空间向量的运算及坐标表示13种重点常考题型（解析版）

1.如图，在平行六面体ABCD-AIBICIDI中，M为AICI与BIDI的交点，N是BBI的中点，若A=，=【解析】在平行六面体ABCD-AIBICIDI中，M为AICI与BIDI的交点，N是BBI的中点，则M=M+B=D+B=(DI+D(+B=(D+A(+A=-A+A-A/=-+-=--2.已知空间四边形ABCD中，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，则MG-AB+A.DB.3MC.GD.2M【解析】因为M,G分别是BC,CD的中点，所以M=B，则MG-AB+AD=MG3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为AA1的A.-A—+A+AB.A+A+AC.A+A-AD.A-A-A【解析】P=P+A+D=A+A+A.() 【解析】由已知O=O+A=O+A=O+(O-O)=O+×O=O+ 则有A+故A(1)A-B；(2)A+A+C；(1)A-B=A-A=D；(2)A+A+C=A+C=A；(3)(G+G(-A=×2G+O=G+O=G. +=()A.B.3C.D.2所以M=O-O=O+O-O=-++，A.1B.C.D. 则A=A+E=(A+A(+λE=(A+A(+λB=(A+A(+λ(A-A(=A+-λ(A+λAD1D，若M=xA+yA+zA，则x+y+z=()A.B.C.D.【分析】根据空间向量的运算法则确定M=-A+【解析】M=M+B+A+D=-A-A+A+A=-A+A+A， +=()A.B.C.D.又因为O=λO，所以M=O-O=O+O-λO=+，因为M=-++=.若A=2xA+yA+zA，则x+y+z=因为ABC-A1B1C1底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形AA1B1B,BCC1B1,ACC1A1为长方形，又因M，N分别是A1C1,BB1的中点，所以A=A+B=A+A,A=A+A=A+A，则A=(A+A(=A+A(+A+A(=A+A+A， A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若α+β=1，则P=αP+(1-α(P，故P-P=α(P-P(，故P-P=λ(P-P(，故P=λP+(1-λ(P，又由λO+mO+nO==-O-O，,1[， = 因为AG⊂平面AHD，EH⊂平面AHD，设AG∩EH=K，则K∈EH,K∈AG，又EH⊂平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点， 又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合，=mA+×=mA+×(A-A+A-A(=m(A+A+A(又因为点E，F，H三点共线，则AF=xAH+yAE,(x+y=A=xA+yA=(A+A(+A,所以解得mA.O=O-O-OB.O=O+O+OC.M+M+M=D.O+O+O+O=故B错误；对于C，由于M+M+M=可得：M=-M-M，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，18.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有PQ=-2PA+4PB实数A.2B.0C.-1D.1【解析】由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2P+4P-mP，则-2+4+(-m(=1，所以实数m的值为1.A.0B.1C.2D.-1即(-1,0,m)=x(0,1,2)+y(-1,1,1)=(-y,x+y,2x+y)，r-y=-1,x+y=0,解得x=-1,y=1,m=-1.L2x+y=m,rx+y=0Ly-x=021.已知A,B,C,D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足PD=-2PA+5 λ=．【答案】-2【解析】∵A,B,C,D四点共面且任意三点不共线，PD=-2PA+∴1=-2+5+λ,∴λ=-2．故答案为：-2AB.3+2C.9+32【解析】C=C+O=2O-xO-yO⇒O=3O-xO-yO,因为A,B,C,D四点共面，所以3-x-y=1⇒x+y=2，注意到x>0,y>0，从而+=+=++≥+2=+2.23.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD的中点，AF=2FA1，AC1交平面BEF为G，则其中AC1=AB+AD+AA1，E为AD故A=2A,A=A,所以A=A+2A+A，A=mA+2mA+mA，因为G,B,E,F四点共面，所以m+2m+m=1，解得m=Aa2B.a2C.a2可得A.A=(A+A—).A=(A.A+A.A)=C.(C+C(=()【解析】C.(C+C(=(C+C(.(C+C(=C.C+C.C+C.C+C2=4×4×2= 【解析】D=D+E+F=-A-(A+A(+A-+，B=B+A+F+E=-A+A+(A+A(+A=2A+A=2+；则D.B=-++.-.-22-.+.+2.-.-22+2=-4×(-2(-2×22+×22如图所示，连接AE,AF,AC，由BE=2B1E可得E=A-A=A—+D-A-B=-A+A-A=-+-，A=A+A=+所以A.E+)(-+-=-2+2-.-.A.1B.6C.3-+2=-+2=2+2+2-.-2.+.29.如图所示，在平行六面体ABCD-A/B/C/D/中，AB=2,AD=2,AA/=3,∠BAD=90°,∠BAA/=————【解析】因为A/C=AC-AA/=AB+AD-AA/，|A+A-A/|2=A2+A2+A/2+2A.A-2A.A/-2A.A/， 设AC=2,BD=1，且AB.BD=BD.DC=0，AC则A.B=(A+B+D(.B=|B|2，|AC||AC||AC|4|AC||AC||AC|4()A.B.-C.D.【解析】++=，:+=-，+=-，:.，.，:.=.=.A.6B.2C.3D.2∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60。，则A=A+A+B=-A+A+A，则A2=(-A+A+A)2=A2+A2+A2-2A.A-2A.A+2A.A34.已知向量=(-2,1,4(,=(-4,2,t(，且向量,的夹角为锐角则t的取值范围是()A.B.(-,8(U(8,+∞(-42t，:t的取值范围为(-,8(U(8,+∞(．空间中的点D，E满足(O-O(.(O-O(=0，O2-(O+O(.O+O.O=0，则|DE|的 A.23+1B.4+3C.2+3D所以|AB|AC|=|BC|=22+42-2×2×4×=23．由(O-O(.(O-O(=0，得D.D=0，所以DA⊥DB，2-(O+O(.O+O.O=0，得(O-O(.(O-O(=0，所以A.C=0，所以A⊥C，所以DE的最大值为|O1O2|+r1+r2=23+1，36.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD,CF⊥底面ABCD，且AE=CF,M是正方形ABCD的中心，若M—.D=，则AE=()A.2B.C.5D.【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，AE⊥底面ABCD,AB,AD⊂底面ABCD因为M=M+A=(D-D(+A=-A-A+A，DF=DC+CF=AB+AE，M.D=(-A-A+A(.(A+A(=-A.A-A.A-A2-A.A+A.A+A2故AE=2.37.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上(不含端点)，当A.2B.1C.D.【解析】由题设有D1B=D1D+DA+DC=-DD1+DA+DC，故D=λD=-λD+λD+λD，而PA=λDD1-λDA-λDC+DA-DD1=(同理，PC=(λ-1(DD1+(1-λ则A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定 可得A.A=(A+A(.A=A.A+A.A=0，所以AM⊥AD，即AM⊥AD，可得△AMD是直角三角形.39.已知,,是空间中的三个单位向量，若.=--+的最大值为()A.B.C.D.-|2=2-.+2=-|=，-+=-+-(.，又-(.=-cos-,≤-|=，-+=-+-(.≤-+=.A.1-3-2B.1+3-2C.-4-26D.-4+26即动点P的轨迹为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球.取AB的中点N，连接PN，则A.P=-(P—+N(.(P—+N(=-(P—+N(.(P—-N(=N2-P2=1-P2.所以AP.PB的最小值为-4-26，MN等于()A.-+B.-++C.+-D.+-【分析】连接ON,M=O-O=(O+O(-O=-++． A.P+P+PB.P+P+PC.P+P+PD.P+P+P所以A=×(A+A(=(P-P+P-P(=P+P-P,所以P=P+A=P+P+P,(1)A=A+A+B=-A+A+A=+-；(2)因为A=2E，所以A=A=A，因为A=F，所以A=A，则E=E+A=-A+A=-++-=--.(1)O=O+O+O；(2)-1(1)利用空间向量基本定理得到A=-O+O+O，O=O+A=O+O+O；(2)设O=λO(0≤λ≤1(，得到D=λO-O-O，求出D.O=9λ2-6λ(0≤λ≤1(，当(1)由题意可得A=A+C=A+C=O-O+(O-O(所以O=O+A=O+A=O+=O+O+O；(2)设O=λO(0≤λ≤1(，因为D=O-O=λO-(O+A(=λO-(O-O+O+O(=λO-O-O，所以D.O=(λO-O-O(.λO=(λO)2-O.O-O.O=9λ2-6λ(0≤λ≤1(， A.B.1C.D.得x+y+【解析】由M=M+A=O+(A+A(=O+(O-O(+(O-O(=-O+O+OP-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，点E是PC边上一点,且EC=2PE，若DE=xAB+A.1B.2C.D.∴D=A-A=A+P-A=A+P-A=A+(A-A(-B=A+A-B=A+A-(A-A(=2A-2A+A故选:A.47.已知P是△ABC所在平面外一点，M是BC的中点，若AM=xPA+yPB+zPC 因为M为BC的中点，则A=A+B=A+B=A+(A-A(=(A+A(，所以，A=(P-P+P-P(=-P+P+P，故x+y+z=0，x-y-z=-2，(1)根据空间向量基本定理即可证明：(1)证明：“A=A+A+A=A+A+A+A =A+A+A+A=A+B+A+D=(A+B)+(A+D)=A+A，(2)“E=A-A=A—+D-(A+B(=A+D-A-B=-A+A+A，:x+y+z=.(1)D=--，E=-；(2)x=,y=-,z=-1.(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，D=A-A=A-(A+A--，由E,F分别是AD1,BD的中点，.(2)D=A-A=(A+A)-(A+A)=A-A-A=--，所以x=,y=-,z=-1.A.(12,14,10(B.(10,12,14(C.(14,12,10(D.(4,3,2(A.点A(1,-3,4(关于原点的对称点的坐标为(-1,-3,-4(；B.点P(-1,2,3(关于y轴对称的点的坐标是(1,-2,-3(；C.点P(-1,2,3(关于xOz平面对称的点的坐标是(-1,-2,3(；D.已知点A(-3,1,5(与点B(4,3,1(，则AB的中点坐标是,2,3(.【解析】A选项，点A(1,-3,4(关于原点的对称点的坐标为(-1,3,-4(，故A错误；B选项，点P(-1,2,3(关于y轴对称的点的坐标是(1,2,-3(；故B错误；C选项，点P(-1,2,3(关于xOz平面对称的点的坐标是(-1,-2,3(，故C正确；D选项，已知点A(-3,1,5(与点B(4,3,1(，则AB的中点坐标是,2,3(，故D正确.52.三棱锥P-ABC中，∠ABC【答案】,0,-M为PC的中点，N为AC中点，则MN为△ACP的中位线， 故M=P=B+0B-B，于是以{B,B,B}为基底时，M的坐标为,0,-.故答案为：,0,-设=+)+y-)++yy)+；由题意可知=-+2+，:在基底+,-,下的坐标为,-,3(．54.在空间四边形ABCD中，若向量A=(3,-5,-2)，C=(-7,-1,-4)，点E，F分别为线段BC，ADA.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)令A(x,y,z),C(a,b,c)，根据向量的坐标表示求出B,D坐标，进而确定E，F坐标，最后求E的坐标即可.【解析】令A(x,y,z),C(a,b,c)，则B(x+3,y-5,z-2),D(a-7,b-1,c-4)，所以E,,F,,，所以E=(-5,2,-1).A.(16,0,4)B.(4,-1,1)C.(5,1,-4)D.(8,16,4)【解析】+2=(2,1,-3)+(2,-2,4)=(4,-1,1)56.若=(-1,2,-1(，=(1,3,+-(=()A.-8B.-10C.8D.10【解析】+=(-1+1,2+3,-1-2)=(0,5,-3)-=(-1-1,2-3,-1+2)=(-2,-1,1)则+-)=0×(-2)+5×(-1)+(-3)×1=0-5-3=-8.()A.,4B.3,4C.,5D.,【分析】由题意可得AD,AB,AE两两垂直，所以以AD,AB,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角【解析】因为AE⊥底面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD，所以AE⊥AD,AE⊥AB,因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB，所以AD,AB,AE两两垂直，所以以AD,AB,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设M(a,b,0)(0≤a≤1,0≤b≤1)，则M—=(-a,-b,2),M—=(1-a,1-b,2)，所以M.M=-a(1-a)-b(1-b)+4=a2-a+b2-b+4=(a-2+(b-2+，因为0≤a≤1,0≤b≤1，所以当a=b=时，M.M取得最小值； 58.在△ABC中，A(2,-5,3(，A=(4,1,2(，B=(3,-2,5(.【答案】(1)B(6,-4,5.【解析】(1)设点O为坐标原点，O=O—+A=(2,-5,3(+(4,1,2(=(6,-4,5(，则B(6,-4,5(.OC=OB+BC=(6,-4,5(+(3,-2,5(=(9,-6,10(，则C(9,-6,(2)A=A+B=(7,-1,7(，则C=(-7,1,-7(，又B=(3,-2,5(，因此，C.B=-7×3+1×(-2(+(-7(×5=-58；59.已知空间向量=(6,x,y(，=(2,1,-3(.若⎳，则x-y=()A.12B.10C.-10D.-12解得x=3，y=-9，所以x-y=12.A.-2B.-1C.1D.2【解析】因为,-3,0),=(m,3,-1)，所以+=(2+m,0,-1)，【解析】因为A(a,-3,5(，B(0,b,2(，C(2,7,-1(，所以A=(-a,b+3,-3)，B=(2,7-b,-3)，所以(-a,b+3,-3)=k(2,7-b,-3)，A.-1B.1C.2D.363.(多选)已知向量=(1,5,2(,=(-2,0,1(,=(-1,1,-2(，则下列说法正确的有()A.C.++2=2+2+2D.,,共面 E(t,m,0((0≤m≤2(，C1(0,2,n)，(t>0)则D=(t,m,0),E—=(-t,2-m,n)，所以-t2+m(2-m)=0，所以t2=-m2+2m=-(m-1)2+1，65.已知点A(2,1,-1(关于y轴的对称点为B，则|A|等于()【解析】由题意，点A(2,1,-1(关于y轴的对称点为B(-2,1,1(，故|A|=[2-(-2([2+(1-1(2+[1-(-1(