鱼的数量为50000条.但实际上，鱼的数量的真值可能大于50000条，也可能小于50000条，且可能偏差较大.若能给出一个估计区间,让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信鱼的数量的真值被含在这个区间内,这样的估计显然更有实用价值.这类估计即为区间估计.视频资料：1.什么是深海热液？2.深海工匠——顾秋亮超星观看知识点1：区间估计的基本思想知识点2：区间估计举例说明教学环节主要教学内容学生活动安排反转课堂，帮助学生绘制知识线（共10分钟）教师：你知道吗？不仅是陆地有山川起伏、有火山喷发，而深邃的海底也一样，既有像陆地山脉一样的海山、海沟，更有能喷出高温流体的“海底火山”，1977年美国载人潜水器“阿尔文”号发现了深海热液，什么是深海热液（播放视频）.1977年美国“阿尔文”号发现深海热液时，我国还没有自主载人潜水器；我国载人潜水器的研究起步比国外晚了整整40年，但是我们奋起直追，我们通过近十年的努力，建立了全世界最完善的载人深潜的体系，2020年“奋斗者号”坐抵10909米深海，（展示“蛟龙号”“奋斗者号”深潜影像）.大家知道，深潜任务中每一分钟都弥足珍贵，比如寻找热液喷口时，如何避免盲目搜索？（停顿等待）学生可能回答：根据已有探测数据推测范围、计算可能存在的区域.教师：没错！外国科学家曾用“90%概率存在于10公里×8公里海域”这样的结论垄断研究，而我国科研团队靠自主技术算出更精准的范围.这里有个关键问题：如果只测到3个热液异常点，估计说“热液区面积是1平方公里”靠谱吗？学生可能回答：不靠谱，因为样本太少，可能有误差……教师：那如果说“热液区面积在区间[0.5,2]平方公里之间”，需要加什么条件才能让这个结论有说服力？引出课题的问题.教师：“当我国科研人员用30个探测样本推算热液区范围时，如何用数学方法明确‘这个范围有多大把握是正确的’？这就是今天要学习的——区间估计，它能让我们在不确定的探测数据中，给出既科学又实用的结论.”教师：课前看了“区间估计的基本思想”知识点视频的有（根据课前查看数据填实际人数）人（教师对预学情况做一个反馈）.区间估计的基本思想是用样本来构造一个参数的取值范围，使得待估参数落在这个范围内的可信程度较高，这就是区间估计.若能给出一个估计区间,让我们能较大把握地(其程度可用概率来度量之)相信真值被含在这个区间内,这样的估计显然更有实用价值.在区间估计理论中,被广泛接受的一种观点是置信区间,它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.新课(40分钟)知识点1：给出置信区间的概念知识点2：方差σ2已知时，均值μ的置信区间知识点3：方差σ2未知时，均值μ的置信区间知识点4：双正态总体均值的置信区间知识点5：单正态总体方差的置信区间实操：35分钟[情景与案例]例6.10设是汽车某零件长度的测量值，已知测量误差是各次独立的，都服从正态分布，其中是已知常数，问以99%的把握可以断言长度在什么范围之内？解：设，其中是的测量误差，因为是独立同分布的，都服从，所以的点估计就服从正态分布，由正态分布的性质可知或这就是说，能以99%的概率推断.注意到上述的区间估计是与概率0.99相对应的.这里的概率0.99实际上就起到一个可信度的作用，而这个区间以的点估计值为中心，长度为.定义6.7设为总体分布的未知参数,是取自总体X的一个样本,对给定的数,若存在统计量使得则称随机区间为的双侧置信区间,称为置信水平,又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限.置信水平的含义举例:若令,重复抽样100次,则其中大约有95个区间包含的真值,大约有5个区间不包含的真值.一般地，我们取置信水平为0.90，0.95，0.99.寻求置信区间的基本思想:在点估计的基础上,构造合适的函数,并针对给定的置信水平导出置信区间.区间估计的一般步骤如下：(1)选取未知参数的某个较优估计量;(2)围绕构造一个依赖于样本与参数的函数(3)对给定的置信水平,确定两个常数与,使得通常可选取满足的与，在常用分布情况下,这可由分位数表查得;(4)反解不等式，对不等式作恒等变形化后为,于是就是参数的置信水平为的双侧置信区间.由于在大多数情况下，我们所遇到的总体是服从正态分布的（有的是近似正态分布），故我们现在来重点讨论正态总体参数的区间估计问题.首先是单正态总体均值的置信区间假定总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，Xn为X的样本，给定置信水平为1-α，分方差σ2已知和未知两种情况，给出均值的置信水平为1-α的置信区间.(1)方差σ2已知时，均值μ的置信区间设X~N（μ,σ2），μ未知，σ2已知，样本X1，X2，…，Xn来自总体X，所以选取统计量u=~N（0，1），对于给定的置信水平α，查附录中表2可得上分位点，使得=1-α,即=1-α.所以μ的置信水平为1-α的置信区间为.（6.6）由（6.6）式可知置信区间的长度为，若n越大，置信区间就越短；若置信水平1-α越大，α就越小，就越大，从而置信区间就越长.例6.10滚珠是汽车车轮、万向节等汽车关键零件的核心组成部分，滚珠直径X~N(μ,0.06)，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.615.114.914.815.215.1试求滚珠直径X的均值μ的置信水平为95%的置信区间.解：方差为0.06已知，所求的置信区间为（6.6）式，由1-α=0.95，得α=0.05，由题目可知，，查表（附件3）可得，由样本计算可得=14.95，代入（6.6）式，μ的置信水平为95%的置信区间为(2)方差σ2未知时，均值μ的置信区间当σ2未知时，不能使用（6.6）式作为置信区间，因为（6.6）式中区间的端点与σ有关，考虑到S2=是σ2的无偏估计，将中的σ换成S得T=~t（n-1）.对于给定的α，查附录中t分布表4可得上分位点tσ/2（n-1），使得=1-α，即=1-α.所以μ的置信概率为1-α的置信区间为.（6.7）例6.11滚珠是汽车车轮、万向节等汽车关键零件的核心组成部分，滚珠直径X~N(μ,σ2)，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.615.114.914.815.215.1试求滚珠直径X的均值μ的置信水平为95%的置信区间.解此题相较于例6.10，方差σ2未知，故所求的置信区间为（6.7）式，由样本值计算出，方差故，由1-α=0.95，得α=0.05，tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.571，所以代入（6.7）式，μ的置信水平为95%的置信区间为（14.713,15.187).以上是单正态总体均值的置信区间，在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差的置信区间.再讨论双正态总体均值的置信区间设是总体的容量为的样本均值,是总体的容量为的样本均值,且两总体相互独立,其中已知.因与分别是与的无偏估计,给定置信水平，由于，所以标准化，得根据给定的置信水平,可得可推导出的置信度为的置信区间为（6.8）例6.12一大学生毕业后找工作，想调查不同职业领域的职工平均基本工资情况，以帮助职业选择，他选择了两大行业：信息技术行业和教育行业.已知信息技术行业职工基本工资X(单位:元);教育行业职工基本工资Y(单位:元),从总体X中调查25人,平均工资1286元,从总体Y中调查30人,平均工资1272元,求这两大类行业职工平均基本工资之差的99%的置信区间.解 由于故查表（附表2）得又代入（6.8）式得到的置信度为99%的置信区间为即两大类行业职工平均基本工资相差在之间,这个估计的置信度为99%.最后来学习单正态总体方差的置信区间前面给出了总体的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差进行区间估计.设总体其中,未知,是取自总体X的一个样本.求方差的置信水平为的置信区间.解：由于方差的无偏估计为样本方差,则选取统计量,对给定的置信水平,可得于是方差的置信区间为（6.9）而方差的置信区间为例6.13滚珠是汽车车轮、万向节等汽车关键零件的核心组成部分，滚珠直径X~N(μ,σ2)，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.615.114.914.815.215.1试求滚珠直径X的方差σ2的置信水平为95%的置信区间.解：因为μ未知，所以所求置信区间为（6.9）式，由1-α=0.95，得α=0.05，由题目可知，，查表（附件4）可得，由样本计算可得，方差，代入（6.9）式，得到直径X的方差σ2的置信水平为95%的置信区间为实操利用Python语言进行数据处理例6.15滚珠是汽车车轮、万向节等汽车关键零件的核心组成部分，滚珠直径X服从正态分布，现从某一天生产的产品中随机地抽出6个，测得直径如下（单位：毫米）14.615.114.914.815.215.1（1）若X~N(μ,0.06)，试求滚珠直径X的均值μ的置信水平为95%的置信区间.（同例6.10）（2）若X~N(μ,σ2)，试求滚珠直径X的均值μ的置信水平为95%的置信区间.（同例6.11）（3）若X~N(μ,σ2)，试求滚珠直径X的方差σ2的置信水平为95%的置信区间.（同例6.13）引导学生思考：（1）给定置信水平，式（6.6）得到的置信区间是唯一的吗？（2）（6.6）式可知置信区间的长度为？区间长度与样本容量n的关系是什么？与的关系是什么？引导学生小结：方差σ2已知时，使用标准正态分布；方差σ2未知时，使用t分布.总结（共5分钟）总结：谈谈本章节你有哪些收获.X~N(μ,2.25)，解：方差为已知，所求的置信区间为（