辽宁省葫芦岛市、县协作校2026届高三年级上册第二次考试数学数学试题+答案

辽宁省葫芦岛市、县协作校2026届高三上学期第二次考试数学

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4=设|%>3},8={'I/<16},贝1」力H8=()

A.(3,4)B.(-4,3)C.(3,16)D.(0,3)

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形0A8C为正方形，~BD=DC,E为边48上靠近点力的

三等分点.若丽=(6,3),则赤•而二()

A.36B.28C.30D.42

3.函数f(x)=/一5/的极小值点为()

A.0B.yC.5D.总

4.在同一平面直角坐标系中，函数/•(%)=/(2*-2-工)与趴》)=》的大致图象为()

5.已知a,/?满足sin(a+/?)=*,tanacos£=|sin0,则sin0cosa=()

A.-B.-C.-D.-

17171717

6.已知函数/'(x)=x+】oga(/—2x—2)(0>0且。装1)的图象经过4,B两个定点，则

\AB\=()

A.2V2B.4V2C.4D.2

7.设一个简单几何体。的棱数与面数之和为a(C).用丫„表示正九(〃23)棱台，也表示正九(n

N3)校锥，贝ij()

A.«(%)=a(Y3)

B.存在耳，使得a(乜)=。(丫6)

C.a(%)>a(Y3)

D.存在甲”，使得a(%J=a(丫5)

8.已知定义在K上的函数/(%)的导函数为/(%),若/*'(%)<6%恒成立，且/"(1)=2,则/(2x)<

12/-1的解集为()

A.(—8,引B.[1,+oo)C.用，+8)D.(-8,1]

二、多选题

9.已知复数z满足iz=6-3i,则()

A.z的虚部为-3B.z在复平面内所对应的点在第二象限

C.z=-3+6iD.\z\=3V5

10.函数/(%)=Asin(3x+卬)(A>0,co>0,|租|V的部分图象如图所示，把/(%)的图象

向右平移！个单位长度得到函数g(x)的图象.把/'(%)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,

6

纵坐标不变，得到函数九(X)的图象，则()

A.f(x)=4sin(4x4-

B.g(x)=-4sin4x

试卷第2页，共4页

C.依)在［JW］上单调递增

D.当相22时，对任意的x6卜2,或］，/'(2%)+m2/■偿)恒成立

11.若定义在。上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于2,

则称该函数是。上的完美函数.卜列判断正确的是()

A.y=岛是R上的完美函数

B.若/(x)是0上的完美函数，则g(x)=2/(x-1)也是。上的完美函数

C.y=lg'm不IT是［-49,49］上的完美函数

D.存在QER,使得出幻=。(二一3/+2)(。工0)是［0,2］上的完美函数

三、填空题

12.如图，半径为3,圆心角为;的扇形。力8绕着。4旋转一周得到几何体C,则。的体积

13.若函数f(x)=sin(2x+*)在(一今,0)上有最大值，贝J/(x)的最小正周期为,(p

的取值范围为.

14.若因表示不大于x的最大整数，曲线y=%3在点(2八,8兀)(九€2)处的切线经过点(即,0)，

则［怒］=，数列｛%»｝的前几项和%=.

四、解答题

15.已知A/IBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)?一〃=一3时.

⑴求角B的大小；

(2)若b=675,cosC=等，求c.

16.已知正项等差数列｛斯｝满足的=13,且l,Qi，生成等比数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

⑵求3J的前71项和〃；

(3)设数列｛(一1)%”｝的前方项和为S〃，求S2n.

17.如图，在几何体力8CDE中，平面/BED1底面ABC,四边形48ED为正方形，△力BC为

等边三角形，M为"的中点，G为8M上靠近点M的三等分点，F为BE上靠近点£的三等分点

胆；"-G~-^C

(1)证明：尸G//平面AEC.

⑵求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.

18.已知｛配｝为止项数列，瓦=1,2茹+8bn=bnbn+1+4bH+i.在/与bn+i之间插入n个7,

构成数列｛册｝：仇，7,82,7,7,》3,7,7,7,匕4,••••设勾=Qc”.

(1)求Sn｝,｛cn｝的通项公式.

(2)设7=等,求E勤

⑶设%=2脸%+］，数列因的前n项积为％,数列｛%+1｝的前几项积为Qn.若不等第小

Qn>八kF区对任意九GN♦恒成立，求之的最大值.

19.已知函数f(x)=t无一Inx.

(1)讨论/G)的单调性;

(2)若t>0,且对任意的x6(l,+8)J(x)>:恒成立，求t的取值范围；

(3)若册=】n(n+1),数列｛时｝的前几项和为%，证明：4Sn+|<小+3"+京.

试卷第4页，共4页

《辽宁省葫芦岛市、县协作校2026届高三上学期第二次考试数学数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ACBBDBDCCDACD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】利用交集的运算求解.

【详解】B={x\x2<16},

B={x|-4<x<4},

A={x\x>3},

•••AnB={x[3<x<4).

故选:A.

2.C

【分析】由题知通=(2,6),进而根据数量积的运算求解即可.

【详解】解：由题知，AB=6,丽=(2,6),

所以屁•丽=12+18=30

故选：C

3.B

【分析】求得/(%)=3x(%-g),得到函数/(%)的单调性，结合极小值点的定义，即可求

解.

【详解】由函数/1(%)=炉一5/,可得/(幻=3/-10%=3%(%-弓)，

当％<0时，f(x)>0,/(%)单调递增；

当0<%<弓时，((x)V°，/G)单调递减；

当文>当时，((%)>0,/(%)单调递增，

所以当％=?时，函数/(X)取得极小值，即％=/为函数/'(X)的极小值点.

故选：B.

4.B

【分析】根据题意，求得所以/(x)为奇函数，且/(l)>g(l),即可求解.

【详解】由函数/'(%)=必(2'-2-'),可得其定义域为R,

答案第1页，共11页

且f(r)=(-X)2(2-X-2X)=-X2(2X-2~x)=-/(x),

所以f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，

当％=1时，/"(1)=12X(21-2-1)=1>1,且g(l)=l,所以/"(DAga),

故选：B.

5.D

【分析】先由tanacos/?=|sin0得至ijsinacos/?=|sin/?cosa,再利用正弦两角和公式展开得

至Ijsinacos。+cosasin/?=%联立方程得到sin/?cosa=

85

【详解】因为tanacos/?=(sin/7,所以^cos/?=(sin£,即sinacos/?=|sin/?cosa

、2

设x=sin/?cosa,y=sinacos/?,则y=-x；

由sin(a+6)=曰85得到sinacosB85+cosasin/?=8—S,即s+y=—,

即0+%=骼解得x,所以sin仅osa=3

5851717

故选：D

6.B

【分析】令炉一2%一2=1,解出工代入/(均即可得48两点，最后利用两点之间的距离公

式即可求解.

【详解】由题意有：令%2-2%-2=1,即/一2%一3=0,解得％=3或%=-1,

所以/"(3)=3J(-1)=-1,所以4(3,3),B(-

所以历8|=J(3++(3+I]=4V2,

故选：B.

7.D

【分析】根据新定义结合棱锥及棱台的棱数与面数计算判断各个选项即可.

【详解】用丫)1表示正日(几23)棱台，也表示正71(n>3)棱锥，

a(中4)=8+5=13,a(Y3)=9+5=14,A选项错误；

a(Tn)=2n+(n+1)=3n+l,a(Y6)=18+8=26,要使得a(%)=a(Y6),所以?i=个不

符合题意，B选项错误：

a(%)=8+5=13,a(Y3)=9+5=14,C选项错误；

存在中7，使得a(%)=2x7+(7+l)=22,a(Yj=15+7=22,D选项正确：

答案第2页，共11页

故选：D

8.C

【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结

合单调性求解自变量的范围.

【详解】构造函数g(x)=f(x)-3无2,则=尸(划一6%,

由广(%)<6x,得g'(x)<0,故g(%)在R上单调递减.

计算。(1)=/(I)-3xl2=2-3=-l.

将f(2x)<12x2-1变形为f(2x)-3x(2x)2<-1,即g(2x)<g(l).

因g(x)单调递减，故2壮1,解得汇*■

故选：C

9.CD

【分析】根据条件，利用旦数的运算得到z=-3-6i,再对各个选项逐•分析判断即可求

解.

【详解】因为iz=6-3L得到z==(6—3i)(-i)=—3—6i,

对于A,因为z的虚部为-6,所以A错误，

对于B,因为z在复:平面内所对应的点为(-3,-6),在第三象限，所以B错误，

对于C,因为5=-3+6i,所以C正确，

对于D,因为|z|=J(-3尸+(—6/=/=3遍,所以D正确，

故选：CD.

10.ACD

【分析】根据正弦函数的图像、性质、变换进行逐项计算即可.

【详解】由图象可知，4=4,

424128

解得/=巴=，解得3=4.

32

又函数/(x)过点缺,4),所以4sin(4x/+0)=4,

则sin俱+卬)=1,因为|刎<"所以3=今

所以函数/a)=4sin(4x+g),A正确：

根据函数的变换可知g(x)=4sin(4(x-+5)=4sin(4x-B错误；

答案第3页，共11页

五(%)=4sin(2%+2),因为"£卜三,高，所以2%+^W,用，

此时九(公是单调递增的，C正确；

因为f(2x)=4sin(8x+§，/(/)=4sin^=4,

所以不等式变为m>4-4sin(8x十2).

因为“£卜*部所以以+里仗耳卜所以$也(8工+9£[”卜

所以4—4sin(8x+g£[D,2],所以要使得不等式恒成立，那么mN2,D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】选项A利用函数奇偶性找出对称中心，再利用基本不等式求最值结合定义即可得

出，根据定义分析即可得出选项B,先判断奇偶性，然后利用函数导数判断函数单调性以及

复合函数单调性，求出函数最值分析即可得出选项C,利用函数导数分析函数单调性从而求

出最值作差得出Q的条件，然后验证对称性即可得出D选项.

【详解】对于A,令/(%)=言，则函数的定义域为R,关于原点对称,

由f(—均=$4=一—二一/(幻，可知该函数为奇函数，对称中心为(0,0),

当x>0时,当且仅当％=1时取到等号,

当XV0时,当且仅当戈=-1时取到等号,

yx+x-(-幻+卜(三)|2-2j(-x)-(4)

当工=0时，y=0,故>=言最大值为1,最小值为一1,两者的差为2,符合题意，故A

正确;

对于B,若/(均是。上的完美函数，设其对称中心为(a,力)，则g(%)=2/a-l)的对称中心

为(a+1,2b),

因g(x)的最值的差为/(%)最值的差的2倍，若/'(%)的最值的差为2,则g(x)最值的差为4,

不满足定义，故B不正确；

对于C,[-49,49]关于原点对称，令f(x)=IgVy/x2+i-x=1lg(Vx2+1-x),

由〃T)==蛔所1+、)=那%需产)

二3恒^2^[_犬=_yig(•/+1—x)=_/(x),即函数为奇函数，对称中心为(0,0),

答案第4页，共11页

令九(%)=旧彳7-，贝J"(x)=若言一1,当工£［—49,0］时，显然"a)<0,

当％W(0,49］时,h/M=-1=<0,故人(%)在［-49,49］上单调递减,

又y=打gt在定义域上单调递增,故/(%)=，g(Vx2+1一%)在［一49,49］上单调递减,

所以/G)max=A-49)=|lg(V492+l+49),

Ct

/(x)min=f(49)=ilg(V49^+I-49)=一］g(四尹不I+49),

则/'(X)max-/Wmin=/(时率1+49)+(依5K+49)=lg(«3E+49)

因V492+1+49<100oV492+1<51o492+1<512=2402<2601,

所以lg“492+1+49)VIglOO=2,满足题意，故C正确；

对于D,因九(%)=a(x3-3/+2)(a*0),则h'(x)=a(3x2—6%)=3ax(x—2),

因为0v%v2,所以％—2VO,

当Q>0时，h'M<0,所以>%)在［0,2］上单调递减,

故九(x)max=h(0)=2a,h(x)min=h(2)=-2a,

当aVO时,h\x)>0,所以<仍在［0,2］上单调递增,

故九COmax=八Q)=-2a,/l(x)min=八(。)=2。，

故九(%)的最值差为|-2a-2a\=\4a\<2=>|a|<|,

又九(2—x)=a［(2—x)3-3(2—x)24-2］=a(—x3+3x2-2)

=-a(x3-3x2+2)=-M%)，即函数M%)关于点(1,0)对称，

即存在aWR满足题意，故D正确.

故选：ACD.

12.18n

【分析】根据旋转体的定义，得到旋转后的几何体为一人半球，结合球的体积公式，即可求

解.

【详解】由半径为3,圆心角为:的扇形0A8绕着0A旋转一周得到几何体为一个半径为3的半

球，

所以几何体。的体积为V=xx33=181T.

23

故答案为：18m

答案第5页，共11页

13.K《,+叼

【分析】由最小正周期的计算公式及换元法和正弦函数的图象性质可得结果.

【详解】/•(%)的最小正周期7=攀=7T,

令£=2%+租，当%£(一最,0)时，t6(0,<p),

由函数/(x)在(一，0)上有最大值，可转化为g(t)=sint在(0,0)上有最大值，

只需满足9>］,所以3的取值范围为&十8).

故答案为：TT；(；,+8).

14.42gx(2n-l)

【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程，结合题意可得斯=：x2%

根据［出的定义求出［。6卜再根据等比数列的前九项和公式求解％即可.

【详解】因为y=%3,/=3x2,

曲线y=/在点(2%8n)(n€N*)处的切线方程为y-8n=3(2n)2(x-2n),

又因为切线过点(a»0)，

所以一8n=3(2")2(册一29，可得an=|x2",

所以=-X26=-X64«42.67,

所以［。6］=42,

12nn

SM=1x2+x2+-+|x2=1x2„")=x(2-1).

故答案为：42；；x(2n-l).

15.(1)^=7

(2)c=4

【分析】(1)利用余弦定理化简已知条件，由此求得从

答案第6页，共11页

(2)利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理求得c.

【详解】(1)由(a-c)2-/=-3ac,得M+c?-匕2=-QC,

匚「I、Ir>a2+c2-b21

所以COSB=F^=一).

因为BE(OK),所以8=学

(2)因为cosC=誓，且C€(0刀)，所以sinC=41—8s2c=%

由正弦定理得上二三，即曾=£

sinBsinC$in—3士3

解得c=4.

16.(l)an=4n+1

⑵〃=2n2+3n

(3)52鹿=4n

【分析】(1)根据等差数列的通项公式进行求解即式

(2)根据等差数列的前n项和公式进行计算即可.

(3)根据数列的性质分组求和即可.

【详解】⑴设等差数列①｝的公差为小则｛居

解得或

依题意得%>0,则%=5,d=4,所以a?1=%+(n-l)d=4n+1.

(2)由(1)知，册=4几+I,。1=5,d=4,

所以7；=(5+4；+D〃=2n2+3n.

(3)因为(-l)2n-%2n—i+(-l)2n«2n=-4x(2n-1)-1+4X2九+1=4,

a

所以S2n=(一%+。2)+(~3+。4)+…+(一a2n7+a2n)=4n.

17.(1)证明见解析

(2呼

【分析】(1)连接EM,则FG〃EM,利用线面平行判定定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，根据线面垂直求得平面4C0的法向量，根据空间向量线面角公

式进行计算即可.

【详解】⑴连接EM,由题可知霁二器=*

答案第7页，共11页

所以FG〃EM,

又FGC平面AEC,EMu平面AEC.

所以FG//平面力EC.

（2）以为％z轴，平瓯48c内过点力且与4B垂直的直线为y轴,

建立如图所示空间直角坐标系，

因为FG〃EM,

则直线EM与平面4CD所成的角即是直线/G与平间4CD所成的角.

设45=3

则力(0,0,0),D(0,0,£),C6,苧,0),E(t,0,t),MG,苧,0),B(t,0,0),

砒仔片Q,就C，

因为平面力BED1底面4BC,

平面C底面/IBC=AB,

四边形48E0为正方形，DA1AB,

则04，底面丽,BMu底面4BC,

则DA1BM,

又△力BC为等边三角形，M为力C的中点,

所以8M14C,

DAdAC=A.DA.ACu平面月CO,

则BM_L平面4。。,

则而是平面ACO的一个法向最,

设直线FG与平面4CD所成的角为氏

MBME

则sin。=

M4rd炉荷

答案第8页，共11页

故直线尸G与平面48所成角的正弦值为4.

【分析】（1）由题知以+1=2如，进而根据等比数列定义得以=2-1,根据％=。小得

n2+n

2，

（2）由（I）知分=5+1）・2-2,匕71.1=2d22“-3,进而根据错位相减法求解即可；

（3）由题g=2九，转化为不等式入式黯对任意nWN*恒成立，再令4=黯，研究其

单调性，求解最小值即可得答案.

【详解】（1）解：因为2睇+8%=勾办+1+4勾+1，所以（瓦+4）（2%一%+1）=0，

因为b>0,所以2%-bn+1=0,即b+1=2%，又瓦=1,

所以｛%｝是首项为1，公比为2的等比数列，所以以=1x2时1=2吁1.

根据题意可得金二"+口+2+3+…+（〃-1）］二等.

（2）解：7=等=（九+1）・2吁2,则/t=2展22时3

记7；i=2x2-1+4x21+6x23+…+2九x22时3①

132n-3n

4Tn=2x2+4x2+…+（2n-2）x2+2nx22一1②，

①-②得，

7）271—1

-37；,=1+2x（21+23+22+…+22n_3）_2x22〃T=1+2x-.........2nx22n-1,

n1—4

+rV_1714_1,3n-l./T（6n-2）22n-i+i

故21£21=〃=3+7><亦n（或一--）.

（3）解：依题意得以=210g2%+i=2n.

答案第9页，共11页

不等式分-Qn>2或疗不！对任意〃6N*恒成立,

即不等式人工磊对任意nWN•恒成立・

设4=黯,则dn>。，

所以dn+i_Pn+「Qn+i乂&n+2_」n+i+l义j2n+2

dnV2n+4PnQn"n+1.271+4

_2n+3V2n+2_2n+32M+3_1

―2n+2*V2n+4-V2n+2xV^n77-。…―…一’

2

又2几+2/2?i+4,所以dn+i>dn,

所以数列｛麻｝单调递增，则(d“)min=由=竽=挈=：

V424

所以awj即a的最大值为I

44

19.(1)答案见解析:

⑵自十8)；

(3)证明见解析.

【分析】(1)求导得f'(x〕=号,再对t分类讨论即可;

(2)设九(%)=txlnx,xE(1,+8),求导后再对t进行分类讨论；

(3)根据(2)得到结论21nxeX对任意％W(L+8)恒成立，再令％=九+1,最利用累

加法和裂项相消法即可得到证明.

【详解】(1)由题意得/'(•<)的定义域为(0,+8),/(%)=[-：=号1.

当t<0时,f(x)<OJQ)