2026年高考数学复习讲练测答题模板07 比较函数值大小关系有关的5类核心题型（两类经典的超越不等式、泰勒不等式、构造函数、不等式放缩合集、帕德近似）（原卷版）

答题模板07比较函数值大小关系有关的5类核心题型（两类经典的超越不等式、泰勒不等式、构造函数、不等式放缩合集、帕德近似）目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一两类经典的超越不等式的应用及解题技巧方法二泰勒不等式的应用及解题技巧方法三构造函数比较函数值大小关系解题技巧方法四不等式放缩的应用及解题技巧方法五帕德近似的应用及解题技巧第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】两类经典的超越不等式【题型02】泰勒不等式【题型03】构造函数【题型04】不等式放缩【题型05】帕德近似第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）比较函数值大小的问题已从基础单调性判断，演变为融合函数性质、导数工具、不等式放缩与高等数学近似方法的综合思维载体。试题常以指数、对数、三角函数等超越函数比较为核心，通过设计精巧的数值或抽象关系，考查学生能否灵活运用单调性分析、构造函数、不等式链放缩、泰勒展开与帕德逼近等方法进行严谨推理。这类问题集中体现了数学中“近似与精确”“局部与整体”的辩证思维，是区分考生数学素养与思维深度的关键题型之一。核心考查三大方向：一是经典不等式的识别与灵活应用，如，及其变形的主动构造；二是利用导数工具构造函数，通过单调性、极值等性质进行系统化比较；三是高阶数学工具的适度迁移，如泰勒展开在估计函数值时的“以多项式代超越”思想，以及帕德近似在分数阶逼近中的巧妙应用。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）学生常见误区：面对复杂超越函数比较时，缺乏系统策略，往往盲目代入数值计算而忽略函数性质分析；对经典不等式记忆机械，不能根据题目结构进行变形与反向应用；构造函数时目标不明确，导致函数复杂或无法判断单调性；对泰勒展开、帕德近似等高等数学方法只闻其名，不理解其“用多项式逼近”的几何本质与误差控制思想。这暴露出在不等式链的构建能力、结构化的变形技巧、以及高等数学思想向中学问题的转化能力等方面存在综合短板。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记比较函数值大小关系有关的5类核心题型（两类经典的超越不等式、泰勒不等式、构造函数、不等式放缩合集、帕德近似）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、二级结论两类经典超越不等式，，，泰勒不等式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．不等式放缩，，，，，，放缩程度综合，帕德近似帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，技法归纳方法一两类经典的超越不等式的应用及解题技巧方法概述：在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具：①指数型：ex≥x②对数型：lnx≤x它们的变形形式也经常使用，如ex第一步：观察结构，识别类型观察待比较的表达式或不等式，识别是否含有ex第二步：变形转化，凑出标准形式将表达式通过代数变形（如加减常数、乘除因子、换元等）转化为经典不等式的标准形式。例如，比较a=e0.1与b=1.1,可看作比较第三步：应用不等式进行放缩直接套用经典不等式，注意等号成立条件和放缩方向。例如，由ex≥x+1得e第四步：结合放缩结果得出结论将放缩得到的不等式链进行整理，结合题目要求比较的大小或范围，得出最终结论。注意多次放缩时需保持方向一致。第五步：验证等号与边界若题目涉及等号成立或参数范围边界，需验证经典不等式取等条件是否满足，确保答案的精确性。例题1已知,则的大小关系为()A.B.C.D.例题2已知，，，则（

）A． B． C． D．方法二泰勒不等式的应用及解题技巧方法概述：泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似。在比较数值大小时，利用常见函数（如ex根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为x=0或x=1)和对应的函数。例如，比较ln1.02可用ln1+步骤说明与核心技巧第一步：确定展开点与展开函数根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为x=0

或

x=1）和对应的函数。例如，比较

ln1.02

可用

ln(1+x)

在

x=0

处展开。第二步：写出泰勒展开式熟记常用函数的泰勒展开式，间前文第三步：选取适当项数代入计算根据精度要求，取展开式的前若干项（通常2～4项）代入具体

x

值，计算近似值。项数不足可能导致误差过大，项数过多则计算繁琐。第四步：比较近似值得出结论将各数值的近似值进行比较，注意保留足够小数位数以确保比较的准确性。若近似值非常接近，可能需要增加项数或结合其他方法验证。例题3在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，.通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．例题4已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．例题5已知，，则（

）A． B． C． D．方法三构造函数比较函数值大小关系解题技巧方法概述：通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小。该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质。常见构造方式有：作差构造hx=f第一步：识别结构，确定构造方向分析待比较的表达式，观察其是否可视为同一函数在不同点的函数值，或通过变形化为同一函数。例如，比较a=0.1e0.1与b=1第二步：构造辅助函数根据上一步的分析，构造出明确的函数fx,使得待比较的数满足a第三步：求导分析函数性质对fx第四步：利用函数性质比较大小利用单调性：若fx在包含x1,x2第五步：综合结论将比较结果整合，得出原题中数的大小关系。若构造了多个函数，需注意推理链的完整性例题6设，则（

）A． B． C． D．例题7已知，试比较大小关系（

）A． B． C． D．例题8若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（

）.A． B． C． D．方法四不等式放缩的应用及解题技巧方法概述：不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式。除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如ex第一步：观察目标，联想常见放缩式分析待处理式子的结构（指数、对数、分式、根式等），联想与之相关的已知不等式或放缩链。第二步：选择合适的不等式进行放缩根据放缩方向（需放大还是缩小），选取一个或多个不等式进行尝试。注意等号成立条件，确保放缩后的式子更简单且可比。第三步：执行放缩，化简式子将选定的不等式代入原式，进行代数化简，得到放缩后的表达式。有时需连续放缩，形成不等式链。第四步：验证放缩的合理性检查放缩是否过度（导致不等号方向改变或无法比较）或不足（仍难以比较）。可通过代入特殊值或结合图像初步检验。第五步：得出结论或进一步调整若放缩后能直接比较，则得出结论；若不能，则调整放缩策略，尝试其他不等式或组合。多次放缩时需确保每一步方向一致。例题9设，则（

）A． B． C． D．例题10已知，则（

）A． B． C． D．方法五帕德近似的应用及解题技巧方法概述：帕德近似是一种有理函数逼近方法，用有理分式来近似函数值。相比泰勒多项式，帕德近似往往在相同阶数下精度更高，尤其适用于函数值比较问题。需要记忆常见函数（如ex第一步：识别适用情形当待比较数值涉及指数、对数、三角函数等，且数值接近，泰勒近似计算复杂时，可考虑帕德近似。第二步：回忆或推导帕德近似式熟记常用函数的帕德近似式，间前文第三步：代入具体值计算近似值将具体的

x

值代入帕德近似式，计算有理分式的值。注意近似式的适用区间（通常为

x

较小的情况）。第四步：比较近似值比较各数值的帕德近似值，得出大小关系。由于帕德近似精度较高，通常可直接作为比较依据。第五步：结合误差分析（可选）若结果临界或需要严格证明，可结合帕德近似的误差公式或与其他方法（如泰勒余项）对比，确保结论可靠例题11已知，，，则（

）A． B． C． D．例题12已知，，，则（

）A． B． C． D．例题13帕德近似（Padeapproximation）是法国数学家帕德（Pade）于l9世纪末提出的，其基本思想是将一个给定的函数表示成两个多项式之比的形式，具体是：给定两个正整数m，n，函数在处的帕德近似为，其中，，，…，（为的导数）．已知函数在处的阶帕德近似为．(1)求实数a，b的值；(2)证明：当时，；并比较与的大小．模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01两类经典的超越不等式（共4题）1．设，，，则（

）A． B． C． D．2．若，，，则（

）A． B． C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．题型02泰勒不等式（共5题）5．证明不等式：．6．证明：7．若函数，则．8．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：；(2)设，证明：；9．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式．比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：(1)写出在处的泰勒展开式；(2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；(3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据）题型03构造函数（共4题）10．已知，则的大小为（

）A． B． C． D．11．已知，，则与之间的大小关系是（

）A． B． C． D．无法比较12．设，比较的大小关系（

）A． B．bC． D．13．，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．题型04不等式放缩（共5题）14．已知，，，则（

）A． B． C． D．15．已知，，，则（

）A． B． C． D．16．已知，设，，，则（

）A． B． C． D．17．设，，，则（

）A． B．C． D．18．设，,，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．题型05帕德近似（共3题）19．已知，，，则（

）A． B． C． D．20．已知，，，则（

）A． B． C． D．21．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到(2)在（1）的条件下：①求证：；②若恒成立，求实数的取值范围.模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量20题1．若，，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，，则（

）A． B．C． D．3．设，，，则（

）A． B． C． D．4．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．5．设，，，则（

）A． B． C． D．6．已知，，．则（

）A． B． C． D．7．设，则（

）A． B． C． D．8．若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．9．已知，，，则（

）A． B． C． D．10．已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．11．已知则（

）A． B． C． D．12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．13．若，，，则（

）A． B． C． D．14．证明不等式：．15．已知函数．(1)证明：曲线是