2026年高考数学复习讲练测专题11 直线与圆（易错专练）（全国）（解析版）

专题11直线与圆

目录

第一部分易错点剖析

易错典题避错攻略举一反三

易错点1忽略斜率公式的应用条件

易错点2求直线方程忽略截距为零

易错点3判断直线的位置关系考虑不全面

易错点4忽略圆的一般方程的限制条件

易错点5处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

易错点6两圆相切忽略内切、外切的区分

易错点7曲线方程变形不等价

第二部分易错题闯关

易错点1忽略斜率公式的应用条件

易错典题

【例1】（25-26高三上·山西·月考）已知两点A2,1，Bm,4，当m23,233时，直线AB的

倾斜角的取值范围是.

π2π

【答案】,

63

【解析】设直线的倾斜角为，则0,π.

因为A2,1，Bm,4，

π

当m2时，；（易错点）

2

要注意考虑斜率不存在的情形

当m2时，3m20，或0m233.

3

当3m20时，直线的斜率k3，

m2

π2π

所以tan3，得,；

23

33

当0m233时，直线的斜率k，

m23

3ππ

所以tan，得,.

362

π2πππππ2π

所以,,,.

2362263

【错因分析】在解题时容易忽略对m=2和m2的讨论而出错.

y2－y1

知识混淆：把直线斜率与倾斜角、一次函数解析式混为一谈，只记k=tanα和k＝公式，不区分适用

x2－x1

场景，强行对垂直x轴、无斜率的直线用斜率公式，导致列式错误、定义域漏限。

概念模糊：不清楚斜率存在的前提：倾斜角α=90，两点横坐标x1=x2。做题时只套公式，不检验分母是否

∘

为0，默认所有直线都有斜率，漏掉直线垂直x轴的情况，造成漏解或范围错误。

望文生义：看到“直线”“两点”就直接用斜率公式，不看题目条件：忽略“与x轴垂直”“斜率不存在”“线段

而非直线”等隐含限制，把“有斜率”当成必然结论，导致定义域、范围、位置关系判断失误。

避错攻略

【方法总结】当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于x轴

（平行于y轴或与y轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

【知识链接】1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l

的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于x轴正方向的倾斜程度.

②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.

2、直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾

斜角是π的直线没有斜率．

2

y2－y1

（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

x2－x1

3.倾斜角与斜率k的关系

直线情况平行于x轴由左向右上垂直于x轴由左向右下

升降

09090180

的大小0°90

k的范围0k0不存在k0

随增大而随增大而

k的增减性

增大增大

【解读】斜率和倾斜角的特点

①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；

②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，

其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；

③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.

4.直线斜率与直线方向向量

y

（1）若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为x,y，则k.

x

（2）若直线l的斜率为k且直线过两点P2(x2,y2),P1(x1,y1)，它的一个方向向量的坐标为

yy

，则21

P1P2x2x1,y2y1k.

x2x1

举一反三

11

【变式】（25-26高三上·重庆·月考）若ab0，则过点P0,与Q,0的直线P、Q的倾斜角的

1-1ba

取值范围是.

π

【答案】,π

2

1

0

a

【解析】kb0.

PQ1

0b

a

π

因为倾斜角的取值范围为[0,p)，所以直线P、Q的倾斜角的取值范围是,π.

2

【变式1-2】（24-25高三上·山西·阶段练习）若倾斜角为45的直线l经过两点A2,m，Bm,4，则m

的值为（）

A．-2B．1C．2D．3

【答案】D

m4

【解析】经过A2,m，Bm,4的直线l的斜率k，又直线l的倾斜角为45，

2m

m4

所以tan451，解得m3.

2m

故选：D.

【变式1-3】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点Am,m1,Bm,2m,C4,m,D1,0，且

直线与直线垂直，则m的值为（）

A�．�或0𝐶B．0或7C．0D．7

【答案】−7B

【解析】当m0时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0,

此时直线的方程为�，�直线的方程为y0�，�故ABCD;

𝐴2m�=0m1�m�1m0m

当m0时，k，k，

ABmm2mCD413

m1m

则kk1，解得m7，

ABCD2m3

综上，m0或7.

故选：B.

易错点2求直线方程忽略截距为零

易错典题

【例2】（25-26高三上·江西赣州·期末）经过点M6,3且在两坐标轴上截距相等的直线是（）

A．xy90B．xy30

C．xy90或x2y0D．xy30或x2y0

【答案】C

【解析】当直线经过原点时，此时直线方程可设为ykx，（易错点）

此时直线的截距均为0，故不能通过设截距式方程求得

11

代入点M6,3，解得k，所以直线方程为yx即x2y0；

22

xy

当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为1，

aa

代入点M6,3，解得a9，所以直线方程为xy90.

综上，经过点M6,3且在两坐标轴上截距相等的直线是xy90或x2y0.

故选：C.

【错因分析】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

xy

知识混淆：把截距式1当成万能直线方程，只记得形式却忽略前提：a，b均不为0，遇到过原点的

ab

直线，硬套截距式导致方程写不出，把截距为0的直线排除在外，造成漏解。

概念模糊：对截距概念不清，以为截距是“距离”必须为正，忽略截距可以为0。看到“截距相等或成

比例”就默认截距非零，不考虑直线过原点、横纵截距都为0的情况，漏掉最常见的一类直线。

望文生义：看到“截距”就默认有非零截距，不仔细审题。题目只说“在坐标轴上的截距”，没说不为

0，却自动排除截距为0的情形，直接设截距式而不检验，导致过原点的直线方程漏写，答案不完整。

.

避错攻略

【方法总结】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．

【知识链接】直线方程的五种形式

形式几何条件方程适用范围

点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线

斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线

与轴、轴均不垂直的

y－y1x－x1xy

两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)＝

y2－y1x2－x1直线

xy不含垂直于坐标轴和过原

截距式横截距a，纵截距b＋＝1

ab点的直线

Ax＋By＋C＝0平面直角坐标系内所有直

一般式

（A2＋B2≠0）线

举一反三

【变式1-1】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆(x2)2y22相切，且在两坐标轴上截距相等的直

线共有（）

A．2条B．3条C．4条D．6条

【答案】B

【解析】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以

①当直线不经过原点时，设截距为a，a0.

a0

则直线过点a,0,0,a，那么直线斜率为1.

0a

所以直线方程为xya0.

2

因为该直线与圆x2y22相切，所以圆心2,0到直线的距离等于圆的半径2.

20a

即2，化简得a22，求解得a4或a0（舍去）.

11

此情况下有一条直线符合题意，直线方程为xy40.

②当直线经过原点时，设直线方程为ykx，即kx-y=0.

2

因为直线与圆x2y22相切，所以圆心2,0到直线的距离等于圆的半径2.

2k

即2，化简得k210，求解得k1.

k21

此情况下有两条直线符合题意，直线方程为yx,yx.

综上，共有3条直线符合题目要求.

故选：B.

【变式2-2】（25-26高三上·天津·月考）直线l过点2,3，且直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相

等，则直线l的方程为.

【答案】3x2y0或xy10或xy50

【解析】①若直线过原点，设直线方程为ykx，

3

因为直线l过点2,3，所以3k2，解得k，

2

3

所以直线l的方程为yx，即3x2y0；

2

xy

②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线l的方程为1，

aa

23

代入点2,3，得1，解得a1，此时直线l的方程为xy10；

aa

xy

③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线l的方程为1，

aa

23

代入点2,3，得1，解得a5，此时直线l的方程为xy50；

aa

综上所述：直线l的方程为3x2y0或xy10或xy50.

故答案为：3x2y0或xy10或xy50.

【变式2-3】（24-25高三上·江苏无锡·月考）过点A1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该

直线的一般式方程为．

【答案】4xy0或xy30

xy

【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为ykx或1，

aa

14

因为直线过点A1,4可得4k或1，可得a3.

aa

所以直线方程为4xy0或xy30.

故答案为：4xy0或xy30

易错点3判断直线的位置关系考虑不全面

易错典题

【例3】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知直线l1:mxy40与l2:xmy40平行，则实数m的

值为（）

A．1B．-1C．1D．2

【答案】A

【解析】由题意m21，m1，

m1时，l1方程是xy40，l2的方程是xy40，平行；

m1时，l1方程可化为xy40，l2方程化为xy40，两直线重合，舍去，（易错点）

忽视对m取值讨论，从而未剔除两直线重合这一情形出错

故选：A.

【错因分析】本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.

知识混淆：混淆平行与重合的判定条件，只记斜率相等即平行，忽略截距是否相同。把重合直线误判为平

行，未用完整等价条件判断，导致位置关系归类错误。

概念模糊：对直线位置关系概念不清，只知相交、平行，忽略重合是独立位置关系。不理解重合的等价条

件，缺少检验步骤，造成分类不完整、答案错误。

望文生义：看到“平行、垂直”等关键词就直接判断，不细读条件。默认两直线不重合，不验证系数比例关

系，漏掉重合情况，导致位置关系判断片面。

避错攻略

【方法总结】1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵

坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．

(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．

(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．

3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.

【知识链接】1.两条直线平行的判定

（1）对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

【解读】

l1l2k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合．

①k1∥＝⇔k2l1l2或l1与l2重合(斜率存①在)．②

②l1l2⇒k1＝∥k2或两条直线的斜率都不存在．

③（2）∥已⇒知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：

l1l2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

∥⇔

2.两条直线垂直关系的判定

对应l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜

关系则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2

图示

【解读】(1)l1l2k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．

(2)当直线l1l⊥2时⇔，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则

一定有l1l2⊥.

(3)当两条⊥直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜

率．

举一反三

2

【变式3-1】（多选）（25-26高三上·安徽·期中）已知直线l1:axy10，l2:xay10，aR，

则下列选项正确的是（）

π

A．l1的倾斜角的取值范围是0,

2

B．l2一定经过第一､四象限

C．若l1l2，则a0

D．若l1∥l2，则a1

【答案】ABD

【解析】对于A，设直线l1的倾斜角为，则0,π，

2π

由题设有直线l1的斜率为ka0，设tan0，故0,，故A正确；

2

对于B，直线l2:xay10过定点1,0，且该直线的斜率非零或不存在，

故l2一定经过第一､四象限，故B正确；

2

对于C，因为l1l2，故a11a0，故a0或a1，故C错误；

2

对于D，因为l1∥l2，故aa11，故a1，

此时l1:xy10，l2:xy10，l1,l2平行，故D正确.

故选：ABD.

【变式3-2】（多选）（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知直线l1:ax4y30,l2:xa3y20，

则下列说法正确的是（）

A．l1可能垂直于x轴

B．l2可能垂直于x轴

C．若a1，则l1∥l2

D．若l1∥l2，则a1

【答案】BC

【解析】对于A，因为直线l1:ax4y30，y的系数不为0，所以l1不垂直于x轴，A错误；

对于B，当a3时，x2，与x轴垂直，B正确；

对于C，当a1时，l1:x4y30,l2:x4y20.

1

因为直线l,l的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确；

124

对于D，因为l1//l2，所以aa34，解得a4或a1.

当a1时，由C选项知两直线是平行的；

当a4时，l1:4x4y30,l2:xy20，斜率均为1，且两直线不重合，所以两直线平行.

故l1//l2时a1或a4，D错误；

故选：BC.

【变式3-3】（多选）（25-26高三上·江苏·期末）已知直线l1:4x3y40，l2:mxy12m0mR，

则下列说法正确的有（）

A．若m1，则l1l2

7

B．若l//l，则直线l，l之间的距离为

12125

C．直线l2过定点2,1

1

D．若直线l2在两坐标轴的截距相等，则m1或m

2

【答案】BCD

4

【解析】对于A，直线l的斜率为，若m1，则直线l的斜率为1，

132

44

则11，所以l,l不垂直，故A错误；

3312

4

对于B，若l//l，所以可得m，则直线l:4x3y110，

1232

4117

由两平行直线距离公式可得d，故B正确；

32425

对于C，l2:mxy12m0可化为y1mx2，

所以直线l2恒过2,1，故C正确；

对于D，当m0直线l2与x轴无截距，不满足条件，

当m0，在两坐标轴的截距相等，分别令x0,y0，

2m12m1

可求出与y轴截距为2m1和x轴截距，即2m1

mm

1

解之可得m1或m，故D正确.

2

故选：BCD

易错点4忽略圆的一般方程的限制条件

易错典题

【例4】（25-26高三上·青海西宁·期末）点P1,2在圆x2y22x4yk20外，则k的取值范围

为（）

A．k<7B．k3C．3k7D．0k7

【答案】C

【解析】由题意可知：x2y22x4yk20表示圆，

可得：4164k20，解得k<7，（易错点）

要注意考虑方程表示圆的条件

又P1,2在圆外，所以1222242k20，得k3，

所以k的取值范围为3k7.

故选：C

【错因分析】本题容易忽略圆的一般方程x2y2DxEyF0的限制条件D2E24F0而出错.

知识混淆：混淆圆的一般方程x2y2DxEyF0与二元二次方程形式，只看方程结构，忽略必须

满足D2E24F0才表示圆，误将不满足条件的方程当作圆来求解，导致圆心、半径计算无意义。

概念模糊：对圆的一般方程概念不清，只记忆形式不理解本质，不清楚限制条件是方程表示圆的前提。解

题时直接求圆心半径，不验证D2E24F0，忽略方程可能不表示任何图形，造成结果错误。

望文生义：看到x2,y2系数相等且无xy项，就默认是圆，不看题目隐含条件。直接代入公式计算，无视限

制条件是否成立，漏掉对参数范围的讨论，出现无解或增解。

避错攻略

【方法总结】不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，

只有大于0时才表示圆．

【知识链接】1、圆的一般方程

一般地，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可以化为x2y22ax2bya2b2r20

在这个方程中，如果令D2a，E2b，Fa2b2r2，则这个方程就表示成

x2y2DxEyF0的形式，其中D，E，F都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，

DE122

其中,为圆心，DE4F为半径．

222

2、圆的一般方程的特点

（1）x2,y2项的系数相同且不等于0（x2和y2的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以

这个常数即可）；

（2）不含xy项；

（3）D2E24F0．

3、一般方程与标准方程关系

2222

22DEDE4F

把方程xyDxEyF0配方得xy，根据圆的标准方程可知：

224

22DEDE

（1）当DE4F0时，方程只有实数解x,y．它表示一个点,．

2222

（2）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

22DE122

（3）当DE4F0时，可以看出方程表示以,为圆心，DE4F为半径的圆．

222

4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点，和圆的一般方程22（22）则

Mx0,y0xyDxEyF0DE4F0

位置关系代数关系

点在圆上22

MAx0y0Dx0Ey0F0

点在圆内22

MAx0y0Dx0Ey0F0

点在圆外22

MAx0y0Dx0Ey0F0

5、方程x2y2DxEyF0表示圆的两种判断方法

（1）配方法：对形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察

是否表示圆．

（2）定义法：判断D2E24F是否大于零，确定它是否表示圆．

举一反三

5

【变式4-1】（25-26高三上·河北·期中）若关于x,y的方程x2y2mx2ym0有实数解，则实

4

数m的取值范围为（）

A．,14,B．,14,

C．1,4D．1,4

【答案】B

5

【解析】因为关于x,y的方程x2y2mx2ym0有实数解，

4

5

所以方程x2y2mx2ym0表示圆或点，

4

225

则m24m0，即m25m40，

4

解得m≤1或m4，

故选：B

【变式4-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点A1,1在圆x2y22x3ym0外，则实数m

的取值范围是（）

13

A．3,B．,

4

1313

C．,D．3,

44

【答案】D

2

222313

【解析】由圆xy2x3ym0，可得x1ym，

24

1313

可得m0，解得m，

44

2

2313

又由点A1,1在圆外，则(11)1m，解得m3，

24

1313

综上可得：3m，所以实数m的取值范围是3,.

44

故选：D.

【变式4-3】（25-26·河南·模拟预测）已知圆x2y22x2ya0截直线xy40所得弦的长度

小于6，则实数a的取值范围为（）

A．217,217B．217,2

C．15,D．15,6

【答案】D

22

【解析】因为圆x2y22x2ya0，可化为x1y12a，

则其圆心为1,1，半径为2a，且2a0，即a2，

114

圆心到直线xy40的距离为d22，

2

因为直线xy40与圆x2y22x2ya0相交，且所得弦的长度小于6，

2a22

所以，解得15a6，

22a86

综上，15a6，即a15,6.

故选：D.

易错点5处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

易错典题

【例5】（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2y22x2ay30，

M上存在两点关于直线xy10对称.

(1)求M的半径；

(2)过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2，求l的方程.

22

【解析】（1）圆M:x2y22x2ay30，即x1yaa22，

则圆心为M1,a，半径ra22，

因为M上存在两点关于直线xy10对称，所以点M1,a在直线xy10上，

所以1a10，解得a2，

所以M的半径r2；

22

（2）由（1）可得x1y22，圆心为M1,2，

因为过坐标原点O的直线l被M截得的弦长为2，所以圆心M1,2到直线的距离dr2121，

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x0，此时圆心M1,2到直线的距离d1，符合题意；（易错

点）

要注意考虑直线斜率不存在这一种情形，否则将漏解

k2

d13

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx，则2，解得k，

k214

3

所以直线l的方程为yx，即3x4y0；

4

综上可得直线l的方程为x0或3x4y0.

【错因分析】本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.

知识混淆:混淆斜率存在与不存在的直线方程形式，只会用点斜式y−y0​=k(x−x0​)，不会用x=x0​表示

垂直x轴的直线。把斜率存在当作默认前提，混淆适用范围，导致漏解。

概念模糊:对直线斜率概念理解不牢，不清楚倾斜角为90°时斜率不存在。解题时直接设点斜式，默认斜率

k一定存在，不分类讨论，漏掉垂直x轴的直线，位置关系判断不完整。

望文生义:看到“过定点的直线”就直接设点斜式，不看图形与题意，默认直线都有斜率。忽略直线与圆相

切、相交时可能垂直x轴，不检验斜率不存在的情况，造成答案缺失。

避错攻略

【方法总结】（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．

（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.

【知识链接】1、直线与圆的位置关系及判断

（1）三种位置关系：相交、相切、相离．

（2）两种判断方法：

＞相交

联立方程得方程组消去或Δ0

代数法xy

①――――――――――――――――→＝相切

得一元二次方程，Δ＝b2－4acΔ0⇔

＜相离

Δ0⇔

＜相交

圆心到直线的距离为dr⇔

几何法d

②――――――――――――→＝相切

半径为rdr⇔

＞相离

dr⇔

2、圆的切线与切线长⇔

（1）过圆上一点的圆的切线

2222

①过圆x＋y＝r上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r.

2222

②过圆(x－a)＋(y－b)＝r上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.

（2）过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜

率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.

（3）切线长

2222

①从圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，

22

切线长为x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F.

②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长

2ar

b的积，即b＝.

d

举一反三

【变式5-1】（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知圆C:(x2)2y29及点P(0,1)，过点P的直线与

圆交于A、B两点．

(1)若弦长AB42，求直线AB的方程；

(2)求ABC面积的最大值，并求此时弦长AB的值．

【解析△】（1）若直线AB斜率不存在，则AB:x0，此时|AB|25，不符题设，

由C:(x2)2y29，则圆心C(2,0)，半径为3，又AB42，

|AB|2

所以C(2,0)到直线AB的距离d91，

4

|12k|4

令直线AB:ykx1，则1，可得3k24k0，故k0或k，

1k23

所以直线AB的方程为y1或4x3y30；

（2）由（1）直线AB斜率不存在，有|AB|25，

1

又C(2,0)到直线AB的距离2，则S22525；

ABC2

若直线AB斜率存在，令AB:ykx1，

|12k|(12k)2

此时C(2,0)到直线AB的距离d，|AB|29d229，

1k21k2

1|12k|(12k)212k

所以，令t0，

SABCd|AB|92

21k21k1k2

t29t293

则St2(9t2)，当且仅当t，即k1或k7时等号成立，

ABC222

99

所以|AB|2932，此时最大SABC.

22

【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知在平面直角坐标系xOy中，A1,0,B5,8，点P满

足PAPB16，记点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)若经过点2,1的直线l1与C相交于点E,F，且EF23，求直线l1的方程；

(3)已知l2:x2y20.若直线l3经过点A且与C相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,l2与l3的交点为N，

证明：AMAN为定值，并求出该定值.

【解析】（1）解：设Px,y，因为点A1,0,B5,8且PAPB16，

所以x1x5yy816，即(x3)2(y4)24，

所以P的轨迹方程为(x3)2(y4)24.

（2）解：由（1）知C:(x3)2(y4)24，圆心为C(3,4)，半径为r2，

因为EF23，设圆心C到l的距离d，可得232r2d2，解得d1，

当l1斜率不存在时，l1方程：x2，此时d1，满足题意；

当l1斜率存在时，设l1方程：ykx21，即kxy2k10，

k3445

则d1，解得k，此时l1:yx.

k21333

45

综上可得，直线l的方程为x2或yx.

133

（3）解：当l3斜率不存在时，此时l3与圆C相切，不符合题意，

所以l3斜率存在，设直线l3的斜率为k，则l3:ykx1，且P(x1,y1),Q(x2,y2)

ykx1

联立方程组22，

x3y44

整理得k21x22k28k6xk28k210，

23

令Δ2k28k64(k21)k28k2100，解得k，

4

2k28k6k24k34k22k

且xx，所以M2,2，

12k21k1k1

ykx12k23k2k23k

又由，解得x,y，所以N,，

x2y202k12k12k12k1

4k24k22k33k

因为A,M,N均在直线l3上，且AM2,2,AN,

k1k12k12k1

2

4k234k22k3k6k1

所以AMANAMAN6.

k212k1k212k1k21

易错点6两圆相切忽略内切、外切的区分

易错典题

【例6】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知圆O:x2y21和圆C:(x3)2(y4)2r2(r0)，

则（）

A．两圆可能无公共点

B．若两圆相切，则r4

C．直线x=1可能为两圆的公切线