导数的综合-讲义（教师版）

1导数的综合一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值．2．掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题．3．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．4．掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．【备注】【备注】【教师指导】1.本讲的重点是掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值、掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题、熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题、掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．难点是掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题、熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题、掌握利用导数求解函数的零点与交点问题.2.本讲的关联知识是函数的基本性质、基本初等函数、三角函数.二、知识讲解1.利用导数求函数的单调性知识精讲求函数单调区间的方法步骤:（1）确定函数f()的定义域；（2）求出导函数f'(a)解析式，解方程'()=0，求出该方程在定义域内的一切实根；（3）把定义域端点和导函数零点按照由小到大的顺序排列在数轴上，将f(e)的定义域分割成一系列区间；（4）考察各个小区间上f'(z)的符号，根据符号判断相应区间上的单调性．注意：求函数单调区间注意书写规范，最后总结：函数的单调增区间是......，函数的单调减区间是.......经典例题1.已知函数f()=2(a+1)n(z+1)．2（1）求函数f()的单调区间．（2）经过点作函数图象的切线，求该切线的方程．【备注】【备注】【教师指导】本题考察简单的利用导数求函数单调区间问题及求切线问题e时，函数单调递增．故,则e时，函数单调递减；e时，函数单调递增．+2,o十解得故切线方程为【标注】【知识点】求过某点的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区间-)时，函数单调递减；1)+2=2冰n(a+1)+1f'(x)=2n(a+++1)+2lnn(a+yYlnln(+2ln,则,即yy故取 22yff+f十十十2221,,,,,巩固练习2.已知函数（为自然对数的底数）．（1）求函数f()的单调递增区间．（2）求曲线在点处的切线方程．（2）2ez-y-e=0∴f'()=(a+1)e"，令f'(q)>0，解得：z>-1，∴函数f(ar)的单调递增区间是(-1,+o)．3∴曲线∴曲线在点处的切线方程为y-e=2e(r-1)，即2ear-y-e=0．【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用；求在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区间2.利用导数求函数的极值与最值知识精讲求函数y=f()极值的方法：（2）求导数；（3）解出方程f'()=0在定义域内的全部实根；（4）检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：①如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；②如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；③如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．【备注】【备注】【教师指导】极值是一个局部性的概念，必须在函数定义域内的连续点处取得，而且只能反映出极值点附近的函数值分布情况，那么完全可以产生这样的效果：存在某些函数，它的极大值反而小于极小值.知识点睛（1）对于函数定义域内的某个点zo来说，该点为极值点的充分条件是函数在这点的两侧导数异号，必要条件是f'(a0)=0；（2）判断函数的极值点，不能单单依赖于导数，还需要考察定义域内的不可导点，此时需要从极值的定义出发．知识精讲求函数y=fr)最值的方法：若函数在上连续，在(a,b)上可导，求其最值的步骤如下：（1）求出函数在上的极值；（2）将所求的若干极值与和比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．4知识点睛（1）求最值时，定义域如果是全体实数与开区间，不用考虑端点值；定义域如果不是开区间，需考虑端点值；（2）在给定范围求参，如果范围的两个端点是常数，做题方法就是求在区间的单调性、比较端点值即可；（3）如果给的端点值是含参的，需要进行分类讨论：首先求得函数得单调区间，将所给范围放在不同得单调区间进行讨论及所给区间夹得极值点范围．经典例题3.已知函数．（1）求在点处的切线方程．（2）求f()的极值．【备注】【备注】【教师指导】本题考察简单的利用导数求函数的极值问题以及指数函数的图象与性质【答案】（1）y=(e-1)z+1．（2）f(z)有极小值f(0)=2．设所求切线方程的斜率为，则，又f1)=e，故所求切线方程为：y-e=(e-1)(ar-1)，即y=(e-1)a+1．故函数在单调递减，在(0,+)单调递增，zc=0时，函数f()有极小值f(0)=2．【标注】【知识点】求解函数极值；导数的几何意义；求在某点处的切线方程巩固练习4.已知函数，为的导函数．（1）求曲线在点处的切线方程．5的单调区间和极值．的单调区间和极值．Y【答案】（1）y=9z-8．Y<<+>（2）当时，在区间(0,1)上单调递减，当时，在区间(1,+o)上单调递增，g()的极小值为g(1)=1，无极大值．<<+>∴2f3,,又ff3∴曲线处的切线方程为：在点ffYY,∴y23ln33十—23ln3十,3r223∴43232232222十232222332上单调递减，在区间时，∴当<<<,上单调递增，在区间时，当>>,33有极小值,无极大值．∴∴2f3,,又ff3∴曲线处的切线方程为：在点ffYY,∴y23ln33十—23ln3十,3r223∴43232232222十232222332上单调递减，在区间时，∴当<<<,上单调递增，在区间时，当>>,33有极小值,无极大值．∴【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数的几何意义；求在某点处的切线方程5.已知函数的图象经过点且在处，取得极值．求：f)的解析式．（2）f)的单调区间．（2）单调递增区间为和，单调递减区间为(-1,1)． 6∵f'()=3azr2+b，由f'(1)=3a+b=0，a+b=-4aa+b=-4a=23a+b=0b=-6∴f(0)=28-6z+1．∴由得或，∴f(r)的单调递增区间为和，∴f(r)的单调递减区间为(-1,1)．【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；已知极值情况求函数解析式3.利用导数研究含参函数的单调性、极值与最值知识精讲直接求解含参函数的单调性、极值与最值：（1）对函数y=f(ar)求导、合并、整理；（2）针对函数含参导数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；（3）将函数y=f(ar)的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．知识点睛求解含参函数的思想方法：(1)求导之后，观察导函数的函数类型、画出草图、判断函数的单调性.(2)二次型含参函数①首先观察参数是否在二次项上，如果在二次项上需要先对二次函数的开口方向进行一次分类讨论及参数为零的情况，然后根据图象画出草图判断函数的单调性．②导函数是二次函数时求解根时主要两种：能因式分解与不能因式分解（利用求根公式及配方法求根），在不能因式分解时需要首先应用判别式Δ来判断是否有根．(3)当导函数是一次函数并且参数在一次项上，分类讨论注意参数为零的情况．(4)当函数出现对数函数，注意定义域的判断．给出已知区间的最值或极值而逆向求参：做题思路：①先对单调性进行分类讨论；7②再以极值点与端点进行分类讨论，确定每种情况的最值；③最后与题目条件结合，判断参数的解值是否可取．经典例题求的单调区间．含参函数，注意对参数不同范围进行分类讨论【答案】（1）当时，单增区间是；单减区间是；当时，；单减区间是；22单增区间是；单减区间是；22 ；单减区间是， ；单减区间是，①当时，，,单调递增，,单调递减；②当时，由或，或，单调递增f(ar)单调递减；2③当时单调递增，或，单调递减；综上：当时，单增区间是；单减区间是(-,0)；22当时，单增区间是单减区间是2f单增区间是；f单减区间是，2+.+【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；已知单调性求参数的取值范围7.已知函数是自然对数的底数．（1）若函数在处取得极值，求a的值及f(z)的极值．（2）求函数在区间上的最小值．8此题同样对参数进行分类讨论，注意参数在不同范围，对导函数的影响,的极值为-e"≤1,fr)s=1≤1,fr)s=1<a<e,f(a)as=e"-a'．>e,f(r)as=e-a∵在处取得极值，∴f'(2)=e'2-a=0，2∴Q=e，∴f(2)=ef-e'x2=-e2，∴f(z)的极值为-e"．①时，恒大于0，∴在上单增，∴f(ar)as=f(0)=1；②a>0时，令f'(x)=0，,∴z=lna,,∴在上单增，,∴f(2)i=1；在上单减，∴fr)as=e-a；在单减，[a,e)单增，(a≤1,f(ar)as=1综上：．la≥e,f2r)s=e-a【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知极值情况求函数解析式巩固练习9求函数f(ar)的单调区间．,无单调增区间；时，单调减区间：≥,无单调增区间；时，单调减区间：≥44时，和f单调减区间：时，和f242√1+1-4m√2,21+11+1-4m1-v1-4m;2224m单调减区间：'2,m≤0时，f(z单调减区间：'2,1-v1-4m单调增区间：2f<>f<>,,,2<Y,,令2<Y,,≥4恒成立，≤m①m-时，由图可知：≥4恒成立，≤mf≤恒成立，f≤f在定义域内单调递减．f②m时，②m42有两根，记为22,22f1+v1-m11-v1-m，解得11-v1-m，2由图可知：当时单调递减；时单调递增；时单调递减．③m≤0时，1-v1-4m,2g(x)=m有唯一根，记为，且由图可知：,2当时单调递减；时单调递增，综上所述，当时，在定义域内单调递减，单调减区间：(-oo,1)，无单调增区间；4和fm42时，单调减区间：和fm424十42,241+1-4m4;单调增区间：;2224m时，fm≤,单调减区间：时，fm≤,4单调增区间：2【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与极值求函数f(ar)的单调区间．单调递减区间为4'4a-va2-16a+va2-16),-16，a-va-'42,,当即时，,即，∴函数f(r)单调递增区间为(0,+o)，当即或时，_a-vd2-16_a+vd2-16W1，_a-vd2-16_a+vd2-1644∴,即，∴函数f(r)单调递增区间为(0,+o)，∴函数f()的单调递增区间为(0,z1),(rz,+o)，单调递减区间为(1,z2)，综上，当a≤4时，函数f(r)单调递增区间为(0,+o)，当a>4时，函数f(x)的单调递增区间为a+va2-162a-va-a+va2-162,4'4,,4'4单调递减区间为--",【标注】【知识点】导数与极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与最值；利用导数解决不等式恒成立问题10.已知函数f(a)=a2e"-1(a*0)．求函数f(ar)的单调区间．【答案】【答案】（1）当a>0时，函数f(a)的单调递增区间为和，单调递减区间为,当时，函数f(ar)的单调递增区间为(-2,0)，单调递减区间为和．【解析】（1）f'(a)=2az·e"+a2.e"=ae"z(z+2)，当a>0时，令得或，令得，∴函数f(ar)的单调递增区间为和，单调递减区间为(-2,0)，当a<0时，令得，令得或，∴函数f(r)的单调递增区间为(-2,0)，单调递减区间为和，综上所述，当a>0时，函数f(r)的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，函数f(r)的单调递增区间为(-2,0)，单调递减区间为和．【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念；已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、单调区间4.利用导数研究函数的恒成立问题知识精讲（2恒成立（3恒成立（4恒成立HIf(x)-g(2)la<0双函数型（1恒成立今f()ai>g(z)as（2恒成立今f(r)as<g(r)a方法提升(1)整体函数构造法：转化为求含参的函数的最值问题求解.构造法属于常用及通用方法，解题思路将所给不等式构造成左边为含参函数右侧是常数，通常是零，将左侧设计成函数,根据题意求解最值，恒>(<)常数．(2)参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解．①解题思路：将所给不等式变形,将参数分离出来，使参数在不等式左侧,其他项移到右侧，右侧形成新的函数，根据题意求解最值，判断参数的范围.②参变分离只对部分函数使用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是很好求导，如果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．经典例题11.已知函数在上是增函数，在(0,1)上是减函数．（2）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．此题考察，恒成立，将不等式右侧函数移到左侧构建新的函数对其进行判断恒大于零情况（1）∵f(0)=p8+a2+b+4，∵在上是增函数，在(0,1)上是减函数，∴当时，有极大值，即f'(0)=0，∴b=0．∵在上是增函数，在(0,1)上是减函数，∴,即．∵曲线y=f(a)在直线y=a2z-4的上方，设g(0)=(8+a2+4)-(a2r-4，∴在时，恒成立．∵g()=3z2+2az-a2=(3z-a)(o+a)，∴当时，有最小值g(a)．令g(-a)=(-a8+af+4)-(-2【标注】【知识点】已知极值情况求函数解析式；利用导数证明不等式恒成立问题巩固练习12.设函数f()="2+cos2z．（1）讨论函数f(z)的单调性．（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递减，在(0,+o)上单调递增．f'()=2-2cos2a=2(1-cos2a)>0，∴函数f'(a)为增函数，又f'(0)=0，∴当时，，，，∴函数在上单调递减，在(0,+o)上单调递增．（2）不等式即为，设则g(x)=2a-k-sin2a，由（1）可知，是上的增函数，因为g'(0)=-k，所以当时函数g(x)在区间[0,+oo)上单调递增，g(r)≥g(0)=0，符合题意；，，故存在zo>0，使得g(z0)=0，且当时，，，，所以函数在上为减函数，在xe(o,+o)上为增函数，故g(r)asn=g(azo)<g(0)=0，不合题意，综上，实数k的取值范围为(-,0]．【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值经典例题13.已知函数f(a)=lns-a2+1．（1）讨论f()的单调性．（2）若，在上恒成立，求整数k的最大值．有的时候用构造法求解比较复杂，需要多次分讨论，此时可以对函数进行参变分离的方法求解，本题应用参变分离方法给学生讲解【答案】（1）当时，在上为增函数，1,+0上为减函数．2a2a当时，在上为增函数，在,+0上为减函数．2a2a，，则在上为增函数，2a当a>0时，由，得，2a2a则在上为增函数，2a12a12a,+0上为减函数．,则f(a)在2a,+0上为减函数．,则f(a)在2a在上为增函数，12a12a上为增函数，在,+上为减函数．综合可得，当a≤0时，当时，在在上为增函数，12a12a上为增函数，在,+上为减函数．综上所述，结论：当时，在上为增函数，2a2a当时，在上为增函数，在,+上为减函数．2a2a（2）由题意，zc(Mnz+1)>k(z-1)恒成立，ac(Ina+1)即k<(o>1)ac(Ina+1)c(Inc+1)设，c(Inc+1)则，令h(x)=z-lnr-2(z>1)，则，所以，在上为增函数，2,故在上有唯一实数根me(3,4)，使得m-lnm-2=0，则当时，，即在上为减函数，(m,+o)上为增函数，所以在处取得极小值，为，m综上所述，结论：整数k的最大值为3．【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；二阶导问题；利用导数求函数的单调性、单调区间巩固练习14.已知函数f(a)=(t+1)z-Inz．（1）讨论函数的单调性．2恒成立，求实数t的取值范围．上单调递减，在时，所以函数t≤-1f(ar)(0,+o)t>-1f(ar)上单调递减，在时，所以函数t≤-1f(ar)(0,+o)t>-1f(ar)1t+1t+1在在时，函数上单调递增，函数上,十0o当在在时，函数上单调递增，函数上,十0ot+1单调递减．4+4+t+的定义域为fft,,t≤1f'(r)<0f(a)(0,+o)t>-1f'()>0z>上单调递减，在时，,所以函数当1t+1上单调递时，由,得在,函数当f(ar),十00t+1由1t+1f'(a)<0x<上单调递减．在得,函数t+12恒成立，f≥3ln2t≥2,由题意知，不等式,等价于即+2ln≥3t+22lnct≥++2vre[1,el,2lnc9N=1-lnx242令,则+2,233时，z-ln-4<0又z<4t+的定义域为fft,,t≤1f'(r)<0f(a)(0,+o)t>-1f'()>0z>上单调递减，在时，,所以函数当1t+1上单调递时，由,得在,函数当f(ar),十00t+1由1t+1f'(a)<0x<上单调递减．在得,函数t+12恒成立，f≥3ln2t≥2,由题意知，不等式,等价于即+2ln≥3t+22lnct≥++2vre[1,el,2lnc9N=1-lnx242令,则+2,233时，z-ln-4<0又z<4,∴,∴e,,在上是减函数，∴et>g(1)=4∴,[4,+o)的取值范围是即实数t【标注】【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数证明不等式恒成立问题知识精讲存在性问题：单函数（3成立（4成立双函数（1成立（2成立（3成立（4成立fr)sx≤()f(r)as≥g(r)as（5成立fr)sx≤()f(r)as≥g(r)as台{yly=f(ar),are(a,b)}s{yly=g(ar),ze(a,b)}方法提升存在性问题求解方法与恒成立求解方法一样:整体函数构造法与参变分离法经典例题15.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数a的最小值．（2）已知表示的导数，若为自然对数的底数使f(z1)-f'(2)≤a成立，求实数a的取值范围．【备注】【备注】【教师指导】此题考察存在性问题中成立（2）a的取值范围为∵在上是减函数，∴在上恒成立，2-1 4lnc—12-1 4,t记ln2r∵c>1，,t记ln2r∵c>1，t2∴t>0，1 ∴a的最小值为 4则有fz1)≤f'(z2)s+a，所以")au+a=z，∴转化为当时，，∴3uee,e211∴a≥-，lnx4ar设h(r)=-lnx4ar11ln2xucln2r4a24z2n2n∴h(r)=-+=cln2r4a24z2n2n又当时,,∴ln2<4∴h'(x)<0,,∴在单调递减， 24e2 24e224e2∴a的取值范围为--24e2 【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知单调性求参数的取值范围；利用导数证明不等式恒成立问题；双变量问题巩固练习16.已知函数fa)=mz（为自然对数的底数）．2（1）讨论函数f()的单调性．2P值范围．P在上有解，求实数p的取mm>0时，函数在(-0,lnm)上单调递增，在[Mnm,+o)上单调递减．4 P4 P2e,则当时，，故函数单调递减；当m>0时，取f'()=m-e"=0，得到z=nm，故函数在(-0,lnm)上单调递增，在Inm,+o)上单调递减．综上所述：m≤0时，函数单调递减；m>0时，函数在(-0o,lmnm)上单调递增，在[Lunm,+o)上单调递减．2cf'(1)=me=0，故me",2cf'(1)=me=0，故me"2"";22增．2故，42故，4故->，故0<p<，p4e2e=2mie2【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；利用导数求函数的单调性、单调区间5.函数的零点、交点知识精讲直接描绘单函数y=f(r)的图象求解函数零点相关问题的步骤：①对函数y=f()求导；②求出函数y=f()的单调性，极值点与极值；③画出函数y=f()的草图；④数形结合，确定函数与轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．注意：直接描绘单函数图象法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．知识精讲（2）单函数参变分离描绘图象法单函数y=f(q)参变分离法描绘图象法的解题步骤：①求出函数y=f()的定义域；②将函数y=f(ar)参变分离，转化为含参常函数y=a与不含参函数y=g(x)的交点问题；③对不含参函数y=g(r)进行求导；④求出y=g(ar)函数的单调性，极值点与极值；⑤画出y=g(r)函数的草图；⑥数形结合，根据含参常函数y=a与不含参函数y=g(r)的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数a的取值范围．【备注】【备注】【教师指导】（1）利用导数研究函数的零点问题最核心的思路是利用导数研究函数的图象，由函数的单调性、极值及区间端点的取值情况，得到函数零点的情况．（2）处理含参单函数的零点或方程的根的问题时，也可以通过参变分离，将问题转化为常函数与不含参函数的交点问题．知识精讲(3）双函数作差整体构造法①f(r)=k有几个根函数与图象有几个交点函数图象与z轴有几个零点．②f(ar)=g(r)有几个根函数与函数y=g(r)图象有几个交点函数的图象与z轴有几个零点．双函数作差整体构造法研究与的交点情况的解题步骤：①构造新函数h(ar)=f(zr)-g(r)，从而将研究与的交点问题转化为研究函数h(r)的零点问题；②对h(z)进行求导；③通过导函数研究函数h(ar)的单调性、极值点与极值；④从而简单画出函数h(r)的图象；⑤故可以推出函数与轴交点的分布情况，即函数y=f()与函数y=g(r)的图象交点情况．知识点睛双函数作差整体构造法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．知识精讲（4）双函数代数变形优化法双函数代数变形优化法研究与的交点情况的解题步骤：①取等双函数f(r)=g(r)，代数变形优化等式，将等式两端转化为简单含参函数y=φ(r)与不含参函数y=h(r)的等式，即φ(ar)=h(ar)；②将等式φ(x)=h(x)分离成新的双函数，即简单含参函数y=φ(ar)与不含参函数y=h(r)；③对h(ar)进行求导；④通过导函数研究函数h(r)的单调性、极值点与极值；⑤从而简单画出函数h(r)的图象；⑥数形结合，根据参数的不同取值，确定函数h(r)与φ(r)的交点的分布情况，即函数y=f(r)与函数y=g(r)的图象交点情况．经典例题17.已知函数为自然对数的底数g(r)=ln(2az+1),其中在处的切线方程为y=br．（2）求证：f()>g(z)．（3）求证：有且仅有两个零点．【备注】【备注】【教师指导】本题比较简单，一个函数求零点问题，按照求零点步骤进行即可（2）证明见解析．【解析】（1）f(z)=z(2z-1)-e"-cos2z-a，,故故函数在(-o,0)上单调递减，在[0,+)上单调递减，故K(X)=(O)=0，故e"≥s+1恒成立．则，,2函数在上单调递增，在上单调递减，2故m(r)aia=m(0)=0，故ln(2a+1)≤2a．故f()=z(2n+1)+e"+cos2z-2≥2a2+z+z+1+cos2-2=22+2+cos2z-1，2z2+cos2a-1=2z2-2sin2，当xe(1,+oo)时，易知22-2sin2z≥0．函数y=22-2sin2z为偶函数，故22-2in2z≥0恒成立，故，故f(x)>2a>g(x)，得证．f'(q)=4+1+e"-2sin2z，恒成立，故f'(a)单调递增，f'(-1)=-3+-+2sin2<0，ef'(0)=2>0，故存在aoe(使，故函数在(o,aro)上单调递减，在[ro,+0o)上单调递增，fr)as=f(a0)<f(0)=0，，，故函数在(,ac0)上有唯一零点，在[aro,+o)上有唯一零点，故有且仅有两个零点．【标注】【知识点】利用导数求函数的零点及个数；通过构造函数证明不等式；已知切线方程求参数e18.已知函数，为自然对数的底数）．e（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值．（2）求函数f()的极值．（3）当a=1时，若直线l:y=-1与曲线v=f)没有公共点，求k的最大值．【备注】【教师指导】此题属于已知零点情况求解参数；此题注意根据条件转化问题：（2）当a≤0时，函数f(z)无极小值，当，在处取得极小值lna，无极大值．（3）k的最大值为1．eeee又曲线在点处的切线平行于c轴，①当时为上的增函数，所以函数f(ar)无极值．②当a>0时，令，得所以在上单调递减，在(Ina,+o)上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为f(lna)=lmna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(ar)无极小值当，在处取得极小值lna，无极大值．eee令，e则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在R上没有实数解”矛盾，故K≤1．e又时，，知方程在R上没有实数解．e所以k的最大值为1．方法二：当o-1时，．直线：与曲线y=f()没有公共点，e等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：eee(k-1)z=(#)ee在R上没有实数解．时，方程(4)可化为时，方程(4)可化为，在上没有实数解e时，方程化为时，方程化为1=e"．=ce"，则有g(a)=(1+x)e"．当z变化时，g(ar)的变化情况如下表：++e趋于时，趋于，,同时当十me+从而g(r)的取值范围为趋于时，趋于，,同时当十me+e-0o,-时，方程-0o,-时，方程(x)无实数解，解得k的取值范围是ek-1e(1-e,1)．综上，得k的最大值为1．【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围；求函数极值（含参指对型导函数）巩固练习19.已知函数．（1）若在处取得极值，求实数a的值．（2）求函数f(r)的单调区间．（3）若在上没有零点，求实数的取值范围．（2）函数f(z)的单调增区间为(a,+oo)，单减区间为(0,a)．（3）实数的取值范围是．∴在处取得极值，∴f'(1)=0，解得或（舍），当时，时，单调递减；时单调递增，得在处取得极小值，故a=1．222222令f'(a)>0，解得x>a，令f'(a)<0，解得0<r<a，故函数f(ar)的单调增区间为(a,+o)，单减区间为(0,a)．（3）要使在上没有零点，只需在或，又，只需在区间上，①当时，在区间上单调递减，则fe)a=)=ze2-">0，解得：与矛盾；②当时，在区间[1,a)上单调递减，在区间(a,el上单调递增，,解得，得，③当时，在区间[1,e]上单调递增，fr)aia=f(1)>0满足题意，综上所述，实数a的取值范围是0<a<v尼．【标注】【知识点】已知极值情况求参数范围；已知零点或根情况求参数范围20.已知函数．（2）若函数h(r)=f(z)+e"有两个零点，求实数a的取值范围．（2）实数a的取值范围为(0,+o)．2,,解得的增区间为2,不符合题意；上单调递减，在上单调递增，∴,,易知此时函数只有一个零点,减区间为 h∴函数,函数,解得+②当②当时，时，e—Q,令,则>令或在e—e—e"e"e"e"+十hhh<<>h>h<<>h222in2aee22,,,又∴当r>0时，存在oe(0,1)，使得h(r0)=0，a2a