概率论与数理统计 教案 第七章 第一节 假设检验的基本原理 第二节 假设检验的基本方法

《概率论与数理统计》教学设计方案PAGE21.知识与技能目标：（1）掌握两类错误、显著性水平、拒绝域等基本概念；（2）理解假设检验的基本原理；（3）了解正态分布总体的均值与方差的假设检验方法．2.能力与思维目标：（1）通过假设检验“提出假设—收集证据—验证结论”的完整流程，培养学生从实际问题中提炼统计逻辑、构建检验框架的能力；（2）通过实例分析，培养其对统计结果的批判性思维，避免机械套用方法．3.情感态度与价值观目标（1）社会责任感：结合“教育帮扶成效评估”案例，让学生体会统计方法在衡量社会公平（如教育资源均衡）中的作用，增强对“社会协同发展”的认同感；（2）人文素养：通过“两类错误与包容友善”的思政关联，引导学生在生活中践行“严以律己、宽以待人”的价值观——如同假设检验中“控制显著性水平以平衡误差”，在坚守原则底线的同时，理解他人的合理偏差，培养协作意识．不同场景下检验方法的选择．处理措施：对比辨析：设计“方法选择对照表”，列出不同检验类型的适用条件（总体分布、方差是否已知），结合“可乐甜度损失检验”（方差未知用t检验）与“两校成绩差异检验”的案例，让学生实操后总结规律．“知识如何用？”——难以将t分布、F分布等分布与生产检验、质量控制等职业场景关联．处理措施：以“汽车零部件生产”为主线设计案例，体会贴合生产中“批量检测与小批抽检”的常见做法，将抽象的概念转化为职业场景中的不同需求．思政元素融入假设检验中两类错误是相互关联的，在保证推断过程严密的情况下，容许在一定范围内“犯错”.日常生活中也是如此，人非圣贤，孰能无过？要践行社会主义核心价值观——友善：包容、协作、宽恕、和气.在保证底线的前提下，宽容他人，严格要求自己但不苛责自己.章节介绍（数字人视频）：数据分析是揭示数据内在规律、提炼有效信息的核心环节.本章聚焦统计推断框架下的数据分析方法，重点探讨如何通过严谨的统计思维，从观测数据中得出具有科学依据的结论.统计推断是数据分析的核心手段，包含参数估计与假设检验两大支柱.假设检验的重要思想方法——在科学研究和日常工作中都难免会对某一件事情提出疑问，澄清疑问的过程往往是相对疑问做一假设（提出假设），然后在这个假设下去寻找相关证据.如果得到的证据和假设相矛盾，就拒绝这个假设（检验过程）.在实际数据分析中，许多现象的观测结果往往受到一个或多个自变量的影响.例如，产品质量可能与生产温度相关，作物产量可能受施肥量影响.针对这类数据，回归分析与方差分析提供了有效的分析工具——二者均以参数估计与假设检验为理论支撑，前者侧重于揭示变量间的数量依存关系，后者则专注于判断不同组别间的差异是否具有统计显著性.本章将重点讨论单自变量情形下的基础方法，即一元回归分析与单因素方差分析.通过本章的学习，读者将建立起从数据到结论的完整分析逻辑，掌握参数检验的实施步骤，以及运用回归与方差分析处理实际问题的基本技能，为更复杂的多变量数据分析与模型构建铺平道路.[情景与案例]引例某校园创业团队宣称，他们开发的线上学习打卡小程序，能让坚持使用的同学“学期内专业课程平均提分超15分”.小宇同学为提升成绩的期待，使用了该小程序.但一学期下来，小宇3门专业课成绩并没提分，小宇觉得可能是自己没严格按要求打卡，于是拉着同样用小程序的4位室友，统计大家专业课提分情况，发现5人都没达到“平均提分超15分”.此时，小宇该如何判断创业团队的宣称是否可信？学生在学习通观看.教学环节主要教学内容学生活动安排反转课堂，帮助学生绘制知识线（共10分钟）知识点1：假设检验的基本思想教师提出课前预学引例问题：小宇该如何判断创业团队的宣称是否可信？理由是什么？学生可能会回答：小程序能让坚持使用同学平均提分超15分”的宣传不可信.依据5人都未达到“平均提分超15分”的结果来判断的.教师引导学生分析判断过程：创业团队声称效果显著（平均提分超15分），小宇先假设该宣称成立（即假定“坚持使用小程序，专业课平均提分超15分”），接着通过自己和室友的样本数据（5人提分情况）检验该假设.小宇判断创业团队的宣称不成立，这一过程就是假设检验的过程.其实小宇是一个能够理性辨别信息，有严谨分析能力的大学生.用概率知识深入剖析：假设单次（对应一人使用）达到“提分超15分”的概率为0.7（可理解为团队宣称的有效比例），那么“连续5人使用都未提分超15分”的概率为.这个概率很小，约千分之二点四，意味着1000次类似抽样里，才可能出现2-3次“5人都未达标”的情况.而小宇和室友恰好碰到了，小概率事件如果仅进行一次试验，基本是不会发生的，若发生，就高度怀疑原假设的正确性.而这就是假设检验的基本思想.综上，假设检验的基本思想可概括为：首先，针对关注的总体特征提出某种假设，假定提出的假设是正确的；然后，从待检验总体中抽取一个随机样本并获取数据；最后，借样本信息（一般利用检验统计量），检验这个小概率事件是否发生.若一次试验中小概率事件发生了，就怀疑原假设的正确性，从而拒绝原来的假设；若未发生，暂认可原假设.值得注意的是小概率事件是指单次试验发生可能性极低，但非绝对不可能，比如极端情况.学生回答是否可信，理由是什么？新课(40分钟)知识点2：假设检验的基本概念知识点3：正态总体均值的检验知识点4：两个正态总体均值的检验实操(30分钟)教师：通过一个具体案例（第五章例5.1）来介绍假设检验的方法步骤及一些基本概念.[情景与案例]例7.1有一封装罐装可乐的生产流水线,每罐的标准容积规定为350毫升.质检员每天都要检验可乐的容积是否合格,已知每罐的容积服从正态分布,且生产比较稳定时,其标准差毫升.某日上班后,质检员每隔半小时从生产线上取一罐,共抽测了10罐,测得容积(单位为毫升)如下:351354356357354352357358350355试问生产线工作是否正常?假设检验的步骤是一个“三步曲”.第一步，建立两个完全对立的假设：原假设（零假设）H0，备择假设（对立假设）H1.那么什么是原假设和备择假设.1.原假设和备择假设在假设检验问题中，把要检验的假设称为原假设(零假设或基本假设)，把原假设的对立面称为备择假设或对立假设,记为.决定谁是原假设，依赖于立场、惯例、方便性.选择的原则一般考虑以下三种情况：（1）保护原假设.如果错误地拒绝假设A比错误地拒绝假设B带来更严重的后果——A选作原假设！例如：假设A:新药有某种毒副作用，假设B:新药无某种毒副作用.显然，“有毒副作用”错误的当成“无毒副作用”，比“无毒副作用”错误的当成“有毒副作用”带来的后果更严重，所以此时原假设应是A选作原假设.（2）原假设为维持现状.为解释某些现象或效果的存在性，原假设常取“无效果”、“无改进”、“无差异”等，拒绝原假设表示有较强的理由支持备择假设.（3）原假设取简单假设.只有一个参数的假设称为简单假设，如果只有一个假设是简单假设将其取为原假设（例如例7.1就是这种情况）.在例7.1中，建立假设检验:(7-1)形如(7-1)式的备择假设,表示可能大于,也可能小于,称为双侧(边)备择假设.形如(7-1)式的假设检验称为双侧(边)假设检验.有了假设之后，如何检验假设？针对假设，给出检验方法，然后对假设进行判断.判断的方法有两种：临界值法、P值法.假设检验的过程“三步曲”的第二步：给出检验统计量，并确定拒绝域.2.检验统计量检验统计量是一个衡量样本数据与原假设预测值之间差异的数值.例如，在例7.1中，已知测得的10个样本观测值为351，354，356，357，354，352，357，358，350，355，要检验正态总体的均值，由于样本均值是总体均值的无偏估计量，所以我们自然会想到要用作为检验统计量，一般我们常取其标准化形式作为检验统计量.教师：你还记得有哪些常用统计量吗？,.3.显著性水平由于样本的随机性，任一检验规则在应用时，都有可能发生错误，介绍两类错误，当假设正确时,小概率事件也有可能发生,此时我们会拒绝假设,因而犯了“弃真”的错误,称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率,即P{拒绝|为真}=.反之,若假设不正确,但一次抽样检验结果,未发生不合理结果,这时我们会接受,因而犯了“取伪”的错误,称此为第二类错误.记为犯第二类错误的概率,即P{接受|不真}=.显著性检验的任务是依据样本观测值判断原假设是否成立：如果样本观测值与原假设有显著性差异，就拒绝，并称检验显著；否则无法拒绝，并称检验不显著.在假设检验中，称犯第一类错误的概率为显著性水平，即“小概率事件”发生的概率，显著性水平的大小应根据研究问题所需的精度而定.一般可取，有时候也取0.10，0.01.教师：假设检验中两类错误是相互关联的，在保证推断过程严密的情况下，容许在一定范围内“犯错”.日常生活中也是如此，人非圣贤，孰能无过？要践行社会主义核心价值观——友善：包容、协作、宽恕、和气.在保证底线的前提下，宽容他人，严格要求自己但不苛责自己.4.拒绝域使原假设被拒绝时（也就是小概率事件发生），那些样本值所形成的的区域称为拒绝域，拒绝域的边界值称为临界值，而拒绝域的补集称为接受域.根据以上基本概念，可进行假设检验的过程“三步曲”的第三步：根据给定的显著性水平和统计量的分布确定临界值——临界值法，再根据样本得出结论.在例7.1中，已经选取检验统计量，对给定的显著性水平，可以在表中查到分位点的值，使得，也就是说“”是一个小概率事件，故我们可以取拒绝域为（如图7-1），如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝；否则，不能拒绝.（图7-1）以上是检验方法用临界值法，对假设进行判断.除此之外，还有一种判断的方法：值法.如用值法，以上假设检验的过程“三步曲”的第三步则是：计算最小显著水平——值，并比较值与显著性水平，得出结论.定义7.1由检验统计量的样本观测值得出的原假设可被拒绝的最小显著性水平称为假设检验问题的值.值法和临界值法是等价的，值与显著性水平的关系如下：（1）若，等价于样本落在拒绝域内，因此，拒绝原假设，称检验结果在水平下是统计显著的.（2）若，等价于样本不落在拒绝域内，因此，接受原假设，称检验结果在水平下是统计不显著的.教师承上启下：通过一个案例，我们已经初步介绍了假设检验的一些概念和基本方法步骤.鉴于正态总体是统计应用中最为常见的总体,下面，我们将首先分别讨论单正态总体与双正态总体的参数假设检验对于单个正态总体来说，其参数无非是两个：均值和方差.1.正态总体均值的检验（1）单个正态总体，已知，关于的假设检验设总体,其中总体方差已知，是取自总体X的一个样本,为样本均值.检验假设.其中为已知常数.当为真时,选择作为检验统计量记其观察值为u.相应的检验法称为u检验法.对于给定的显著性水平,查标准正态分布表得,使由此即得拒绝的区域（称为拒绝域）为.即拒绝域为.根据一次抽样后得到的样本观察值计算出U的观察值u,若,则拒绝原假设,即认为总体均值与有显著差异;若,则接受原假设,即认为总体均值与无显著差异.我们也可以对值进行计算.当，拒绝原假设，称检验结果在水平下是统计显著的；当，接受原假设.[情景与案例]例7.2某食品厂的自动灌装机用于灌装净含量500ml的瓶装矿泉水，根据长期生产数据，该灌装机的实际灌装量服从正态分布.为检验灌装机工作是否正常（即灌装量是否稳定在标准值），质检人员随机抽取9瓶产品，测得净含量（ml）数据如下：

499.25,500.01,499.53,499.48,500.82,499.12,498.52,499.11,498.87.

若取显著性水平，问：这台灌装机的工作是否正常？分析：所谓灌装机工作正常，即灌装矿泉水的净含量期望值应为500ml.若均值过高，会增加生产成本；若均值过低，则不符合产品标准，损害消费者权益.因此需检验总体均值是否成立，由于大于或小于500ml均不符合要求，故提出原假设和备择假设，其中，这是一个双边假设检验.解：按照假设检验的过程“三步曲”，提出假设，，其中，选择检验统计量给定显著性水平，有，查正态分布表（附件2）得，从而得到拒绝域为，将样本数据，代入计算可得，这表明得值落在拒绝域中，故拒绝，则可认为这台灌装机的工作不正常.教师出题：在上述例7.2中，假设仅抽样前5瓶数据：

499.25,500.01,499.53,499.48,500.82.

此时在显著性水平下判断灌装机工作是否正常？解：前面与原解答逻辑一致，在将样本数据代入中，若抽样数据仅为5个，此时代入计算可得，这表明得值未落在拒绝域中，故无法拒绝，亦即现有样本数据无法认为灌装机工作不正常.教师提问：对于同一问题，样本数据不同可能导致结论不同.这是为什么？引导学生回答：5个样本数据得出无法拒绝，并不意味着直接接受，主要原因是样本量偏少.当样本量增加到9个时，结论的可靠性更高.所以提醒我们抽样检测时不能图省事，抽样过少，导致检验出错.（2）单个正态总体，未知，关于的假设检验[情景与案例]例7.3可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失，请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分．10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为2.0,0.4,0.7,2.0,-0.4,2.2,-1.3,1.2,1.1,2.3问：这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢？设总体服从正态分布，此时只有采集到得数据，并不知道总体得方差，即我们要讨论得问题是单个正态总体，未知的情况．教师引导学生分析：设总体,其中总体方差未知，是取自X的一个样本,与分别为样本均值与样本方差.检验假设.其中为已知常数.当为真时,选择检验统计量记其观察值为t.相应的检验法称为t检验法.因为是的无偏估计量,是的无偏估计量,对于给定的显著性水平,查分布表得使由此即得拒绝域为.即根据一次抽样后得到的样本观察值计算出T的观察值t,若则拒绝原假设,即认为总体均值与有显著差异;若则接受原假设,即认为总体均值与无显著差异.（如图7-2）（图7-2）教师总结：在方差已知和方差未知两种情况下，对均值的检验的区别在于：一是检验统计量中将换为；二是正态分布变为分布，查分布表（书上附件可查，每本书基本都有）接下来，我们来解例7.3，先提出假设：（甜度没有损失），（甜度有损失）.计算统计量的值，由样本得出，，.自由度为9的分布，如果显著性水平取，查t分布表得单侧临界值，，说明落在拒绝域内，有充分的理由拒绝原假设.这里表示的意义是，显著性水平取0.05，表示至少有95%的把握来拒绝原假设，即数据提供了足够证据说明可乐贮藏后甜度有损失.（3）两个正态总体均值的检验[情景与案例]例7.4为落实教育公平政策，某省对乡村振兴重点帮扶县的中学（甲校）与城区示范中学（乙校）开展跨区域教育帮扶.经三年帮扶后，两校学生的国家义务教育质量监测核心课程成绩分别服从正态分布~,~,现从两校随机抽取36名学生的成绩，计算得平均成绩分别为72分和78分.在显著性水平下，试判断教育帮扶政策实施后，两校学生的该核心课程平均成绩是否存在显著性差异，以此评估帮扶工作的阶段性成效.在实际工作中常常要对两个正态总体的参数进行假设检验.与单正态总体的参数假设检验不同的是，这里所关心的不是逐一对每个参数的值作假设检验，而是着重考虑两个总体之间的差异，即两个总体的均值是否相等.设~,~,为取自总体的一个样本,为取自总体的一个样本,并且两个样本相互独立,记与分别为样本与的均值,与分别为与的方差.设方差是已知参数，检验假设为.当成立时,可选择统计量于是用检验法，对显著性水平,查正态分布表（附件2）可得临界值，使从而得到的拒绝域接下来，我们来解例7.4，先提出假设：（两校平均成绩无显著性差异），（两校平均成绩有显著性差异），由，得拒绝域.由已知数据~,~,可得到样本容量，，，