2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第五节 空间向量及其运算

第五节空间向量及其运算课标解读考向预测1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．从近三年高考来看，本节内容主要与立体几何知识结合考查．预计2026年高考中仍然会与立体几何知识结合，考查空间向量的线性运算及数量积运算，难度中档．必备知识—强基础1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有eq\x(\s\up1(01))大小和eq\x(\s\up1(02))方向的量相等向量方向eq\x(\s\up1(03))相同且模eq\x(\s\up1(04))相等的向量相反向量方向eq\x(\s\up1(05))相反且模eq\x(\s\up1(06))相等的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相eq\x(\s\up1(07))平行或eq\x(\s\up1(08))重合的向量共面向量平行于eq\x(\s\up1(09))同一个平面的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使eq\x(\s\up1(10))a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在eq\x(\s\up1(11))唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在eq\x(\s\up1(12))唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝eq\x(\s\up1(13))|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示向量加减a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)共线a＝λb(b≠0，λ∈R)eq\x(\s\up1(14))a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3数量积a·beq\x(\s\up1(15))a1b1＋a2b2＋a3b3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)eq\x(\s\up1(16))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))(3)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．4．投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．(3)向量a在平面β上的投影如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，则向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．3．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．题组一走出误区——判一判(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c．()(2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．()答案：(1)×(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题1．2T2改编)若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案：C解析：∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，∴A，B，D不符合题意．故选C．(2)(人教A选择性必修第一册习题1．1T2改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案：A解析：由题意，得eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．故选A．(3)(人教B选择性必修第一册习题1－1CT4改编)O为空间中任意一点，E，F，G三点不共线，且eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OF,\s\up6(→))＋teq\o(OG,\s\up6(→))，若H，E，F，G四点共面，则实数t＝________．答案：eq\f(1,4)解析：∵H，E，F，G四点共面，∴eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋t＝1，∴t＝eq\f(1,4)．(4)(人教A选择性必修第一册例2(1)改编)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________．答案：3解析：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，由题意，得|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3．(5)(人教B选择性必修第一册习题1－1BT12(2)改编)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为________．答案：(0，2，2)解析：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，1，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0＋1×3＋3×3＝12．因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，所以cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(12,\r(14)×3\r(2))＝eq\f(2\r(7),7)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\r(14)×eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),3\r(2))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2，2)．考点探究—提素养空间向量的线性运算(多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则下列表示正确的是()A．eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b B．eq\o(A1N,\s\up6(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)cC．eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a D．eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c答案：ACD解析：对于A，∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b，故A正确；对于B，C，∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c．eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，故B错误，C正确；对于D，∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故D正确．故选ACD．空间向量线性运算中的三个关键点1．(2025·山东济南模拟)如图所示，M是四面体O－ABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式正确的是()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c B．eq\o(AN,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)cC．eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)c D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c答案：A解析：因为eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c，B错误；eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b＋\f(1,3)c))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，C错误；eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)a))＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，A正确；eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，D错误．故选A．共线、共面向量定理的应用(1)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，则x＋y＝()A．0 B．－6C．6 D．5答案：C解析：因为n＝(x＋4)a＋(－x＋y)b＋(－y＋4)c，m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以(x＋4)a＋(－x＋y)b＋(－y＋4)c＝λ(2a＋3b－c)，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4＝2λ，,－x＋y＝3λ，,－y＋4＝－λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,x＝0，,y＝6，))所以x＋y＝6．故选C．(2)(多选)下列说法中正确的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案：CD解析：对于A，由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；对于B，若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；对于C，解法一：因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以8eq\o(OP,\s\up6(→))＝6eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→))，故P，A，B，C四点共面，所以C正确．解法二：因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以P，A，B，C四点共面，所以C正确；对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共线)，当λ＋μ＝1，即μ＝1－λ时，可得eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))，即eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．1．对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))．(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))．(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)．(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．2．(2025·广东佛山模拟)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，则λ＝()A．2 B．－2C．1 D．－1答案：B解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(λPC,\s\up6(→))，即eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，整理，得eq\o(PD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2．3．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．答案：－3解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4.))∴m＋n＝－3．空间向量的数量积及其应用(多考向探究)考向1求空间向量的数量积(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，则a·b＝()A．eq\f(49,2) B．14C．eq\r(14) D．eq\f(35,4)答案：B解析：因为|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，则a·b＝a2，因为a＝(2，1，3)，所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14．故选B．(2)正四面体O－ABC的棱长为1，E为BC的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)答案：B解析：以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}为基底，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))两两夹角为60°，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,2)－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)．故选B．空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ．(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．4．若a，b，c为空间中两两夹角为eq\f(π,3)的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a－2b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－c，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝________．答案：－1解析：由题意，得a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝12×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2a－2b)·(b－c)＝2a·b－2a·c－2b2＋2b·c＝－1．5．(2025·天津红桥区模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是________．答案：[0，1]解析：由题意，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0，1]，则eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1－λ∈[0，1]，因此eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是[0，1]．考向2利用数量积求长度与夹角(2025·江苏镇江模拟)如图，正四面体A－BCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体A－BCD中各棱的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，试采用向量法解决下列问题：(1)求eq\o(EF,\s\up6(→))的模长；(2)求eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(GH,\s\up6(→))的夹角．解：(1)因为正四面体A－BCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体A－BCD中各棱的中点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(b－a)－a＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(c－a－b)，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(c－a－b)2＝eq\f(1,4)(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)＝eq\f(1,4)×(1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°)＝eq\f(1,2)，故|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)．(2)在正四面体A－BCD中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a－b)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)．同理，eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，|eq\o(GH,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)．所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(GH,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(EF,\s\up6(→))|)\a\vs4\al(|\o(GH,\s\up6(→))|))＝eq\f(\f(1,2)（c－a－b）·\f(1,2)（b＋c－a）,\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(1,2)[(c－a)2－b2]＝eq\f(1,2)(c2＋a2－2c·a－b2)＝eq\f(1,2)×(1＋1－2×1×1×cos60°－1)＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(GH,\s\up6(→))的夹角为90°．(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两向量的夹角．6．已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的夹角为60°，则实数m＝()A．1 B．2

C．－1 D．－2答案：B解析：∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－m，－m，8－m)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(4－m，－4－m，6－m)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－m)(4－m)＋(－m)(－4－m)＋(8－m)(6－m)＝3m2－12m＋40，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(（－2－m）2＋（－m）2＋（8－m）2)＝eq\r(3m2－12m＋68)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(（4－m）2＋（－4－m）2＋（6－m）2)＝eq\r(3m2－12m＋68)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|·cos60°，得3m2－12m＋40＝(3m2－12m＋68)×eq\f(1,2)，整理，得m2－4m＋4＝0，解得m＝2．故选B．7．(2025·湖北武汉模拟)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知库底与水坝所成的二面角为150°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA＝30eq\r(3)m，CB＝40m，若AB＝20m，则甲、乙两人相距()A．10m B．10eq\r(47)mC．70m D．10eq\r(83)m答案：D解析：由题意可得，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，又DA＝30eq\r(3)m，CB＝40m，AB＝20m，且库底与水坝所成的二面角为150°，则〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝30°，所以|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝(30eq\r(3))2＋202＋402＋0＋2×30eq\r(3)×40×cos30°＋0＝8300，即|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝10eq\r(83)．故选D．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考向空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用空间向量的线性运算考点利用向量的数量积求夹角共面向量定理的应用共面向量定理的应用利用向量的数量积求模求空间向量的数量积题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用考点利用向量的数量积求距离共线向量定理的应用共线向量定理的应用求空间向量的数量积求空间向量的数量积共面向量定理的应用共面向量定理的应用一、单项选择题1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，若b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝()A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)答案：B解析：由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故选B．2．(2025·安徽滁州模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6答案：B解析：向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3．故选B．3．(2025·重庆南开中学高三期末)如图，在正四棱锥P－ABCD中，E为棱PA的中点，设eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DP,\s\up6(→))＝c，则用a，b，c表示eq\o(BE,\s\up6(→))为()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a－b＋c答案：C解析：由题图可得，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－b＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c．故选C．4．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)答案：A解析：由题意，得a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝eq\r(1＋0＋1)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq\f(π,6)．故选A．5．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝()A．3 B．4C．5 D．6答案：C解析：a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，可设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝m－n，,5＝4n－m，,x＝3m－2n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2，,x＝5.))故选C．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x－y＋z＝()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2答案：B解析：因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，则x－y＋z＝1．故选B．7．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a＋b＋c|＝()A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．3 D．6答案：A解析：由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝12＋12＋12＝3，∴|a＋b＋c|＝eq\r(3)．故选A．8．已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))答案：A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，由正六边形的性质可得，A(0，0，0)，B(1，0，0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)，0))，设P(x，y，z)，其中－eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y，z)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝x，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))．故选A．二、多项选择题9．(2025·湖北十堰模拟)《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DC1,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：BD解析：因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故A错误，B正确；如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G，故向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AF,\s\up6(→))，向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AG,\s\up6(→))，由题意易得eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AG,AC)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故C错误，D正确．故选BD．10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，则此时B，D两点间的距离可能为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3答案：AC解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，又∠ACD＝90°，∴∠CAB＝90°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∵在空间四边形ABCD中，AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉，当〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，即此时B，D两点间的距离为2；当〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝2，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即此时B，D两点间的距离为eq\r(2)．综上所述，B，D两点间的距离为2或eq\r(2)．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，λ，μ∈[0，1]，则()A．当λ＝0时，点P在棱BB1上B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上答案：ACD解析：当λ＝0时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BB1,\s\up6(→))，又μ∈[0，1]，所以点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝λeq\o(BC1,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在线段BC1上，故B错误；当μ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(B1P,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(B1C1,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(BB1,\s\up6(→))，即eq\o(B1P,\s\up6(→))＝λeq\o(B1C,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，所以点P在线段B1C上，故D正确．故选ACD．三、填空题12．(2025·甘肃兰州模拟)已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(x，y，15)三点共线，则xy＝________．答案：2解析：由A，B，C三点共线，得向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即(3，4，－8)＝k(x－1，y＋2，4)，eq\f(x－1,3)＝eq\f(y＋2,4)＝eq\f(4,－8)，解得x＝－eq\f(1,2)，y＝－4，∴xy＝2．13．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E是上底面A′B′C′D′的中心，若eq\o(AC′,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))，则x＝________；若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则m＋n＝________．答案：11解析：因为eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))，所以x＝1．因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以m＋n＝1．14．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，则当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))解析：设Q(x，y，z)，因为A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，则由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则Q(λ，λ，2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)，根据二次函数的性质可得，当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(2,3)，此时点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))．15．(2025·江西南昌名校联考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝eq\r(3)，C1B1＝1，点P为线段B1C上一点，则eq\o(C1P,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))的最大值为()A．3 B．4C．5 D．6答案：A解析：解法一：取线段C1D1的中点O，则eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\o(C1O,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1O,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))，所以eq\o(C1P,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(eq\o(C1O,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(D1O,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(C1O,\s\up6(→))·eq\o(D1O,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(C1O,\s\up6(→))＋eq\o(D1O,\s\up6(→)))＝|eq\o(C1O,\s\up6(→))|·|eq\o(D1O,\s\up6(→))|·cos180°＋|eq\o(OP,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|2－eq\f(3,4)．因为|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3＋\f(3,4))＝eq\f(\r(15),2)，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(3,4)＋1)＝eq\f(\r(7),2)，所以当点P位于点C时，|eq\o(OP,\s\up6(→))|2最大，为eq\f(15,4)，此时eq\o(C1P,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))取得最大值eq\f(15,4)－eq\f(3,4)＝3．故选A．解法二：以C1为原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，D1(eq\r(3)，0，0)，P(0，m，eq\r(3)－eq\r(3)m)，0≤m≤1，则eq\o(C1P,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(0，m，eq\r(3)－eq\r(3)m)·(－eq\r(3)，m，eq\r(3)－eq\r(3)m)＝m2＋(eq\r(3)－eq\r(3)m)2＝4m2－6m＋3＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，所以当m＝0时，eq\o(C1P,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))取得最大值，为3．故选A．16．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．AC1＝6eq\r(6)B．AC1⊥BDC．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．向量eq\o(BD1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)答案：AB解析：∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝6×6×cos60°＝18．对于A，∵(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(216)＝6eq\r(6)，A正确；对于B，∵eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC1⊥BD，B正确；对于C，连接A1D，由题意可知△AA1D是等边三角形，则∠AA1D＝60°，∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，且向量eq\o(A1D,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，∴向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，C错误；对于D，∵eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\