2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 导数的概念、几何意义及运算

第一节导数的概念、几何意义及运算课标解读考向预测1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义.2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2026年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，难度中、低档.必备知识—强基础1．平均变化率对于函数y＝f(x)，把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近的常数．3．瞬时变化率定义式eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢4．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作eq\x(\s\up1(02))f′(x0)或eq\x(\s\up1(03))y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．5．导函数的概念如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\x(\s\up1(04))eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)．6．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的eq\x(\s\up1(05))切线的斜率k0，即k0＝eq\x(\s\up1(06))f′(x0)．7．基本初等函数的导数公式函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)8.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．9．复合函数的导数一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝eq\x(\s\up1(07))yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．题组一走出误区——判一判(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.()答案：(1)×(2)×(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第二册5.1.1T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6答案：D(2)(人教A选择性必修第二册习题5.2T6改编)设f(x)＝eeq\r(x)＋ln2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为()A．0 B．eC.eq\f(e＋1,2) D.eq\f(e,2)答案：D(3)(人教A选择性必修第二册习题5.2T3改编)已知函数f(x)＝x(2025＋lnx)，若f′(x0)＝2026，则x0＝()A．e2 B．1C．ln2 D．e答案：B(4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为________．答案：y＝－x＋eq\f(π,2)解析：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为y＝－x＋eq\f(π,2).(5)(人教A选择性必修第二册习题5.2T2改编)填空：(2x＋log2x)′＝____________；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3－1,sinx)))′＝____________；[(3x＋1)2ln(3x)]′＝____________；(3xe－3x)′＝____________．答案：2xln2＋eq\f(1,xln2)eq\f(3x2sinx－cosx（x3－1）,sin2x)6(3x＋1)ln(3x)＋eq\f(（3x＋1）2,x)3xe－3xln3－3x＋1e－3x解析：(2x＋log2x)′＝2xln2＋eq\f(1,xln2).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3－1,sinx)))′＝eq\f(（x3－1）′sinx－（sinx）′（x3－1）,sin2x)＝eq\f(3x2sinx－cosx（x3－1）,sin2x).[(3x＋1)2ln(3x)]′＝[(3x＋1)2]′ln(3x)＋(3x＋1)2[ln(3x)]′＝6(3x＋1)ln(3x)＋eq\f(（3x＋1）2,x).(3xe－3x)′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln3－3x＋1e－3x.考点探究—提素养导数的概念及运算(1)(2025·四川内江高三模拟)已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋lnx，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)的值为()A．e B．－2C．－eq\f(1,2) D．0答案：D解析：因为f′(x)＝－x＋eq\f(1,x)，所以f′(1)＝－1＋1＝0，所以eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)＝0.(2)(多选)下列结论中错误的是()A．若y＝coseq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x)sineq\f(1,x)B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝eq\f(1,2)xsin2x，则y′＝xsin2x答案：ACD解析：对于A，y＝coseq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝eq\f(1,2)xsin2x，则y′＝eq\f(1,2)sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD.1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).(3)得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)，简记作：一差、二比、三极限．2．函数的导数与导数值的区别与联系导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．1.(多选)下列求导运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＝eq\f(x2－2lnx,x3)B．(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln5C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x)－1)－\f(1,\r(x)＋1)))′＝－eq\f(2,（x－1）2)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))′＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))答案：BCD解析：对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＝eq\f(\f(1,x)·x2－2xlnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)，故A错误；对于B，(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln5，故B正确；对于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x)－1)－\f(1,\r(x)＋1)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x－1)))′＝－eq\f(2,（x－1）2)，故C正确；对于D，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))′＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))·2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))，故D正确．故选BCD.2．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f′(0)＝________．答案：eq\f(1,3)解析：因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝eq\f(1,3).导数的几何意义及其应用(多考向探究)考向1导数与函数的图象(2025·福建泉州高三适应性考试)如图是函数f(x)的部分图象，记f(x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大的是()A．f(3) B．3f′(3)C．f(－14) D．f′(8)答案：A解析：由图可知，f(－14)，f′(8)为负数，f(3)，3f′(3)为正数，故排除f(－14)，f′(8)，设f(x)的图象在x＝3处的点为A，显然直线OA的斜率kOA大于f′(3)，则eq\f(f（3）－0,3－0)>f′(3)，故f(3)>3f′(3)，所以f(3)的值最大．故选A.函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3.函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C解析：如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得eq\f(f（3）－f（2）,3－2)＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C.考向2求切点的坐标已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为()A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)答案：C解析：设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq\f(1,2)，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－1＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．4.已知直线y＝ex－2是曲线y＝lnx的切线，则切点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1)) B．(e，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) D．(0，1)答案：A解析：设切点坐标为(t，lnt)，因为(lnx)′＝eq\f(1,x)，所以在点(t，lnt)处切线的斜率为eq\f(1,t)，所以eq\f(1,t)＝e，t＝eq\f(1,e)，所以lnt＝－1，所以切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1)).故选A.考向3求切线的方程eq\a\vs4\al()(1)曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案：5x－y＋2＝0解析：因为y′＝eq\f(2（x＋2）－（2x－1）,（x＋2）2)＝eq\f(5,（x＋2）2)，所以曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.(2)若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为________．答案：12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0解析：易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2.当点P为切点时，切线的斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0；当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3xeq\o\al(2,0)，∵点A在曲线上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)，∴eq\f(xeq\o\al(3,0)－8,x0－2)＝3xeq\o\al(2,0)，∴xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．答案：y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x解析：当x＞0时，y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝eq\f(1,x)，得y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即y＝eq\f(1,e)x；当x＜0时，y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝eq\f(1,x)，得y′|x＝x1＝eq\f(1,x1)，所以切线方程为y－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝eq\f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝eq\f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq\f(1,e)x.“待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．5.(2025·贵州贵阳高三模拟)过点P(1，－3)作曲线f(x)＝2x3－3x的切线，写出切线的方程为________．答案：3x＋y＝0或21x－2y－27＝0解析：设切点为(a，2a3－3a)，而f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(a)＝6a2－3，故切线方程为y－(2a3－3a)＝(6a2－3)(x－a)，因为切线过点(1，－3)，所以－3－(2a3－3a)＝(6a2－3)(1－a)，化简并解得a＝0或a＝eq\f(3,2)，则切点为(0，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，所以切线方程为3x＋y＝0或21x－2y－27＝0.考向4求参数的值或取值范围eq\a\vs4\al()(2025·河北保定十县一中高三期末联考)若函数f(x)＝alnx＋2x的图象在点(1，2)处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq\f(1,6)，则a＝()A．－1 B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D．1答案：D解析：由f(x)＝alnx＋2x，得f′(x)＝eq\f(a,x)＋2，f′(1)＝a＋2，则f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为y＝(a＋2)x－a.将x＝0代入切线方程，得y＝－a，将y＝0代入切线方程，得x＝eq\f(a,a＋2).因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq\f(1,6)，所以eq\f(1,2)|－a|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋2)))＝eq\f(1,6)，解得a＝1或a＝－eq\f(2,3).当a＝1时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；当a＝－eq\f(2,3)时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意．故a＝1.故选D.1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围．(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．6.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝eq\f(（x0＋a）ex0,x0)，化简，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★★考向导数的概念导数的运算导数的几何意义导数几何意义的应用导数的运算导数几何意义的应用导数几何意义的应用导数几何意义的应用考点求瞬时速度导数的四则运算求切线方程比较导数的大小导数的四则运算，求复合函数的导数求参数的值求参数的取值范围求参数的取值范围题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★考向导数的运算导数的运算导数几何意义的应用导数的概念导数的几何意义导数几何意义的应用导数几何意义的应用导数的几何意义考点导数的四则运算导数的四则运算导数的定义式求切线方程求线段长度的最小值求参数的取值范围切线方程的求解及应用一、单项选择题1．(2025·重庆十一中高三月考)有一机器人的运动曲线方程为s(t)＝2eq\r(t)＋lneq\f(1,t)(t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm)，则该机器人在t＝4s时的瞬时速度为()A.eq\f(1,4)cm/s B.eq\f(1,2)cm/sC.eq\f(3,4)cm/s D．1cm/s答案：A解析：因为s′(t)＝eq\f(1,\r(t))－eq\f(1,t)，所以v(t)＝s′(t)＝eq\f(1,\r(t))－eq\f(1,t)，所以v(4)＝eq\f(1,\r(4))－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).故选A.2．(2025·湖北高三第一次大联考)已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则()A．f(1)＝－eq\f(e,2) B．f′(1)＝－eq\f(e,2)C．f(2)＝e2－e D．f′(2)＝e2－e答案：C解析：因为f(x)＝ex－f′(1)x，所以f′(x)＝ex－f′(1)，则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝eq\f(e,2)，则f(x)＝ex－eq\f(e,2)x，f′(x)＝ex－eq\f(e,2)，所以f(1)＝eq\f(e,2)，f′(2)＝e2－eq\f(e,2)，f(2)＝e2－e.故选C.3．(2024·江苏南京高三二模)曲线y＝ln(x－1)2在原点处的切线方程为()A．y＝x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝－2x答案：D解析：由题意，令y＝f(x)＝ln(x－1)2，则f′(x)＝eq\f(2,x－1)，则f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切线方程为y＝－2x.故选D.4．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3)D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0答案：D解析：如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D.5．下列求导运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝coseq\f(π,5)B．(x2sin3x)′＝2xsin3x＋x2cos3xC．(tanx)′＝eq\f(1,cos2x)D．[ln(2x－1)]′＝eq\f(1,2x－1)答案：C解析：对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝0，A错误；对于B，(x2sin3x)′＝(x2)′sin3x＋x2(sin3x)′＝2xsin3x＋3x2cos3x，B错误；对于C，(tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(cosxcosx－sinx（－sinx）,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)，C正确；对于D，[ln(2x－1)]′＝eq\f(1,2x－1)×2＝eq\f(2,2x－1)，D错误．故选C.6．(2025·四川宜宾高三模拟)若曲线y＝ex＋b的一条切线方程是y＝x－1，则b＝()A．－2 B．1C．－1 D．e答案：A解析：由y＝ex＋b，得y′＝ex，设切点坐标为(t，et＋b)，由et＝1，得t＝0，所以切点坐标为(0，1＋b)，代入y＝x－1，得1＋b＝－1，即b＝－2.故选A.7．若函数f(x)＝lnx＋ax的图象上存在斜率为2的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)答案：C解析：由题意，函数f(x)＝lnx＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋a.函数f(x)＝lnx＋ax的图象上存在斜率为2的切线，即eq\f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上有解．因为x>0，所以eq\f(1,x)>0，则－eq\f(1,x)<0，2－eq\f(1,x)<2，所以a<2，即实数a的取值范围是(－∞，2)．故选C.8．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)ex，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，\r(e))) B．(eq\r(e)，＋∞)C．(e，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞))答案：D解析：当过原点的直线y＝kx与函数f(x)的图象相切时，设切点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,2)em))，由f′(x)＝eq\f(1,2)ex，可得过点P的切线方程为y－eq\f(1,2)em＝eq\f(1,2)em(x－m)，代入点(0，0)可得－eq\f(1,2)em＝－eq\f(1,2)mem，解得m＝1，此时切线的斜率为eq\f(1,2)e，由函数f(x)的图象可知，若直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞)).故选D.二、多项选择题9．函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1，x2(x1≠x2)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(g（x1）＋g（x2）,2)时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”．若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域上“严格上凹”的是()A．f(x)＝log2xB．f(x)＝2e－x＋xC．f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0))D．f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π))答案：BC解析：由题意可知，若函数f(x)在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x，则f″(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xln2)))′＝－eq\f(1,ln2)·eq\f(1,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，故A不符合题意；对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0))，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在(－∞，0)上恒成立，故C符合题意；对于D，f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π))，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在(0，π)内恒成立，故D不符合题意．故选BC.10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝lnx D．f(x)＝eq\f(sinx,cosx)答案：ABC解析：对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－eq\f(1,x2)，令eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝eq\f(1,x)，令lnx＝eq\f(1,x)，结合y＝lnx与y＝eq\f(1,x)的图象，知方程lnx＝eq\f(1,x)有解，即有“巧值点”；对于D，f′(x)＝eq\f(1,cos2x)，令eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(1,cos2x)，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．故选ABC.11．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列结论正确的是()A．f(1)＝1B．f′(1)＝1C．f(x)＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)D．g′(1)＝eq\f(3,2)答案：AD解析：对于A，由题意知，点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝eq\f(1,2)，故B错误；对于C，f(x)＝eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,4)，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝eq\f(1,2)，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝eq\r(x)，也满足f(1)＝1，f′(1)＝eq\f(1,2)，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，故D正确．故选AD.三、填空题12．(2025·江苏如东高级中学高三模拟)已知函数f(x)＝cos2x，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),Δx)＝________．答案：－eq\r(3)解析：由函数f(x)＝cos2x，可得f′(x)＝－2sin2x，所以eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),Δx)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,3)＝－eq\r(3).13．(2025·湖北鄂东南教改联盟校高三模拟)若曲线y＝eq\r(1＋2x)＋ex在点P(0，2)处的切线为l，则l在x轴上的截距是________．答案：－1解析：因为y′＝eq\f(1,\r(1＋2x))＋ex，所以切线l的斜率kl＝y′|x＝0＝2.则l的方程为y＝2x＋2.令y＝0，得x＝－1，故l在x轴上的截距是－1.14．(2025·云南昆明一中高三月考)已知A，B分别是曲线y＝lnx－eq\f(1,x)和直线y＝2x上的点，则线段AB长度的最小值为________．答案：eq\f(3\r(5),5)解析：平移直线y＝2x与曲线y＝lnx－eq\f(1,x)相切，设切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，lnt－\f(1,t)))，由y＝lnx－eq\f(1,x)，求导，得y′＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)，依题意，得eq\f(1,t)＋eq\f(1,t2)＝2，即2t2－t－1＝0，又t>0，解得t＝1，因此切点坐标为(1，－1)，所以线段AB长度的最小值为eq\f(|2×1－（－1）|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(3\r(5),5).15．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)|ex－1|.若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________．答案：(2ln2，＋∞)解析：因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（ex－1），x≥0，,\f(1,2)（1－ex），x<0，))则f′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ex，x>0，,－\f(1,2)ex，x<0，))若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，f′(x1)f′(x2)＝－1，且x1<x2，所以－a<x1<0<x2<a，则eq\f(1,2)ex2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ex1))＝－1，即ex1＋x2＝4，因为－a<x1＋x2<a，所以e－a<ex1＋x2<ea，所以eq\b\