2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第七节 余弦定理、正弦定理应用举例

第七节余弦定理、正弦定理应用举例课标解读考向预测能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.预计2026年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，难度中档.必备知识—强基础测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线eq\x(\s\up1(01))上方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq\x(\s\up1(02))下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ解三角形应用问题的步骤：题组一走出误区——判一判(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册6.4.3练习T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向答案：D解析：由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向．(2)(人教A必修第二册6.4.3例9改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m答案：A解析：在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故选A.(3)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)mC．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m答案：A解析：在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得PB＝eq\f(ABsin30°,sin∠APB)＝eq\f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以树的高度为30(eq\r(6)＋eq\r(2))sin45°＝30eq\r(3)＋30(m)．故选A.(4)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案：50eq\r(7)解析：连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，解得OC＝50eq\r(7).则该扇形的半径为50eq\r(7)m.考点探究—提素养测量距离问题如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10eq\r(3)km，基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km答案：D解析：在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，所以∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝10eq\r(3)，在△BCD中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°.由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(10\r(3)sin75°,sin60°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6)，在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝(10eq\r(3))2＋(5eq\r(2)＋5eq\r(6))2－2×10eq\r(3)×(5eq\r(2)＋5eq\r(6))cos75°＝500，所以AB＝10eq\r(5)，即基站A，B之间的距离为10eq\r(5)km.解决测量距离问题的基本步骤(1)确定解决问题所需要的三角形．(2)分析三角形中的已知量和未知量，将未知量放在另一个三角形中求解．(3)在确定的三角形中运用正弦定理或余弦定理求解．1.(2025·湖北名校高三模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2km到达B地，然后再从B地向北偏西60°骑行了2eq\r(3)km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5km到达D地，则A地到D地的直线距离是()A．8km B．3eq\r(7)kmC．3eq\r(3)km D．5km答案：B解析：如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，依题意，得∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC)＝eq\r(4＋12＋8\r(3)×\f(\r(3),2))＝2eq\r(7)，由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(ABsin∠ABC,AC)＝eq\f(\r(7),14)，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－eq\f(\r(7),14)，由余弦定理，得AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD)＝eq\r(28＋25＋2×2\r(7)×5×\f(\r(7),14))＝3eq\r(7).所以A地到D地的直线距离是3eq\r(7)km.故选B.测量高度问题湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为eq\f(3,2)，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为eq\f(π,3).已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为eq\f(π,3)，则该瀑布的高度约为()A．60m B．90mC．108m D．120m答案：A解析：根据题意作出示意图，其中tanα＝eq\f(3,2)，β＝θ＝eq\f(π,3)，AB＝20，在Rt△AOH中，tanα＝eq\f(OH,OA)，所以OA＝eq\f(2,3)OH.在Rt△BOH中，tanβ＝eq\f(OH,OB)，所以OB＝eq\f(\r(3),3)OH.在△AOB中，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcosθ，即eq\f(1,3)OH2＝eq\f(4,9)OH2＋202－2×eq\f(2,3)OH×20×eq\f(1,2)，解得OH＝60.所以该瀑布的高度约为60m．故选A.(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．2.圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7米，则表高(即AC的长)约为()A.eq\f(cos80.51°,7tan46.86°) B.eq\f(7tan46.86°,sin33.65°)C.eq\f(7sin33.65°sin80.51°,sin46.86°) D.eq\f(sin33.65°,7sin80.51°)答案：C解析：由图可知∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD中，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sin∠ABC)，得AD＝eq\f(7sin33.65°,sin46.86°).在△ACD中，AC＝ADsin∠ADC＝eq\f(7sin33.65°sin80.51°,sin46.86°).故选C.测量角度问题已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，则缉私艇朝________方向以________海里/小时的速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°≈\f(5\r(3),14)，sin22°≈\f(3\r(3),14)))答案：正北14解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，得∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(ACsin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD.故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船．(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．3.(2024·广东六校高三第二次联考)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇B正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，且要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为________小时，角α的正弦值为________．答案：2eq\f(5\r(3),14)解析：设红方侦察艇经过x小时后在C处拦截住蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理，得(14x)2＝122＋(10x)2－2×12×10x×cos120°，解得x＝2，故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理，得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点测量距离问题测量角度问题测量距离问题测量高度问题测量角度问题测量高度问题测量距离问题测量距离问题测量距离问题测量距离、角度问题测量距离问题测量距离问题测量高度问题测量距离、角度问题关联点两角差的正弦公式诱导公式两角和的正弦公式二倍角的余弦公式诱导公式一、单项选择题1.(2025·吉林长春高三模拟)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向的C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距eq\r(2)nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为()A.eq\r(2)nmile B．2nmileC．2eq\r(2)nmile D．3eq\r(2)nmile答案：B解析：由题意，知AB＝eq\r(2)，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以BC＝eq\f(AB,sin∠BCA)·sin∠BAC＝eq\f(\r(2),sin30°)·sin45°＝2.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2nmile.故选B.2.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B解析：由已知，得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.故选B.3.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为()A．20eq\r(3)海里 B．40eq\r(3)海里C．20eq\r(6)海里 D．40eq\r(6)海里答案：C解析：依题意，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，则A＝45°，而BC＝40，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sinA)，所以AC＝eq\f(40sin60°,sin45°)＝20eq\r(6)，所以此时船与灯塔A间的距离为20eq\r(6)海里．故选C.4.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案：B解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，则BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.5.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得AC＝100cm，BC＝100cm，AB＝180cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为()A．0.62 B．0.56C．－0.56 D．－0.62答案：A解析：如图所示，设弧AB对应的圆心是O，根据题意可知，OA⊥AC，OB⊥BC，则∠AOB＋∠ACB＝π，因为AC＝100，BC＝100，AB＝180，则在△ACB中，cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(1002＋1002－1802,2×100×100)＝－0.62，所以cos∠AOB＝cos(π－∠ACB)＝－cos∠ACB＝0.62.故选A.6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC为60m，则此时气球的高度为()A．15(eq\r(3)－1)m B．15(eq\r(3)＋1)mC．30(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m答案：B解析：在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°，BC＝60m，则∠ABC＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AC＝eq\f(60×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝30(eq\r(3)＋1)m，所以气球的高度为ACsin∠ACB＝30(eq\r(3)＋1)×eq\f(1,2)＝15(eq\r(3)＋1)m．故选B.7.(2025·陕西咸阳高三模拟)世界上最大的球形建筑物是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：EricssonGlobe)，在世界最大的瑞典太阳系模型中，由该体育场代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球．如图，某数学兴趣小组为了测得爱立信球形体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝120m，BC＝120m，CD＝80m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(结果精确到1m，参考数据：eq\r(7)≈2.646)()A．98m B．106mC．117m D．122m答案：B解析：如图，连接AC，AD，在△ABC中，AB＝120m，BC＝120m，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝120m，∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝60°，在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD，即AD2＝1202＋802－2×120×80×eq\f(1,2)＝11200，所以AD＝eq\r(11200)＝40eq\r(7)≈106(m)．8．(2025·山东临沂高三模拟)在同一平面上有相距14km的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18km外的同一目标，接着A改向西偏北eq\f(θ,2)方向发射炮弹，弹着点为18km外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为()A．7km B．8kmC．9km D．10km答案：D解析：依题意，设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝eq\f(θ,2)，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosθ，即182＝182＋142－2×18×14cosθ，解得cosθ＝eq\f(7,18)，所以cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝eq\f(7,18)，又θ为锐角，解得coseq\f(θ,2)＝eq\f(5,6)(负值舍去)，在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcoseq\f(θ,2)＝182＋142－2×18×14×eq\f(5,6)＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10km.故选D.二、多项选择题9．某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值是()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．6答案：AB解析：如图，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理，得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).故选AB.10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24nmileB．灯塔C与D处之间的距离是8eq\r(3)nmileC．灯塔C在D处的南偏西30°D．D处在灯塔B的北偏西30°答案：ABC解析：在△ABD中，由已知，得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，则∠B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24，所以A处与D处之间的距离为24nmile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，又AC＝8eq\r(3)，所以CD＝8eq\r(3).所以灯塔C与D处之间的距离为8eq\r(3)nmile，故B正确；因为AC＝CD＝8eq\r(3)，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B在D处的南偏东60°，所以D处在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选ABC.三、填空题11．海面上有相距10nmile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为________nmile.答案：5eq\r(6)解析：由题意，知A＝60°，C＝45°，AB＝10nmile，由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，得BC＝5eq\r(6)nmile.12．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°，60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米．答案：100eq\r(15)解析：由题意，得∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BC＝eq\f(\r(3),2)CD＝300eq\r(3)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(CD,sin60°)，所以AC＝eq\f(600,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝200eq\r(6).在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(200eq\r(6))2＋(300eq\r(3))2－2×200eq\r(6)×300eq