2026年高考数学复习讲义专题08 三角函数的图象与性质（解析版）

专题08三角函数的图象与性质目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点三角函数的图像和性质真题动向必备知识知识点1五点法作图知识点2三角函数图象与性质知识点3三角函数的周期性知识点4三角函数奇偶性知识点5三角函数对称性知识点6三角函数的图象变换命题预测题型1三角函数定义域题型2三角函数值域（最值）题型3三角函数的周期题型4三角函数的单调性题型5三角函数的奇偶性题型6三角函数的对称性题型7三角函数图象变换题型8根据图象求解析式题型9三角函数的实际应用题型10三角函数中参数ω的取值范围题型11三角函数中交汇问题命题轨迹透视三角函数图象与性质在高考中属于高频考点，考查形式灵活多样。选择题和填空题常单独考查，涉及图象的识别、变换（如平移、伸缩、对称），以及单调性、周期性、奇偶性、最值等性质的应用，该考点也常与三角恒等变换、解三角形等知识结合，有时还会融入实际问题，考查学生建模能力和利用性质分析问题的能力。这类题目综合性稍强，但整体难度仍处于中等水平，强调对知识的综合运用和逻辑推理能力的检验，是高考中得分的关键板块之一。考点频次总结考点2025年2024年2023年三角函数的图像和性质上海卷T5，4分上海卷T11，5分上海卷T14，4分上海卷T11，4分上海卷T15，5分2026命题预测预计在2026年高考中，结合往年命题规律，命制三角恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数y=Asin(wx+φ)的部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角恒等变换与三角函数图象与性质以解答题形式出现，分值为9分。考点三角函数的图像和性质1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．2．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，当时，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；对于C，若，则，若，则区间的长度，并且且，即且与矛盾，所以C不可能.故选：C3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为．【答案】【分析】利用余弦函数的单调性可得.【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为.故答案为：.4．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角．（结果用角度制表示，精确到）【答案】【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.【详解】如图，在处，，在处满足，（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），故设，则，由勾股定理，，解得，于是故答案为：5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则．【答案】【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.【详解】方法1：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，求导得，由，得，当时，，当时，，于是函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.方法2：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，由，得，即，其中锐角由确定，显然，而，则，当且仅当，即时取等号，此时，即，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.故答案为：知识点1五点法作图“五点法”作图原理：在正弦函数的图象上，五个关键点是：,在余弦函数的图象上，五个关键点是：，,知识点2三角函数图象与性质函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心对称轴方程无递增区间递减区间无知识点3三角函数的周期性函数周期函数周期函数()()()周期知识点4三角函数奇偶性三角函数取何值为奇函数取何值为偶函数()()()()()知识点5三角函数对称性(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(3)函数的图象的对称中心由)解得．知识点6三角函数的图象变换由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.方法一：（先平移后伸缩）的图象的图象的图象的图象方法二：（先伸缩后平移）的图象的图象的图象的图象注意：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量而言的，即图象变换要看“自变量”发生多大变化，而不是看“角”的变化．题型1三角函数定义域1．若函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数特征得到，求出的取值范围，得到定义域.【详解】由题意，得，即，故，则.故选：B2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数真数大于0得到，结合三角函数性质解三角不等式即可.【详解】由题意得：，即，则.故选：C.3．的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数定义以及正切函数的定义列出不等式组，根据正切函数的图象与性质解不等式即可得出答案.【详解】要使函数有意义，则应有.由正切函数的图象与性质解可得，，所以，函数的定义域为.故选：A.题型2三角函数值域（最值）4．函数的最大值为（

）A．1 B．2 C．-2 D．3【答案】B【分析】利用两角和的余弦值公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数，结合正弦函数的最值即可求解.【详解】因为，当，即时，，所以的最大值为2.故选：B5．已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数及二次函数求出值域.【详解】函数，而，则当时，有；当时，有，所以的值域为.故选：C6．函数的值域是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．【详解】∵，∴.∵在上是单调递增的．即∴函数的值域为.故选：C题型3三角函数的周期7．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出．【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，所以的最小正周期，又，所以．故选：C．8．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用辅助角公式将函数化简为单一正弦函数形式，再根据正弦函数的周期公式求解该函数的最小正周期.【详解】函数化简得，其中，，因为，正弦函数的周期公式为，所以函数的最小正周期是.故选：C.9．已知函数，则函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的周期性求解即可．【详解】，则函数的最小正周期为.故选：C题型4三角函数的单调性10．关于函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】A【分析】求函数的单调区间，再结合选项进行判断即可.【详解】由，可得，则函数的单调递减区间为，由，可得，则函数的单调递增区间为，在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误.故选：A.11．函数与函数的交点为，则函数的一个减区间是（其中）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用交点求出，利用正弦型函数减区间的求法即可得减区间.【详解】因为在上，所以；把代入可得或，；因为，所以，即，令，，解得，；当时，一个减区间为.故选：C12．把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平移的性质可得，进而利用整体法即可求解.【详解】由题意可得，令，解得，故单调递增区间为，故选：A13．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得.【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数，则有，解得，又因，故.故选：C.题型5三角函数的奇偶性14．若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.【详解】若0在定义域内，由时，得，；若0不在定义域内，由时，无意义，得．综上，．故选：C．15．若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数为奇函数得，即可得.【详解】由题设，则，显然时，而、、均不可能.故选：C16．已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象关于原点对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到的解析式，从而根据原点对称得到方程，求出答案.【详解】，的图象关于原点对称，则，，解得，，又，故当时，，满足要求，其他均不满足.故选：B题型6三角函数的对称性17．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值.【详解】由，知是的对称轴，故.解得,结合，得.故选：A18．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解．【详解】解析：平移后，，所以.所以，因为，所以最小值为.所以.故选：B19．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值.【详解】由，得，因此函数图象的对称中心为，而，则，，所以的最小值为.故选：D题型7三角函数图象变换20．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】根据函数图象的平移即可得解.【详解】因为，所以只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数的图象.故选：A21．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平移规则即可求解.【详解】由题意：，故选：D22．若函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求平移后的函数的解析式，再根据其图象关于轴对称列方程求的最小值.【详解】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，由关于轴对称，则，，即，，而，所以的最小值为.故选：B.23．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正切型函数的图象平移变换可得到的解析式，求出的对称中心横坐标的表达式，即可求得答案.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即，令，即，当时，，即的图象的一个对称中心是，ACD中的，，，取不到，故选：B题型8根据图象求解析式24．已知函数的部分图象如图所示，则（）A．3 B．4 C． D．2【答案】A【分析】结合图象求出周期，进而利用可得结果.【详解】由题图知，即，所以，又，则.故选：A25．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象，求得，得到，再由点在函数的图象上，求得，进而求得的解析式，得到答案.【详解】由函数的图象，可得，所以，则，所以，又由点在函数的图象上，可得，即，所以，因为，所以，所以所求函数的解析式为.故选：B.26．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据函数图象确定振幅、周期，进而求出，再利用图象上的点求出初相，最后得函数表达式.【详解】由图可知．设的最小正周期为，则，解得．由，解得，则，将点代入方程中，得，所以，，解得，．因为，所以，所以题型9三角函数的实际应用27．随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】由题意可列出不等式，结合余弦函数的性质求解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知,令,即得,解得，解得，结合，可知当时，，即k取6，7，8，9，10，即一年中是“旺季”的月份有5个月，故选：C28．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（

）（参考数据，，，，．）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，列式计算出，再由计算即可.【详解】由，且天顶距，晷影长，得，当晷影长度时，，所以.故选：B29．近日重庆气温波动较大，假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解.【详解】依题意，解得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以.故选：A30．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可.【详解】依题意，设关于的函数解析式为，由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得，由转一周大约需要，得，解得，又当时，，即，而，解得，因此，或，A正确，BCD错误.故选：A31．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数知识得到方程，求出.【详解】由图可知，，故，解得.故选：B.题型10三角函数中参数ω的取值范围32.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，要使得函数在区间上单调递减，则满足且，解得，即的取值范围是.故选：D.33.已设函数.若对任意的实数都成立，则的最小值为A． B． C． D．1【答案】C【解析】函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，解得，则ω的最小值为：．故选：C.34.函数在上有唯一的极大值，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：当时，，因为函数在上有唯一的极大值，所以函数在上有唯一极大值，所以，，解得，故选C方法二：令，，则，，所以，函数在轴右侧的第一个极大值点为，第二个极大值点为，因为函数在上有唯一的极大值，所以，解得.故选：C35.已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由条件可知，，所以，，当时，，若函数在区间上恰有2个零点，则，解得.故选：D36.知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（）A．B．是函数的一条对称轴C．的对称中心为D．在的值域为【答案】ACD【解析】对于A,由题意得,则,所以,故正确;对于时,,故B错误;对于C,由,解得,所以函数的对称中心为，故正确;对于时,,所以当，即时，,当，即时，,所以,故正确.故选:.08三角函数