2026年高考数学专题专练专题07 等差数列与等比数列基础专题10大题型（解析版）

专题07等差数列与等比数列基础专题目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01等差数列通项公式的基本量计算题型02等比数列通项公式的基本量计算题型03等差数列前n项和题型04等比数列前n项和题型05等差中项的应用题型06等比中项的应用题型07等差数列中的最值问题题型08等差数列的判定题型09等比数的判定题型10等差、等比数列新定义问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.（等差数列通项公式的基本量计算）5．在等差数列中，，公差，，则．【答案】【解析】因为等差数列中，，公差，所以数列的通项公式，又，所以，解得.2.（等比数列通项公式的基本量计算）已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为．【答案】/0.25【解析】设等比数列的公比为，因为各项均为正数，若，，则，故该等比数列的公比为.3.（等差数列前n项和）7．若等差数列的前项和为，已知，则．【答案】26【解析】设数列的公差为，，则，故．4.（等比数列前n项和）在等比数列中，，，则【答案】8或【解析】设等比数列公比为，由题意，.所以或.又.当时，；当时，.5.（等差中项的应用）已知构成等差数列，则实数的值为.【答案】/【解析】因为构成等差数列，所以，解得.6.（等比中项的应用）．为等差数列的前项和，，则与的等比中项为.【答案】【解析】因为为等差数列，且，所以，所以，解得，所以与的等比中项为.7.（等差数列中的最值问题）11．在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则【答案】【解析】设公差为，则得，解得，，由，，即，∴取得最大值时，．8.（等差数列的判定）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则，对于①，因，，则为常数，故是等差数列；对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列；对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列；对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列.即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个，故选：C.9.（等比数的判定）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；故选：D10.（等差、等比数列新定义问题）对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题【答案】C【解析】由题意，对命题①，设数列的公比为.因为数列具有性质，所以对任意，也即.因此数列严格增，故①是真命题.对命题②，设等差数列的首项为.对每个使得数列不具有性质的正整数，存在正整数，使得则，从而因为是定值，所以当无限增大时，得到.故②是真命题.故选：.01等差数列通项公式的基本量计算1．设等差数列的前项和为，若，则.【答案】6【解析】设等差数列的公差为，由，可得，解得，则.2．已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差.【答案】2【解析】因为等差数列的首项，前6项的和为12，所以，解得，3．记为等差数列的前项和，若，，则.【答案】【解析】因为，所以，解得.4．已知等差数列满足，，则．【答案】4【解析】由题意有，又，，所以.02等比数列通项公式的基本量计算5．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，，由，且，，成等比数列，知，化简得，所以或（舍去），则.6．已知等比数列中，，则等比数列的公比．【答案】2或【解析】因为，所以，故，即，化简得，解得或，7．已知数列满足，则.【答案】【解析】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列，根据等比数列的性质，可得，因为，可得，所以.8．若是各项均为正数的等比数列，且，，则.【答案】【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，因为，，所以，解得或（舍去），所以.9．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比.【答案】【解析】设等比数列的公比为，因为，当时，则，所以，则，不符合题意；当时，则，，所以，所以，即，所以，解得或（舍去）；综上可得.03等差数列前n项和10．已知为等差数列，为其前项和，若，，则.【答案】121【解析】依题意得：，解得：，由等差数列的前项和公式得：.11．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则．【答案】【解析】.12．已知等差数列的公差，且，则．【答案】【解析】由公差，且，得，即，解得，则.04等比数列前n项和13．已知等比数列的首项为1，公比为，则.【答案】2【解析】等比数列的首项为1，公比为，则.14．已知各项均为正数的等比数列满足，则.【答案】7【解析】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即，所以.15．设等比数列的前项和为，若，，则．【答案】【解析】等比数列的前项和为，，，，，，．16．各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则．【答案】30【解析】法一：第一步：利用等比数列前项和的性质．成等比数列．第二步：应用等比中项列出方程求解．，即，解得或（舍去），同理可得．法二：第一步：设出首项和公比．设等比数列的首项为，公比为q，由已知可得．第二步：列出方程组求出整体和．，两式相比得，解得或（舍去），．第三步：代入等比数列前n项和公式求出．.05等差中项的应用17．若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为.【答案】1【解析】由条件可知，，则.18．在，角、、依次成等差数列．若，角的值为.【答案】【解析】在，角、、依次成等差数列，则，由三角形的内角和定理可得，可得，，整理可得，因为，故.19．设，若与的等差中项是2，则的最小值为【答案】【解析】因为与的等差中项是2，可得，即，可得，又由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.06等比中项的应用20．若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为.【答案】【解析】由题意为等差数列的前项和，，则由等差数列前n项和的性质得，解得，则与的等比中项.21．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是．【答案】或【解析】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，联立得到，解得或．当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意；当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意．综上所得，x、y的值分别是或．22．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式．【答案】【解析】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），所以.23．已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则．【答案】【解析】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，.又，，而.07等差数列中的最值问题24．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为．【答案】【解析】设等差数列的公差为，，，解得，，所以当时，取得最大值为.25．是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的.【答案】10【解析】由，得，，又，所以数列为递减数列，且，，所以当时，取得最大值.26．已知数列满足，则数列的前项和为取最小值时，的值=.【答案】4【解析】因为，则数列为公差为2的等差数列，则，则当时，取得最小值.27.设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．或为的最大值【答案】C【解析】由可得，即，故B正确；因为，所以，即A正确；因为，，故，即C错误；因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确.故选：C.08等差数列的判定28．已知数列满足，，则的值为（

）A．1000 B．1013 C．1011 D．1012【答案】D【解析】由，得，所以是等差数列，首项，公差，所以，所以.故选：D.29．已知数列满足，那么（

）是等差数列A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，∴，，故，即有，故数列是等差数列.故选：D30．现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故③正确.故选：C09等比数的判定31．“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（

）A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既不充分又非必要条件．【答案】B【解析】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列，由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”，故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件.故选：B32．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】角的终边不在坐标轴上，有，，，，对于A，令，则，，即，A不是；对于B，令，则，即，B不是；对于C，令，则，于是，即，C不是；对于D，，则，则一定成等比数列，D是.故选：D33．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】成等比数列，设公比为，则均不为0，且，，故成等比数列，且公比为，因此成等比数列，且公比为，，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列，故选：C10等差、等比数列新定义问题34．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为．【答案】【解析】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，依题知，，，，，叠加可得：，整理得，当，，满足，所以，所以，当且仅当时，即，时等号成立，又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，当时，，所以最小值为.35．若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为．【答案】5或4【解析】由于，是公差为的等差数列，故，单调递减，所以，故，则，．又，故，即，由等差数列前项和公式有，化简得，解得或．36．对于数列，若存在实数，使得对任意正整数都成立，则称数列是线性数列，则对于:①等差数列一定是线性数列；②等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（

）A．①正确②正确 B．①正确②错误C．①错误②正确 D．①错误②错误【答案】A【解析】数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故①正确；数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，故②正确；故选：A37．已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（

）.A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【解析】，又，所以，对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意，对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意，对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意，对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意.故选：B.1．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差．【答案】【解析】②，②①可得，，即，2．设正项等比数列中，，若依次成等差数列，则.【答案】27【解析】由等比中项的性质可知，，又成等差数列，则.3．已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式.【答案】【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的性质可知，由可得，所以公差，所以数列的通项公式.4．在等比数列中，，，则．【答案】10【解析】设等比数列的公比为，因为，解得；当，又，则，解得，不符合题意；当时，又，则，解得，符合题意．综上可得．5．已知数列的前项和为，且，则【答案】57【解析】在数列中，由，得，而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，所以.6．已知等比数列的前项和为，若，则.【答案】【解析】设等比数列的首项为，公比为，若，则，所以.由，得，即，所以，解得，则.7．已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（

）A． B．27 C．81 D．或81【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或，又数列为递增等比数列，所以，所以.故选：C.8．已知递增的等比数列满足，，则的公比（

）A．6 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由，，解得或，因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以.故选：B.9．已知等差数列的前项和为，，且，则（

）A．24 B．20 C．16 D．12【答案】B【解析】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差，化简得，解得.所以.故选：B.10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（

）A． B．11 C． D．13【答案】B【解析】由可得，解得，则，由可得，解得.故选：B.11．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则．【答案】【解析】因为数列，，为等差数列，所以，即，所以，化简可得，当时，，解得；当时，，此时无解；当时，，解得，不合题意；综上，.12．已知为无穷等比数列，，数列满足，则．【答案】【解析】设的公比为，为无穷等比数列，则当时，，，，化简整理得，解得或（，舍去），，，是首项，公比的无穷等比数列，．13．已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则【答案】【解析】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知，所以，因为是等比数列，其通项满足，公比的平方（若则，不符题意），所以与同号，故,又因为，综上可得.14．等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则.【答案】【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，所以，整理得到，所以，15．设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则．【答案】【解析】设等差数列的公差为，因为，且，可得，解得，所以.16．从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数的，再取出往后数到3的数，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么的最后一项是（

）A．6 B．990 C．999 D．1000【答案】B【解析】由题知：，则，，所以的最后一项是990，故选：B.17．若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（

）A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【答案】D【解析】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在；对于②，构造等比数列，令，则，，故为递增数列.由等比数列前项和公式得，因为，所以，取，则对于任意的都有.综上分析，可知①错误，②正确.故选：D.18．设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（

）A．无穷 B．4个 C．3个 D．1个【答案】C【解析】因为长为的线段均能构成三角形，所以.由，有，即，若，则对任意的都成立。若，则，而当时，有最大值.要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数.由，有，即，所以，因，当时，有最大值.要使任意的都有，即要，解得.由，有，即，若，则对任意的都成立。若，则，当时，有最小值.要使任意的都有，即要，解得.综上，，所以满足条件的