河南开封2025-2026学年下学期高三数学3月开学考试卷（含答案）

绝密★启用前2025~2026学年度第二学期高三入学检测数学试题考试时间:120分钟满分:150分注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1.已知集合A=x∣x2−2x−3≤0A.−∞,−2B.(−∞,−2]C.2.复数z=i2+iA.3B.5C.−1+3.已知非零向量a,b,c,满足a≠b,则a⋅A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知实数a∈R,则“∀x>0,xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数fx是偶函数，fx+4=−fx，A.6B.3C.0D.-66.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x年的生产利润为y(单位:亿元)，现统计前7年的数据为1,y1,2,y2,⋯,7,y7，根据该组数据可得y关于xA.10.8亿元B.10.3亿元C.6.3亿元D.6.8亿元7.下列大小关系正确的是()A.0.994.5>C.cos−23π8.设抛物线T:y2=4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，AF=4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45∘得到直线l，且直线l与抛物线交于A.32−163B.32−二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为A.bB.a2+bC.若b=7D.cosBcosA10.已知数列an的前n项和为Sn=A.若a5=S5B.当k>0时,SnC.数列an是公差为2kD.若数列Sn是单调递增数列,则11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线(CassinniOcal).在平面直角坐标系中,设定点为F1−2,0,F22,0,点OA.点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形B.点P的横坐标的取值范围是−C.PF1+D.△F1P三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线Γ:x23−y213.若x>0,y>0,log214.已知a>b>c,若1a−四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知曲线fx(1)若fx在点1,1−3m处的切线与直线3x−(2)若曲线fx与曲线gx=12x16.(15分)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=3，点E，F分别是(1)证明:AF⊥平面PBC(2)若点M为线段AD中点，求证:PM//平面AEF(3)求二面角D−PE17.(15分)第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关.其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节.该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组:硬件组2人H1,H2、算法组2人A1,A2、数据组2人(1)求事件“硬件组的H1和算法组的A1同时被抽中”(2)求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率；(3)已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过.现H1，A1，D1被选中组成答辩代表小组,三人各自答辩通过的概率分别为18.(17分)若各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若正项等比数列bn，满足b2=2,2(3)对于(2)中的Tn，若对任意的n∈N∗，不等式λ⋅−19.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的方程；(2)过(1,0)的直线l与椭圆C相交于两点M,N，设MN的中点为T(i)若直线l的斜率为1,求MN;(ii)若点P2,0,判断TP与2025~2026学年度第二学期高三入学检测数学试题参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。题号12345678答案ABBCDCDA二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABDCDACD三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.25.13.2四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解答】解:(1)根据题意可得fx=x3−3m又fx在点1,1−3m处的切线与直线所以f′1=3−6m(2)由题意，f′x=3x2设公共点为x0,y0,由于曲线fx与曲线gx所以3x02−6mx又y0=x03−所以108m3=112m16.【解答】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∵AB⊥BC,AB∩又AF⊂平面PAB,∴∵PA=AB,F是PB的中点，∴PB⊥AF，又BC⋂PB(2)证明:连接BM交AE于N，连接PM、FN∵四边形ABCD是矩形,∴AD//BC,且又M、E分别为AD、BC的中点,∴四边形AMEB∴N为BM中点,又∵F是PB的中点∴PM//FN,∵PM⊄面AEF,NF⊂(3)解:由题意，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:则A0∴DE=设平面PDE的法向量为n=x,y,z,则令x=2,得y同理,得m=0∴二面角D−PE−C的余弦值为17.【解答】解:(1)根据题意，现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，则Ω=H1H2A1,H1H2A2,H1H2D1,H1H2D2,H1A1A2(2)根据题意，记“硬件组恰有1人被抽中”为事件Y，Y=H1A1A(3)根据题意，记H1,A1,D1答辩通过分别为事件H,A,D，则PH=12,18.【解答】解:(1)由2Sn=an+即有4a1=a1+12,得a1=1,由化为an+1+anan+1−an=所以an是公差为2的等差数列.所以an(2)设bn的公比为qq>0，因为2b3即2+q=q2,解得q=−1(舍)或q=2所以Tn=2Tn两式相减得:−Tn=1+2(3)由(2)得不等式λ⋅−2n+当n为奇数时,λ<n−32+所以λ<g令2−92n>0,得n+1≥4,所以n≥3时,gn+2−即n≥3且取奇数时,gn单调递增,此时gnmin=g3=3,即λ<314n=2时,gn+2<n≥4时,gn+2>gn,即此时gnmin=g4=134,所以综上所述，实数λ的取值范围为−13419.【解答】解:(1)设椭圆C的半焦距为c,则依题意有e=ca=221a2+4b2=(2)(i)由题意可知直线l的方程为: