2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(二) 两曲线的公切线问题

重点解读两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一，相对单一曲线的切线问题，两曲线的公切线问题相对较复杂，解公切线问题应根据两个函数图象在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组解决问题．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组解决问题．类型一求两曲线的公切线求两曲线的公切线方程，不论切点是否相同，都可转化为求某曲线的切线方程问题．(1)已知函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝eq\f(b,x)－3.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，则切线方程为____________．答案：x＋y＋1＝0解析：因为f′(x)＝eq\f(1,x)－a，g′(x)＝－eq\f(b,x2)，所以f′(1)＝1－a，g′(1)＝－b，由曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在交点(1，c)处有公共切线，得1－a＝－b，又c＝－a＝b－3，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝－b，,－a＝b－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))故切线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.(2)(2025·江西抚州高三联考)与曲线f(x)＝ex－1和g(x)＝ex－1都相切的直线l的方程为________．答案：x－y＝0解析：设直线l：y＝kx＋b与曲线f(x)相切于点P1(x1，y1)，与曲线g(x)相切于点P2(x2，y2)，又f′(x)＝ex－1，g′(x)＝ex，且y1＝ex1－1，y2＝ex2－1.曲线f(x)在点P1(x1，y1)处的切线方程为y－ex1－1＝ex1－1(x－x1)，曲线g(x)在点P2(x2，y2)处的切线方程为y－ex2＋1＝ex2(x－x2)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex1－1＝ex2，,ex1－1－x1ex1－1＝ex2－x2ex2－1，))解得x1－x2＝1，ex2(x1－x2)＝1，故x2＝0，x1＝1，故k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(ex1－1－ex2＋1,1)＝1，故直线l的方程为y＝x，即x－y＝0.解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．(2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，利用f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f（x1）－g（x2）,x1－x2)列出关系式求解．1.曲线y＝－eq\f(1,x)(x<0)与曲线y＝lnx的公切线的条数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：设点(x1，y1)是公切线和曲线y＝－eq\f(1,x)(x<0)的切点，则x1<0，切线的斜率k1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))′|x＝x1＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))，切线的方程为y＋eq\f(1,x1)＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))(x－x1)，整理，得y＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))·x－eq\f(2,x1).设点(x2，y2)是公切线和曲线y＝lnx的切点，则x2>0，切线的斜率k2＝(lnx)′|x＝x2＝eq\f(1,x2)，切线的方程为y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，整理，得y＝eq\f(1,x2)·x＋lnx2－1.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,xeq\o\al(2,1))＝\f(1,x2)，,－\f(2,x1)＝lnx2－1，))消去x2，得－eq\f(2,x1)＝lnxeq\o\al(2,1)－1.设t＝－x1>0，则2lnt－eq\f(2,t)－1＝0，只需探究此方程解的个数．易知函数f(t)＝2lnt－eq\f(2,t)－1在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝－3<0，f(e)＝1－eq\f(2,e)>0，于是f(t)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.故选A.2．(2025·江苏南通高三第一次质量监测)与曲线y＝eq\f(1,ex)和曲线y＝－lnx－2都相切的直线的方程为________．答案：ex＋y＝0解析：设曲线y＝eq\f(1,ex)在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,ex0)))处的切线与曲线y＝－lnx－2在点B(x1，－lnx1－2)处的切线重合，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′＝－eq\f(1,ex)，(－lnx－2)′＝－eq\f(1,x)，故－eq\f(1,ex0)＝－eq\f(1,x1)，即ex0＝x1，x0＝lnx1，在点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,ex0)))处的切线方程为y－eq\f(1,ex0)＝－eq\f(1,ex0)(x－x0)，将B(x1，－lnx1－2)代入，得－lnx1－2－eq\f(1,ex0)＝－eq\f(1,ex0)(x1－x0)，即－lnx1－2－eq\f(1,x1)＝－eq\f(1,x1)(x1－lnx1)，所以－(x1＋1)lnx1＝x1＋1，又x1>0，故x1＝eq\f(1,e)，则x0＝lneq\f(1,e)＝－1，故所求切线方程为y－e＝－e(x＋1)，即ex＋y＝0.类型二切点相同的公切线求参数若两曲线的公切线有相同的切点，可设出切点坐标，然后利用两曲线在该点处的函数值和切线斜率相同列方程(组)，解方程(组)求参数即可．(2025·广东深圳高三第一次调研)已知曲线f(x)＝x2－m与曲线g(x)＝lnx＋x在公共点处的切线相同，则实数m的值为________．答案：0解析：设曲线f(x)与g(x)的公共点为(a，b)(a>0)，则f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)＋1，则f′(a)＝2a＝g′(a)＝eq\f(1,a)＋1，解得a＝1或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以b＝f(a)＝g(a)＝1，即1＝1－m，故m＝0.切点相同的公切线求参数的一般步骤(1)设两曲线f(x)，g(x)的公共切点为P0(x0，y0)；(2)由f′(x0)＝g′(x0)求出x0；(3)由f(x0)＝g(x0)求出参数的值．3.(2025·广东佛山高三调研)已知曲线f(x)＝eq\r(x)与曲线g(x)＝alnx(a∈R)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________．答案：eq\f(e,2)解析：因为曲线f(x)与曲线g(x)相交，且在交点处有相同的切线，所以a>0.设两曲线的交点为P(x0，y0)，又f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)(x>0)，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x0)＝alnx0，,\f(1,2\r(x0))＝\f(a,x0)，))两式相除，得2x0＝x0lnx0，因为x0>0，所以lnx0＝2，故x0＝e2，代入eq\r(x0)＝alnx0，得e＝2a，解得a＝eq\f(e,2).类型三切点不同的公切线求参数若两曲线的公切线切点不同，要分别设出切点坐标后，利用导数的几何意义解决问题，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡，通常根据曲线、切线、切点的三个关系：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上，列方程(组)求解．(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．答案：ln2解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝eq\f(1,x＋1)，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得eq\f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－eq\f(1,2)，则切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a＋ln\f(1,2)))，切线方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋a＋lneq\f(1,2)＝2x＋1＋a－ln2，因为两切线重合，所以a－ln2＝0，解得a＝ln2.(2)(2025·福建泉州一中高三适应性测试)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,e2)))解析：设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，曲线y＝x2的切点为N(n，n2)，又(tex)′＝tex，则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem，同理可得，曲线y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2，根据y＝tex与y＝x2恰有两条公切线，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tem＝2n，,tem－mtem＝－n2，))所以tem－mtem＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(tem,2)))eq\s\up12(2)，化简，得t＝eq\f(4m－4,em)，则t＝eq\f(4m－4,em)有两个解，构造函数f(x)＝eq\f(4x－4,ex)，则f′(x)＝eq\f(8－4x,ex)，当x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝2时有极大值也是最大值，故f(2)＝eq\f(4,e2)，当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，故t的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,e2))).切点不同的公切线求参数的一般步骤(1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；(2)分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)；(3)由公切线转化为两切线方程对应项的系数相同，列方程组消元求参数即可．4.(2025·广东深圳中学高三模拟)若直线y＝kx＋b与函数y＝ex－1和y＝ex－2的图象都相切，则b＝()A．2 B．ln2C．1＋ln2 D．－2ln2答案：D解析：设两个切点分别为P1(x1，ex1－1)，P2(x2，ex2－2)，又(ex－1)′＝ex－1，(ex－2)′＝ex，故曲线y＝ex－1在点P1处的切线方程为y－ex1－1＝ex1－1(x－x1)，整理，得y＝ex1－1x＋(1－x1)ex1－1，曲线y＝ex－2在点P2处的切线方程为y－(ex2－2)＝ex2(x－x2)，整理，得y＝ex2x＋(1－x2)ex2－2，因为直线y＝kx＋b是两函数图象的公切线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝ex1－1＝ex2①，,b＝（1－x1）ex1－1＝（1－x2）ex2－2②，))由①，得x1－1＝x2，代入②，得－x2ex2＝(1－x2)ex2－2，整理，得ex2＝2，所以x2＝ln2，代入②，得b＝(1－ln2)eln2－2＝－2ln2.故选D.5．(2024·广东茂名高三第一次模拟)若曲线y＝lnx与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案：B解析：因为(lnx)′＝eq\f(1,x)，(x2＋2ax)′＝2x＋2a，设公切线与曲线y＝lnx，y＝x2＋2ax的切点分别为(x1，lnx1)，(x2，xeq\o\al(2,2)＋2ax2)，则以这两点为切点的切线方程分别为y＝eq\f(x,x1)＋lnx1－1，y＝(2x2＋2a)x－xeq\o\al(2,2)