勾股定理的逆定理第2课时勾股定理逆定理的应用课件沪科版数学八年级下册

18.2勾股定理的逆定理第18章

勾股定理沪科版

八年级下册第2课时

勾股定理逆定理的应用回顾旧知勾股定理(毕达哥拉斯定理)：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如果直角三角形的两直角边用

a，b

表示，斜边用

c

表示，那么勾股定理可表示为

a2+b2=c2.ABCbac已知其中任意两边勾股定理的主要作用是：①直角三角形中，可以求出第三边.如果知道一边的长度，

和另外两边的关系时，②在直角三角形中，可以运用勾股定理列方程来求另外两边.

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理回顾旧知教材例题知识点

勾股定理的逆定理的应用例1

已知：在△ABC中，三边长分别为a=n²-1,b=2n，c=n²+1(n>1).求证：△ABC为直角三角形.证明：∵a²+b²=(n²-1)²+(2n)²

=n4-2n²+1+4n²

=n4+2n²+1

=(n²+1)²

=2，∴△ABC为直角三角形.根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形.教材例题例2

如图，营地A与哨所B相距10

km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6

km到达河边C处让马饮水，再走8

km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗?解由题意，得AB=10

km，AC=6

km，BC=8

km，∵6²+8²=10²，∴AC²+BC²=AB².∴∠ACB=90°.又∵AD//PO，∴∠ACP=∠DAC=34°.∴∠BCQ=180°-90°-34°=56°.答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处.勾股定理的逆定理在实际生活中的应用.例

如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？12NEP

QR例题解读分析：1.求“海天”号的航向就是求

的角度.∠22.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的角度即可.3.根据已知条件可求出三边，利用勾股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角.12NEP

QR例题解读解：根据题意得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.

NEP

QR12例题解读课堂小结勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形应用航海问题与勾股定理结合，解决不规则图形等问题

1.

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，

b，c，且（a－c）（a＋c）＝b2，则（

A

）A.

∠A＝90°B.

∠B＝90°C.

∠C＝90°D.

不是直角三角A随堂练习2.

一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么以ak，

bk，ck（k＞0）为三边长的三角形是（

A

）A.

直角三角形B.

锐角三角形C.

钝角三角形D.

等边三角形A3.

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝

1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是直角三角形.理由如下：∵a＋b＝7，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝49－2＝47.∵c2＝47，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.4.

（2025·合肥长丰期中）明明在玩摆木棒游戏，下列长度的

木棒中，可以构成直角三角形的是（

D

）A.2，3，4B.3，4，6C.6，7，11D.5，12，13D5.

如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变

形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量

点A和点C间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的

依据是（

C

）A.

勾股定理B.

三角形内角和定理C.

勾股定理的逆定理D.

直角三角形的两锐角互余C6.

【新情境·数学文化】南宋时期著名数学家秦九韶的著作

《数书九章》里记载了这样一道题目：“今有沙田一块，有三

斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田

几何？”其大意是有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈、

24丈、25丈，这块沙田的面积是

平方丈.（丈：古代长

度单位）84

7.

（教材P60例3变式）如图，一艘轮船以16海里/时的速度离

开港口点O，向北偏东40°方向航行，行驶轨迹为OA，另一

艘轮船同时以12海里/时的速度从港口点O向北偏西的某个方向

航行，行驶轨迹为OB.

已知它们离港口1.5小时后相距30海里

（即AB＝30海里），则另一艘轮船航行的方向是

⁠

⁠.北偏西40°

8.

如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB＝250

m.现要为

喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB

的距离MN＝120

m，到喷泉B的距离BM＝150

m.（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

8.

如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB＝250

m.现要为

喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB

的距离MN＝120

m，到喷泉B的距离BM＝150

m.（2）求出喷泉B到小路AC的最短距离.解：（2）∵AB＝250

m，AM＝200

m，BM＝

150

m，∴1502＋2002＝2502，∴AB2＝BM2＋

AM2，∴△ABM是直角三角形，∴BM⊥AC，

∴喷泉B到小路AC的最短距离是150

m.9.

某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街

的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB＝9

m，BC＝12

m，CD＝17

m，AD＝8

m，技术人员通过测量确

定了∠ABC＝90°，则这片绿化地的面积是

m2.114

11.

（2025·合肥四十二中期中）如图，某湿地公园有一块四边

形草坪ABCD，公园管理处计划修一条点A到点C的小路，经

测量，∠ADC＝90°，AD＝7

m，DC＝24

m，AB＝20

m，

CB＝15

m.（1）求小路AC的长；

11.

（2025·合肥四十二中期中）如图，某湿地公园有一块四边

形草坪ABCD，公园管理处计划修一条点A到点C的小路，经

测量，∠ADC＝90°，AD＝7

m，DC＝24

m，AB＝20

m，

CB＝15

m.（2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗从

点B开始以1.5

m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，小狗需要跑多少秒，在小路CA上与淇淇的距离最近？

12.

（教材P68复习题B组T6变式）（1）如图1，O是等边三角

形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，

OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接

OD.

①线段OD的长为

⁠；②求∠AOB的度数.4

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°.∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，OB＝4，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，BO＝BD＝4，∴△BOD为等边三角形，∴OD＝4.故答案为4.②根据题意可知，CD＝OA＝3，∠AOB＝∠CDB.

∵在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∴32＋42＝52，即CD2＋OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，且∠ODC＝90°.∵△BOD为等边三角形，∴∠ODB＝60°，∴∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝60°＋90°＝150°，∴∠AOB＝150°.12.

（教材P68复习题B组T6变式）（1）如图1，O是等边三角

形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，

OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接

OD.

（2）如图2，O是等腰直角三角形ABC（∠ABC＝90°）内一

点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到

△BCD，连接OD.

当OA，OB，OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明.解：（2）当OA2＋2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°.证明如下：根据题意