2026年高考数学专题专练专题04 三角函数的图像与性质（原卷版）

专题04三角函数的图像与性质目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01三角函数的定义域题型02三角函数的最值与值域题型03三角函数的奇偶性题型04三角函数的单调性题型05三角函数的周期性题型06三角函数的对称性题型07三角函数的零点题型08三角函数的图像题型09三角函数的应用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是；（填写你认为正确的序号）①；②③；④；如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点A，B，C，D恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边EF，FG，GH，HE分别经过点A，B，C，D，则该展览区的最大面积约为平方米（精确到1平方米）．某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状､大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示(单位：)，其中斜截面与底面所成的角为，将其中一个斜截圆柱的侧面沿剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线是函数的图像，其中，，如图2所示.（1）若，求的解析式；（2）已知函数的图像与x轴围成区域的面积可由公式计算，若制作该种该类弯管的一截圆管所用材料面积(即斜截圆柱的侧面积)等于与之底面相同且高为的圆柱的面积，求的值(结果精确到).01三角函数的定义域1．函数的定义域是．2．函数的定义域是.3．下列函数定义域为的是（

）A． B． C． D．02三角函数的最值与值域1．函数在区间上的值域是．2．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是.3．已知函数．则函数的值域为．4．若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是.5．已知函数，若对于任意实数都有和成立，则的最小值为.03三角函数的奇偶性1．下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．2．若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为；3．函数的图象关于轴对称，则的值是．4．已知，，设.(1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围.04三角函数的单调性1．函数的单调递增区间是.2．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则．3．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为.4．已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是．5．已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值.05三角函数的周期性1．若，则函数的最小正周期为．2．函数的最小正周期为．3．下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．4．已知.(1)的周期是，求，并求此时的解集；(2)已知，，，求的值域.06三角函数的对称性1．已知函数为偶函数，则的对称中心为（

）A． B．C． D．2．设函数（其中，），若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为，则的解析式为（

）A． B．C． D．3．设，函数图象的一条对称轴为，则.4．若函数对任意实数x都有，则5．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为.07三角函数的零点1．函数在区间上的零点是.2．若函数的一个零点是，则函数的最大值为3．函数的零点个数为4．已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则.5．设函数的零点为，若成等比数列，则.08三角函数的图像1．如图是函数，，的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数的图像（

）

向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位2．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则.3．把关于的函数的图像向左平移，可得函数的图像，则的值为.4.设函数（其中，），若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为，则的解析式为（

）A． B．C． D．5．如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为．09三角函数的应用1．已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为

2．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件具体写出关于的函数表达式：(2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？3．如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，为了方便市民出行，要求公园到的距离为.设.(1)试求的长度关于的函数关系式；(2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离.4．图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.

(1)求屋顶面积S关于的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低?

1．下列函数中，值域不为的函数是（

）A． B．C． D．2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（

）A． B． C． D．3．下列函数中，周期为的奇函数是（）A． B．C． D．4．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（）A．6 B．12 C．18 D．245．将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（

）A． B． C． D．6．函数的最小值为.7．函数的值域为．8．函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是.9．已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为．10．函数的最小正周期是；在上的单调增区间为.11．设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则．12．已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为.13．如图，已知函数（）的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则．

14．设常数，函数.(1)若为偶函数，求a的值；(2)若，求函数的值域.11．已知是常数，若函数图像的一条对称轴是直线．则的值不可能在区间（

）中．A． B． C． D．12．函数在上的零点个数记为，若，则的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．13．已知函数的图像与直线的相邻三个交点的横坐标分别为1，3，4，下列区间是函数的严格减区间的是（

）A． B． C． D．14．已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（

）A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题15．已知，若两个不等的实数满足且的最小值为，则.16．已知函数，.对任意，存在，，使得，则实数的取值范围是.17．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为.

18．若，函数的值域为，则的取值范围是.19．已知函数的部分图像如图所示，则满足条的最大负整数x为．20．若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是.21．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是．22．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为23．已知的最小正周期为．(1)求的值以及函数的单调减区间；(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．24．设函数的表达式为，其中.(1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围；(2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期.25．函数，其中.（1）讨论的奇偶性;（2）时，求证：的最小正周期是；（3），当函数的图像与的图像有交点时，求满足条件的的个数，说明理由.26．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．(1)求秒钟