2026年高考数学复习讲练测专题08 数列的综合应用（北京专用）（原卷版）

专题08数列的综合应用

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01根据与关系求通项

题型02累加、��累乘��求通项

题型03观察法求通项

题型04递推式求周期性数列

题型05研究数列性质

题型06数列新定义

题型07倒序相加法求和

【解答题破译】

题型01数列分组求和

题型02数列裂项求和

题型03数列错位相减求和

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01根据与关系求通项

����

【例1-1】（2025·北京丰台·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a10,an12Snn，则a5（）

A．1B．0C．1D．2

2

【例1-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列an的前n项和为Snnn5，则a1，a5.

由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造

然后根据����化简。��−1

1、消得��到−�的�−1关=系�式�

2、消��得到��的关系式

3、根据��题目给��出的项求和公式或者求积公式，构造项后做差或作商，求通项。

注意：构造后，�，所以求出通项公式后，记�得+验1证首项是否满足通项公式。

��−1�≥2

x

【变式1-1】（25-26高二上·北京朝阳·月考）数列an的前n项和为Sn，点n,Sn在函数f(x)21的图

象上，则a5（）

A．4B．8C．16D．32

n1

【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）对于数列an，令Tna1a2a3a41an，给出下列四

个结论：

①若ann，则T20251013；

②若Tnn，则a20251；

③若对任意的nN，都有TnM，则有an1an2M；

④存在各项均为整数的数列an，使得TnTn1对任意的nN都成立．

其中所有正确结论的序号是．

题型02累加、累乘求通项

1

【例2-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）设数列an满足a11，且an1ann1，则数列的前8

an

项的和为.

*

【例2-2】（2024·北京西城·一模）在数列an中，a12,a23.数列bn满足bnan1annN.若bn

是公差为1的等差数列，则bn的通项公式为bn，an的最小值为.

1、型（是关于的函数）：

��+1=��+�(�)�(�)�

��−��−1=�(�−1)

��−1−��−2=�(�−2)

⟹��=�(�−1)+�(�−2)+...�(2)+�(1)+�1,(�≥2)

...

注意：

�2−�1=�(1)

①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

�(�)�

②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若�(�)是关于�的二次函数，累加后可分组求和；

④若�(�)是关于�的分式函数，累加后可裂项求和．

验证首�(�项)是否满�足通项公式。

2、型（是关于的函数）：

��+1

��=�(�)�(�)�

��

=�(�−1)

��−1

��−1

=�(�−2)

��−2⟹��=�(�−1)⋅�(�−2)⋅...⋅�(2)�(1)�1,(�≥2)

...

�2

注意：=�(1)

�1

的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。

�验(�证)首项是否满足通项公式。

*

【变式2-1】（25-26高三上·北京·月考）在数列an中，a13，a22．数列bn满足bnan1an（nN）.

若bn是公差为2的等差数列，则bn的通项公式为bn，an的最小值为．

【变式2-2】（24-25高二下·北京·期中）在数列an中，已知a11，nan1n1an，则a6（）

A．3B．4C．5D．6

题型03观察法求通项

【例3-1】（25-26高二上·北京朝阳·月考）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛

如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为

（）

A．100B．120C．128D．240

【例3-2】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积

的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第二层有

a1b1个小球，第三层有a2b2个小球……依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙

2bda2dbccan

积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形

6

垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A．1B．2C．3D．4

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列

的一个通项．

①将已知项与常见数列比对；

②利用差分、比值等变换化为熟知的简单数列；

③对可能的通项形式（多项式、指数、分段、交替符号等）进行假设、待定系数、检验。

最终必须用数学归纳法或代入递推关系（如果已知是某递推关系的解）来严格证明猜想正确。

【变式3-1】（24-25高三上·北京房山·开学考试）古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.

他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…

称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，

正方形数构成数列bn，给出下列四个结论：

nn1

①数列an的一个通项公式是a；

n2

②2025既是三角形数，又是正方形数；

11115

③；

b1b2b3bn3

④mN,m2，总存在p,qN．使得bmapaq成立．

其中所有证确结论的序号是．

13579

【变式3-2】（24-25高二上·期末）数列，，，，，的一个通项公式是a（）

357911n

2n32n12n12n3

A．B．C．D．

2n12n12n32n5

题型04递推式求周期性数列

【例4-1】（25-26高三上·北京·月考）在数列an中，a14，a53，且任意连续三项的和均为7，则

a2026；记数列an的前n项和为Sn，则使得Sn100成立的最大整数n.

an1,an1

*

【例】（高二下北京海淀期中）已知数列a满足a2,a1nN，则

4-224-25··n1n1

,0an1

an

a2025．

同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。

1、型分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。

���+�

�+1

2、�=���+�或(�≠0)或是常数是常数

3、��+1+��=�或��+2+��+1+��=或���+2−��+1+��=�(�)(�)

��+2∙��

4、�分�+段1式∙�数�=列���+2∙��+1∙��=�∙��+1=�

注意：

以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。

1

*

【变式4-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在数列{an}中，a12，an1（n2，nN），则a2025

an1

（）

11

A．1B．1C．D．

22

1

*

【变式4-2】（24-25高二上·北京·期末）在数列an中，a12，an1（n2，nN），则a2025

an1

（）

1

A．1B．1C．D．2

2

题型05研究数列性质

【例5-1】（2025·北京·模拟预测）记Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前n项和，

T

，n*

已知a11Sn1nN，其中0为某个常数，给出下列四个结论:

n

①存在使得Sn是非常数列的等比数列；②存在使得an是非常数列的等差数列；

③存在使得Sn是递减数列；④存在使得an是递减数列.

其中所有正确结论的序号是.

【例5-2】（25-26高二上·北京东城·月考）已知数列满足，，则下列说法正确

2

的是（）���1=1��+1=��−��+�

①当时，；

②当�>1时，数��列≤1是常数列；

③当�=1时，��；

3

④当4<�<1时，数��列>1−单1调−递�减；

3

A4．<①�②<1B．��②③④C．②④D．①③④

根据递推式讨论数列的函数性质，与函数、不等式综合起来考察。

1、如果能求出通项先求通项，如果不能则看能不能通过递推式来找出数列的函数性质，如单调性、奇偶性、

周期性等。

2、归纳法也是常用的方法之一，如证明不等式问题。

2

【变式5-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）首项为正数的数列an满足an1an3，给出下列四个结

论：

①存在和a1，使得an是等比数列；

1

②若且a1是奇数，则a为奇数；

4n

1

③若且a3，则存在n使得a3；

41n

1

④若0,且1a13，则an是递减数列.

4

所有正确结论的序号是（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【变式5-2】（2025·北京平谷·一模）已知各项均不为零的数列an，其前n项和是Sn,a1a，且

Snanan1n1,2,.给出如下结论：

①a21；

②若an为递增数列，则a的取值范围是0,1；

③存在实数a，使得an为等比数列；

a2k0.01

④mN*，使得当km时，总有2.

a2k1

其中所有正确结论的序号是.

题型06数列新定义

【例6-1】（25-26高二上·北京·期末）若无穷数列an满足：a11，当n2时，|anan1|maxa1,a2,,an1，

则称an是“X数列”，则下列正确的有

①若an是“X数列”则a48为假命题

②若an是“X数列”且是等差数列，则an单调递增

③若an是“X数列”且单调递减，则an是等比数列

④若an是“X数列”且是周期数列，则集合1i100ai1的元素个数最多是50

Sn

【例6-2】（25-26高二上·北京·月考）已知数列a是无穷数列，Sn是数列a的前n项和.若是递减

nnn

数列，则称数列an具有“和性质”，则下列说法正确的有

①．若an3n4，则数列an具有“和性质”

S

②．若数列a具有和性质，则*，n0a

n“”n0Nn01

n0

32

③．若数列an满足an6n4n，则数列an具有“和性质”

④．若数列an，bn具有“和性质”，且an0，bn0，则数列anbn具有“和性质”

数列新定义是难点问题，给出新概念的名称例如“和谐数列”、“闪亮数列”、“等方差数列”、“凹数列”、“线

性递归数列”（超出课内特征根法的）、“折数列”等。

1、判断某个给定数列是否属于新定义的数列类；

2、求参数的值或范围，使得数列满足新定义；

3、证明该新定义下的数列具有某些（常规）性质；

4、在新定义限制下，求数列的通项或前n项和。

【变式6-1】（25-26高三上·北京·月考）对于数列an，若存在M0，使得对任意nN，有

a2a1a3a2an1anM，则称an为“有界变差数列”.给出以下四个结论：

①若等差数列an为“有界变差数列”，则an的公差d等于0；

②若各项均为正数的等比数列an为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是0,1；

1

③若数列x是“有界变差数列”，y满足y，则xy是“有界变差数列”；

nnn2nnn

④若数列是有界变差数列，则存在，使得对于任意，都xx；

xn“”n0NnNnn0

其中所有正确结论的序号是.

*

【变式6-2】（25-26高三上·北京顺义·月考）数列an为无穷非负整数数列，若对任意kN，均存在

*，且，使aaak，则称数列为完备数列给出下列四个结论：

i1,i2,,imNi1i2imii2iman“”.

①若正项等差数列an为“完备数列”，则首项一定为1；

②若正项等比数列an为“完备数列”，则公比一定为2；

*

③若an满足an2an1an，则对任意a1,a2N，数列an均为“完备数列”；

*

④若an满足an2an1annN,a1a21，则数列an为“完备数列”；

其中正确结论的序号是.

题型07倒序相加法求和

【例7-1】（2026高三·北京·专题练习）在等比数列an中，a1a2242,a2a31642，若不等式

n1

log2a1log2a2log2a3log2a4(1)log2an19成立，则n的最小值为（）

A．25B．26C．27D．28

【例7-2】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a2,a2025是方程

2

x3x20的两个根，则log2a1log2a2log2a3log2a2026的值为（）

2026

A．B．1013C．2023D．1022

3

等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和

相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

【变式7-1】（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”

之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：1100101，299101，…，

5051101，共有50组，所以123100501015050，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差

数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，a1a20241，

1

试根据提示探究：若f(x)，则f(a)f(a)f(a).

1x122024

【变式7-2】（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对123100的求和运算中，提

出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为

4x1232024

高斯算法.现有函数fx，则ffff（）

4x22025202520252025

A．2025B．2024C．1013D．1012

题型01数列分组求和

【例1-1】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知Sn是等差数列an的前n项和，S3a59，数列bn

2

是公比大于1的等比数列，且b3b6，b4b212.

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cnanbn，求cn的前n项和Tn.

【例1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列an满足2an1ann2.

(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn的前n项和.

若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减．常见的分组求和有：

1、根据数列性质不同来分组，如等差、等比数列分开求和。

2、根据数列的奇偶性来分组，奇数列求和与偶数列求和，此时要关注数列的项数是奇数还是偶数

3、绝对值数列求和，根据原数列正负项分开求和，把原来正项的所有项求和、负项的所有求和

4、相邻项并项后求和，数列相邻的两项或者多项可以先合并，合并化简完后，整个数列成容易求和的数列，

如等差数列或者能相消。

【变式1-1】（25-26高三上·北京·月考）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S39．

(1)求an的通项公式；

(2)当n为何值时，Sn取最小值并求出最小值．

n

(3)记Tn为数列2an的前n项和，求Tn．

【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列an满足a1a23，a4a524.

(1)求an的通项公式；

(2)设bnan2n，求数列bn的前n项和Sn.

题型02数列裂项求和

2

【例2-1】（25-26高三上·北京·月考）已知正项数列an的前n项和为Sn，且4Snan2an1；

(1)求a1,a2和a3的值；

(2)求证数列an是等差数列，并求出数列an的通项公式；

1

(3)若bn，求数列bn的前n项和Tn.

anan1

【例2-2】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知数列an是公差不为零的等差数列，a11，且a6是a2与a18

的等比中项.

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设Sn为数列an的前n项和，Tn为数列的前n项和，求证：Tn2.

Sn

对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，

也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。

模型1：等差型

（1）（2）

1111111

（3）�(�+1)=�−�+1（4）�(�+�)=�(�−�+�)

11111111

2

对等差4�型−的1=分2式(，2�−例1−2�+，1)先对分母进行因�式(�+分1)解(�+2)=2�(�+1)−(�，+1)把(�+目2)标分解成，再合并比

111

2

较看看想化成需4乘�系−1数。(2�−1)(2�+1)2�−1−2�+1

11

2

模型2：根式型4�−12

（1）

1

（2）�+1+�=�+1−�

11

（3）�+�+�=�(�+�−�)

11

利用分母有有理化的方法。

2�−1+2�+1=2(2�+1−2�−1)

模型3：指数型

（）

1��+1�

2(2−1)−(2−1)11

�+1��+1���+1

（2）(2−1)(2−1)=(2−1)(2−1)=2−1−2−1

�+22(�+1)−�21111

����−1�

方法类�(似�+等1)⋅差2型=。�(�+1)⋅2=�−�+1⋅2=�⋅2−(�+1)⋅2

*

【变式2-1】（24-25高二下·北京·期中）在数列an中a11，an12ann1，nN.

(1)证明：数列ann是等比数列；

(2)求数列an的通项公式an；

n4

(3)若cn2an，求数列的前n项和Tn.

cncn1

【变式2-2】（24-25高二下·北京顺义·期中）设Sn是各项为正数的数列an的前n项和，且满足________．

(1)求数列an的通项公式；

1

{}

(2)令bnlog2(Sn1)，求数列前n项和Tn.

bnbn1

2

从Sn2an1；an1an1an,a11,a48(n2)；a11,an12an，

三个①条件中任选一个②，补充在上面的问题中并作答．③

题型03数列错位相减求和

【例3-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列an为递增数列，其前n项和为Sn，a13，S321.

(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列bnan是首项为1，公差为3的等差数列，求数列bn的通项公式及前n项和Tn.

2*

【例3-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数f(x)(n3)x2x1的极值点构成数列an(nN).

(1)求a1；

1

(2)求证：数列{}是等差数列；

an

2n

(3)求数列{}的前n项和Tn.

an

等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列,等比数列，对数列求和也可以用到错位相

减法������∙��

1、找出等比数列的公比，对求和中的每项都乘以公比

2、然后用�，�注意将两�(式�≠“错1,项0)对齐”，按照相同幂次方来对齐�，方便合并。

��−���

n

【变式3-1】（24-25高二下·北京·月考）已知数列an的前n项和为Sn31，数列bn满足，b11，

bn1bn2n1nN.

(1)求数列an的通项公式an；

(2)求数列bn的通项公式bn；

anbn

(3)若c，求数列c的前n项和Tn.

n2nn

*

【变式3-2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知数列an的前n项和为Sn，且2anSnn2nN，

设bnan1.

(1)证明：数列bn是等比数列；

(2)求数列nbn的前n项和Tn.

n1an

1．（24-25高二下·北京·期中）设数列an的前n项和为Sn．若a12，S，则a6（）

n2

A．18B．12C．6D．3

*

2．（2025·北京大兴·三模）已知数列an为无穷等比数列，Sn为其前n项和，“存在M10，对于任意的n

N，

*

anM1”是“存在M20，对于任意的n

N,SnM2”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2

3．（25-26高三上·北京·期中）已知数列an中各项均为正数，且an1an1ann1,2,3,，给出下列四

个结论：

*

①对任意的nN，都有an1；

②数列an可能为常数列；

③若0a12，则当n2时，a1an2；

④若a12，则数列an为递减数列．

其中正确结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

1

4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知数列a满足a，aa2a1n1,2,3,，设Taaa，

n12nn1n1n12n

则T2025（）

1202412025

A．B．C．D．

2025202520262026

q*

5．（25-26高三上·北京海淀·月考）对于给定的数列an，如果存在实数p，，使得an1panq对任意nN

成立，我们称数列an是“线性数列”，数列cn满足c11，cn1cnbn，则下列选项错．误．的是（）

A．等差数列是“线性数列”

B．等比数列是“线性数列”

C．若bn是等差数列，则cn是“线性数列”

D．若bn是等比数列，则cn是“线性数列”

1

2a,a

nn24

6．（24-25高二下·北京·月考）在数列a中，a，若a，则a（）