2026年高考数学复习讲义专题15 圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳）（原卷版）

专题15圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳）目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点离心率问题真题动向必备知识知识1椭圆的几何性质知识2双曲线的几何性质命题预测题型一定义法求解离心率题型二用正弦定理求解离心率题型三用余弦定理求解离心率题型四用双余弦定理求解离心率题型五利用点差法求离心率题型六焦点三角形双角度型求离心率题型七利用几何性质求离心率题型八坐标法求解离心率题型九椭圆和双曲线共焦点型离心率问题题型十离心率的取值范围问题命题轨迹透视1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。命题常通过以下形式呈现：几何条件转化型：题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于a,b,c的等量关系，进而求解e。方程思想型：通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。不等式求范围型：题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。2026命题预测预计在2026年高考中，离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于：与平面几何的结合：深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。与向量的结合：利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合：将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。探索创新情境：在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。考点离心率问题1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．6．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．,7.（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8.（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．9.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．10.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．知识1椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),_B1(－b，0)，B2(b，0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)【知识拓展】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.知识2双曲线的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【知识拓展】1.双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．2.等轴双曲线的离心率为eq\r(2)，渐近线方程为y＝±x.3.双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．4.焦点到渐近线的距离为b.题型一定义法求解离心率1．已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是．2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（

）A． B． C． D．3.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，若的最大值为5，则C的离心率为（

）A． B． C． D．4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．题型二用正弦定理求解离心率5.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．题型三用余弦定理求解离心率8.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，，且，，则椭圆的离心率为.9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是.10.已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是．题型四用双余弦定理求解离心率11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设的离心率为，则.13.已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为．14.如图，已知分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点，以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为.题型五利用点差法求离心率15.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线l交E的两条渐近线于A，B两点，且，则（

）A． B． C． D．16.斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．17.过第一象限内椭圆C：上一点P作三条直线，，，过原点并交C于另一点A，轴于点H，交C于另一点B，若直线AB平分线段PH，

则C的离心率为（

）A． B．C． D．题型六焦点三角形双角度型求离心率18.已知、分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．19.设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．20.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．21.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．22.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．题型七利用几何性质求离心率23.已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为.24.已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为.25.已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．26.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．题型八坐标法求解离心率27.已知椭圆上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，，则椭圆的离心率为.28.已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．29.已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．30.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．题型九椭圆和双曲线共焦点型离心率问题31．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为.32．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是.33．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十离心率的取值范围问题34.已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是