抛物线与直线联立韦达化运算（解析版）-2024-2025学年高二年级数学上册常考题专练

专题3-9抛物线与直线联立韦达化运算

总览1题型解读

【题型1】焦点弦中点相关运算与证明

【题型2】向量数量积的处理

【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算

【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算

【题型5】垂直关系的处理

【题型6】弦长公式与面积计算

【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题

【题型8】抛物线中的定点与定值问题

题型汇编1知识梳理与常考题型

直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式

①抛物线/=2px的焦点为F,力区，弘）,8（乙,%）是过产的直线与抛物线的两个交点，则有

，乂%=一〃2

中2二

4

②一般地，如果直线/恒过定点"（〃?,（））与抛物线/=2川（〃>0）交于44两点，那么

2

xAxH=m,yAyH=-2pm.

【题型1】焦点弦中点相关运算与证明

/力典型例题/

I.已知抛物线V=4x的焦点为F,直线/:），=左（・・1）（左>0）与该抛物线交于/、8两点，过月8的

中点。作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|尸3=2,则〃=.

【答案】1

【分析】先未出。的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示尸的纵坐标，故可求斜率.

【详解】易知尸（1,0）设/（4乂）,5（相必）,

因为归尸|=2,故"+1=2,xp=\,而k>0,故4>0,故乃>=2,

y-=4x4416

联立直线与抛物线方程〈…)=尸7'一4=。得yi=7，△下+16〉。,

2

所以尸的纵坐标1=2,故k=1

K

2.直线》=“-1被抛物线产一4x截得的线段的中点坐标是.

【答案】（3,2）

【解析】将y=x-1代入f=4x,整理，得/-6x+i=o.由根与系数的关系，得制+0=6,

力：*=3,.・』；也=弘+；2_2=612=2.・・所求点的坐标为（3,2）

/〃巩固练习/

3.已知抛物线22=©的焦点为F,直线/：y=k（x-DW>0）与该抛物线交于从5两点，过48的

中点。作y轴的垂线与抛物线交于点P，若1PH=2,则左=

【答案】1

【分析】先求出。的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示P的纵坐标，故可求斜率.

【详解】易知尸（L0）设力（冬,丁1）,8（孙为），

因为|PP|=2,故小+1=2,故小=1,而%>0,故4>0,故4=2,

y2=4x,4416

联立直线与抛物线方程，»=〃(1)=厂”一4=。得必+力=/△卞+16＞。，

2

所以。的纵坐标为=1=2,故4=1

4.己知O为坐标原点，过抛物线C:.F=4x的焦点尸的直线交C于44两点.若。为线段力8的中

点，且|。。|=至，则||六|一|8匹卜.

【答案】4&

【分析】直线的斜率存在，可设为y=A（x-l）,与抛物线方程联立得到韦达定理，求出。点坐

标，利用|O0=Ji万求解A,再结合抛物线定义得到结果.

【详解】设力（七,必），8（.W2）,F（l,0）,显然当直线垂直于x轴时，D与F重合,

此时|。。|=1不满足条件，所以可设直线43的方程为n二攵（1-1）,

代入C的方程有，k2x2-2（k2+2）x+k2=0,

2（公+2）,J-+22）

所以X+3=£'斗马=1，

所以囱2=13=（1++微，解得*=1,X］+X2=6,

由抛物线的几何性质可知|彳曰=$+1,忸尸|=々+1,所以

||力尸］一忸3=卜］一x?|=’（再+4）2-4中2=4^2.

5.设抛物线人产=心的焦点为尸，直线/：y=x+m与抛物线力相交于儿“两点，点。为线段

的中点.

（1）求机的取值范围；（2）求证：点。的纵坐标为定值.

【答案】（1）〃?V1,（2）。的纵坐标为定值2

【解析】（1）直线/:y=x+m与抛物1《联立得/+（2刑一4母+汴=0,

•••△=（2小-4）2—4〃?2>0,解得wVl.

2

（2）证明：设力（占，yi）,4（X2,闻，则为+工2=4—2〃?，xix2=m,则点。的纵坐标为

y\+y2_xi+m+工2+m

=2..••点。的纵坐标为定值2.

2~2

6.物线的顶点在原点，以x粕为对称轴，经过焦点且倾斜角为135。的直线被抛物线所截得的弦长为

8,试求抛物线的标准方程.

（答案］/=4.v或产=—4x

【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为V=2px（p>0）,

则直线方程为y=-x+；p.

设直线交抛物线于力（片，y\）,

8（x2,如，

过力，A分别作准线的垂线，垂是分别为C,D,则由抛物线定义，得

\AB\=\AF\^r\FB\=\AC|+\BD\=xy+；+.0+；,

即X|+》2+〃=8.①

又4（xi,yi）,8（x2,j，2）是直线和抛物线的交点,消去y,得x：=0.

所以巾+》2=3p,②

将②代人①，得p=2.

所以抛物线的标准方程为/=4x.

当抛物线方程设为必=-2PM＞0）时，同理可求得抛物线标准方程为必=-4x.

故抛物线的标准方程为V=4x或V=-4x.

【题型2】向量数量积的处理

基础知识

数量积一般化为过坐标运算的形式，再韦达化处理

///典型例题/

7.（23-24高二上•河南信阳・期末）直线》=去+2与抛物线/=外交于48两点，则瓦•丽（。

为抛物线顶点）的值为（）

A.-6B.-4C.4D.12

【答案】B

【分析】联立直线与抛物线方程求得X%,从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.

y=kx+2

【详解】由＜2彳，得/-4履一8=0,易得△＞（）,

x=4y

设力（X1,必）,8（々,8），则再与=一8,

：.OAOB=x,x2+yxy2=3++.?=-8+*-4.

4416

8.（高二上,四川成都・期末）已知抛物线=4%上的两点力，4满足而.砺二60（0为坐标原点）,

且44分处对称轴的两侧，则直线所过定点为.

【答案】（10,0）

【分析】设力3,乂），8，写出直线AB方程，由刀.砺=60及A,B位置可解得yy4。，

即可化简解析式，确定定点.

Z\

【详解】设“序乂），桔,必），则〃：尸乂=步发卜一?）即x=wL（—j+f,

即一生1.

4'4

由A,B分处对称轴的两侧得必为＜0,又丁工晨丽=£匹+乂乃=60,解得乂%=24（舍）或

16

及为=-40,故3：x="lly+]0,则直线过定点（10,0）.

9.在平面直角坐标系工①'中，点月（n1）在抛物线C:/=2.上，且4到C的焦点的距离为1.

（1）求。的方程：

⑵若直线/与抛物线。交于尸■,必）,。伍，为）两点，必为<0,且万•丽=3,试探究直线/是否过

定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由.

【答案】⑴C:j『=2x

（2）直线/过定点（？,0）

【分析】（1）利用抛物线的定义及点在抛物线上计算即可；

（2）设/的方程，由平面向量数量积的坐标表示及韦达定理求参数即可.

2pm=1

m-0.5

【详解】（1）依题意可得〈pi，解得•所以抛物线方程为：C:j，=2x：

机+1=1P=l

2

（2）设直线/：x=（F+〃,f显然存在，夕（X，凹）,。（马，为）

y2=2v

联立方程仁，化简可得/-2川-2〃=0

x=。十〃

所以△=4J+4〃>0,另+y2=21,弘必=一2〃

在抛物线。上，故

卜2=2%

OP-OQ=xrr2+y]y2=^（y}y2/+y\y2=3=//-2〃-3=0,解得〃=一1或〃=3,

因为必必<°,所以乂H=-2〃{0=>〃）0,得〃=3

所以直线/过定点（3,0）.

/〃巩固练习/

1（）.已知抛物线Cf=2/Rp>0）的焦点为尸，直线/与c交于力（.%必），〃（吃,左）两点，其中

点力在第一象限，若直线/经过焦点凡且万.丽=-12，则P=

【答案】P=4

【解析】过尸,0）的直线1的方程可设为x=m.y+多，

y'=2Px

联立抛物线方程（p,可得V-2p〃?y-p?=0,

x=my+-

所以必为=一//，X/,==[p],

W4p~4

则OAOB=,工2+必为=；p2-p?=-12（p>0）,解得p=4

11.过抛物线Uy?=4x的焦点作直线I与C交于A,B两点，已知点尸（-1,2），若⑸.丽=0,则|明

的值为.

【答案】8

【分析】首先设直线/的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示苏•即=0,即可求直线/的

方程，并代入焦点弦长公式，即可求解.

【详解】抛物线的焦点尸（1,0）,显然/的斜率不为0,设直线/：x=〃w+l,4（卬丫1）,8（如力）

,rx=my+1,、1、

联国12/»y~~4wv-4=0,A=16/zr+16>0,

（-4x

y1+y2=4m,必必二-4,

22

则X]+x2=m（y[+y2）+2=+2,x,x2=^-^-=1,

16

PA=（x1+1,必-2）,PB=（x,+1,必-2）,

丽丽=（再+1）（电+1）+（必-2）（必-2）

=%再+（石+3）+1+My2-2（片+外）+4

=1+4〃/+2+1-4-8机+4=0,

解得：m=\,所以*+々=6,

\AB\=Xj+X,+2=8.

12.已知抛物线C：/=2px（p>0）经过点M（2,-2夜），直线/与抛物线相交于不同的48两点.

（1）求抛物线C的方程：

（2）如果苏.丽=-4，证明直线/过定点，并求定点坐标.

【答案】⑴田=4x

（2）证明见解析，定点（2,0）

【分析】（I）将已知点坐标代入抛物线方程求得P即得；

（2）设力（再,必），8（吃,必），设/:x=/叫一〃，代人抛物线方程应用韦达定理得弘+J，2=4〃？，J；M=4〃，

代入宓=-4可求得〃=-2,从而得定点坐标.

【详解】（1）由题意可知，将点“（2,-2后）代入抛物线方程，

可得（-2血『_2入2,解得，=2,则抛物线方程为/=4x.

（2）因为直线/与抛物线相交于不同的4、8两点，

所以直线不与x轴平行，可设/:x=my-〃，与V=4x联立，得/-4/町，+4〃=0,

设4（再,乂），,.•・乂+必=4.，>M=4〃.A=16m2-16/I>0,m2>/?,

由方丽=X|W+必力=（祈乂-〃）（"%一〃）+必必

=（川+1）必月一"〃?（必+巳）+,

=（"/+1）x4〃-mnx4m+n2

2

—n+4〃=-4,解得n=-2t

.,./:x=my+2过定点（2,0）.

13.已知抛物线炉=2px0>0）上点"3,。到焦点户的距离为4.

（1）求3〃的值；

（2）如图所示，设44是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且3.砺=5

（其中。为坐标原点）.求证直线48必过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】p=2,t=±23直线48过定点（5,0）

解：（1）由已知得3+；=4,♦；。=2,•••抛物线的方程为产=4工，代入可解得/=±23.

（2）设直线的方程为x=〃?y+〃，/[4'）],3（4'.由'〃。+〃，得产―4〃?y—4〃=0,JU'Jy\

y2=4x

4-^2=4/〃，yi>2=-4〃.由OA-OB=5,得0/+,必=5，:.y通=-20或y0=4（舍去）.

16

即一4〃=-20,，〃=5,，直线48过定点（5,0）

【题型3】过焦点的直线与抛物线联立韦达化计算

基础知识

抛物线y?=2px的焦点为F,4区，必）,8（工2，为）是过户的直线与抛物线的两个交点，则有

2

xxx2=^-yyxy2=-p.

4

/,//典型例题/

14.（2023上•广东广州•高二统考期末）已知抛物线/=61，直线/过抛物线的焦点，直线/与抛物

线交于48两点，弦48长为12,则直线/的方程为.

【答案】y=x-］或y=-x+j

【分析】根据题意可得抛物线的焦点尸（g,0

设直线/的方程为，=%=kx-^k,4（再，必），

仅/，为），联立直线/与抛物线方程，消掉丁得关于工的一元二次方程，利用韦达定理可得M+S,

由|/8|=12,解得k,即可求解.

【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点尸（|',0）,

根据题意可得直线/的斜率存在，

设直线，的方程为y=4卜-3=kx--k,力（》,凹），8区，月），

3

y=kx--k得左2》2_(3犬+6"+2犬=0,

联立­

/=6x4

r-35+69

所以2+占=—广一,王超=7，

K4

因为|J5|=x+X2+p=次：6+3=12,

xk

解得"2=],Zr=±l,

33

则直线/的方程为y=x--A,v=-x+—

22

15.（广东深圳•高二校考期末）已知点是抛物线C：/=2px（p>0）上的点，/为抛物线的

焦点，且|户川=2,直线!：y=A（x-l）与抛物线。相交于不同的两点力，B.

（1）求抛物线。的方程；（2）若|力回=8,求％的值.

【答案】（1）/=4x;（2）1或-1.

【分析】⑴根据抛物线的定义|尸尸|=1+5=2,即可求得p值；（2）由过抛物线焦点的直线的性质，

结合抛物线的定义，即可求出弦长AB

【详解】⑴抛物线C:『=2px的准线为x=Q

由心|=2得：竹=2,得p=2.

所以抛物线的方程为/=4x.

⑵设4（耳,乂），8（8,为），由，2一）［：“nXK-（2/+4卜+〃=0,

A=16^2+16>0,

.2攵2+4

・・玉+/=二—，

•・•直线/经过抛物线C的焦点尸,

・•・同=%+%+〃=?

+2=8

K,

解得:k=±l,

所以〃的值为1或-1

16.过抛物线C炉=2px(p>0)的焦点尸的直线交抛物线于4B两点,且48两点的纵坐标之积

为一4,求抛物线C的方程.

【答案】产=4工

里'°],故可设直线48的方程为x=〃w+g.

【解析】由于抛物线的焦点

x=my-rr,

2

由得产一2〃股一p2=0,设力(X],刈)，Bgy2),则)”2=—p2,

F=2px,

：.-p2=-4,由p>0,可得p=2,・•・抛物线C的方程为尸=4x.

17.已知抛物线的顶点在原点一轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为:的直线被抛物线所截得的弦长

为6,求抛物线的标准方程.

【答案】产=3x

po]

【酵析】解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为必=2px(p>0),则焦点八2'J,

直线/的方程为y=x—P.设直浅/与抛物线的交点为力但，y),Bgyi),过点4,3向抛物线的准

2

线作垂线，垂足分别为点4,点则|48|=|阳+|防=[/1小|+|8以|=[*+4+[+幻=叩+力+〃

=6,，XI+X2=6—p.①

p

尸x一；,

^~2J2=2px即炉一

由消去外得f3px+；=O.；.xi+x2=3p,代入①式得3p=6—/7,

F=2px

••卬=；・•・所求抛物线的标准方程是产=3x.

18.(23-24高二上•湖南益阳・期末)已知抛物线。：/=2勿(〃>0)的焦点为尸，过尸的直线与抛物

线交于4B两点，OAOB=-3(。为坐标原点)，则分别在点48的抛物线的切线交点轨迹方

程是.

【答案】》=-1

【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用

数量积可得p=2,进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析.

【详解】由题意可得b（o或J,设力（王,凹），8（5，必）,

显然直线48的斜率存在，则可设为丁=米十三,

)"+2,消去>可得V-2%px-p2=0,

联立可得《

x2=2py

2

则A=4A「p'+4/>0,可得再+尤2=2曲，x]x2=-p,

贝次月=（处+会]h2+々

=k\x2+-^(Xi+x2)+^-

=内.())+号2kp+?=-k，=j

因为O4=(X]，M),OB=(x2,y2),

23

22

由方•砺二一3可得x,x2+)\y2=-p+-^-=--p=-3,

由p>0,解得p=2.

此时抛物线C:/=4y,即y=2l,可得力（再,手

44

可知在点A处的切线斜率存在，设切线方程为y—五=凡（工-用

4

x2=4y

2

联立方程，x,消去y得x2-44x+44芭-x；=o,

尸方=心_菁）

可得A=16-一4（他再-X：）=4（2勺f[=0,解得4二5,

则切线方程为y-争=E（x-xJ,即尸色_1，

同理可得在点A处的切线方程为y=三

24

X)再3+工2”

y=—x——-x=———-=2k

’242

联立方程〈.解得

占X；v_£_

y=-^x--i==I

2444

即交点坐标为（2〃,-1）,可知所求轨迹方程为歹=-1.

【题型4】不过焦点的直线与抛物线联立计算

基础知识

1、若直线过x轴上的定点(加。)，可以考虑设直线方程为x=W+加

2、一般地，如果直线/恒过定点加(m,0)与抛物线V=2px(p〉0)交于48两点，那么

猫"=-2pm.

/力典型例题/

19.过点(1,0)作斜率为一2的直线，与抛物线炉=8x交于48两点，则弦力8的长为()

A.213B.215

C.217D.219

【答案】B

【解析】设4(xi,y),8(刈，也).

由题意知AB的方程为y=-2(x—1),即y=—2x+2.

,炉=8》，

由得X~-4x+l=0,/.Xl+X2=4,X\X2=1.

y=-2x+2

・•・|48|=(I+?)[(占+X2)2-4工时

/〃巩固练习/

20.已知点力(-2,1),8(2,4),C(2,l)中恰有两个点在抛物线E:/=2pMp>0)上.

(1)求E的标准方程；

(2)若点加(须,必)，N(/,%)在E上，且苍马=-4,证明：直线过定点.

【答案】⑴/=4y；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据点的坐标可得抛物饯K也关于y轴对称，将点4(-2.1)代入撤物线方程即可求解：

(2)设直线A/N的方程为y=d+〃j与抛物线方程联立结合韦达定理可得〃?=1,即可求定点坐标.

【详解】(1)因为点彳(-2,1),C(2,l)关于y轴对称，抛物线£也关于N轴对称，

所以点力(一2,1),C(2,l)在E上,

将点力(一2,1)代入抛物线欧/=2勿(〃>0)得，4=2〃，即〃=2,

所以抛物线E的方程为：.?=4y；

(2)由题法可知，直线MN的斜率一定存在，则设直线A/N的方程为^=云+小，

y=kx+m

由〈2,消V得：x2-4kx-4m=0,

xz=4y

由韦达定理得-t|X2=-4m=-4w=1,

21.设点P（x,刃&20）为平面直角坐标系内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点

的距离比点尸到戈轴的距离大L

2

（1）求点尸的轨迹方程：

（2）若直线/：），=依+1与点尸的轨迹相交于4B两点,且|力用=26,求实数上的值.

【答案】f=2y,k=±J

【详解】解：（1）过点尸作x轴的垂线且垂足为点M则|PN]=y,由题意知|PM-|PN=；.

.d+b'-』2=J，+；,化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y.

（2）由题意设力（xi,川，8（X2,及），联立‘‘消去了化简得/一2七一2=0,・・・不+e=2左，

\x2=2y,

X1X2=12.

*：\AB\=1+Zr2-（XI+X2）2-4JIX2=1+公,4F+8=26,

・・・K+3A°—4=0,又NN。，，3=1,.M=±L

【题型5】垂直关系的处理

基础知识

坐标系中的垂直关系一般化为数量积相乘为0或斜率之积为-1

/u典型例题/

22.若抛物线产=以与直线y=x—4相交于不同的两点4B,求证

>p=4x,

【详解】由消去认得N—12X+I6=0.

y=x-4

•・•直线y=x-4与抛物线相交于不同两点力，B,

，可设力（修，yi）,8（x2,J2）,

则有X\+%2=12,X\X2=16.

OA-OB=x1.V2+yi/2=r1x2+(xi-4)(x2-4)=

xm+xiQ—4(r+x2)+16=16+16~4X12+16=0,

：,OA1OB,OA±OB.

/〃巩固练习/

23.已知抛物线C:/=4x,过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,0两点，。为坐标原点.证明:

ZPOQ=90°.

【解析】直线产。：戈=町+4,P(X],必),。(吃，％)

,.,,x-my

由x=mv+4,得CT1=-------

4

x=my+4,x-tnv

则由2,，得：/=4上•一■,

y=4x4

/、2

整理得：1^1+〃2-1=0,即：

x*占

所以kOP,kOQ=九2=一I,

中2

则OP_LO0,即：/尸00=90,

24.过抛物线C：/=20。＞0）的焦点/作直线/与抛物线c•交于力，B两点,当点力的纵坐标为1

时，MF|=2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C上存在点M（~2,次），使得求直线I的方程.

【答案】（1）4=4"（2）夕=2X+1

解：（1）△4=2/夕的准线方程为夕=一，，当点4的纵坐标为1时，|/46=2,，1+"=2,・'•卢=2,

22

抛物线二的方程为4=4夕.

2『|夕=&+1,

（2）・；M一2,多）在O上，，乡,=1，=1,又月0,1）,设/的方程为夕=女+1,由

4*=修

得〃一4/%—4=0,令&（*,乡），区％,9），则《+&=4女，*&=­4,忘=（*+2,乡-1）,

荻=（%+2,必-1）,,:MA工MB、=0,，（禺+2）（8+2）+@—1）（0-1）=3,A-4

+8%+4—4々=0,・・・Z=2或0,当4=0时，/过“点（舍），当£=2时，/不过〃点，・・・£=2,・•・

/的方程为y—2x+1.

【题型6】弦长公式与面积计算

基础知识

抛物线中弦长公式与椭圆双曲线一致

\AB\=yj\+k2|x,-x\=（左为直线48的斜率，且人工0）.

265尻一刃

//典型例题/

25.过抛物线C:/=4x的焦点/分别作两条相互垂直的直线心A，若直线4与抛物线C交于

力（不,必），8（8,8）两点，直线4与抛物线。交于。（演，川），七（工2，〃）两点，且内<々，则四边

形ADBE的面积为.

【答案】32

【分析】设出两直线的方程，求出MB|、|。同，表示出四边形/1Q8E面积，即可得出答案.

【详解】抛物线C:_/=4x的焦点尸（1,0）,

因为4。和的横坐标相同且48,。,。在抛物线上，易为关于x轴对称且夹角为90°,

所以直线4的斜率为1,则直线4的斜率为-1,显然直线（和4的斜率都存在，

则设直线4的方程为y=x-1,直线乙的方程为y=—（％—1）,

fv=x-1、fy.+y=4

联立方程组厂2/，消元得/一”一4=0,则｛八九7，

卜一二4》〔必必二-4

即以却=_必|=C^J（M+%）2-4必必=8,同理|。同=8,

所以四边形/D8E的面积为:5=-X|J5|X|DE|=32

2

71

26.过抛物线C：V=2px（〃>0）焦点尸的直线/交c于48两点，特别地，当直线/的倾斜角为3时,

同喙

（1）求抛物线C的方程；

⑵已知点p（-1,2）,若PA工PB,求△048的面积（。为坐标原点）.

【答案】（1）/=4工

⑵2起

【分析】（1）由题意设直线/：工一己=也入联立抛物线方程.结合弦长公式即可列方程求得参数P,

23

进而得解；

（2）由题意设直线/：x-l=W,联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求

得参数进一步即可求解△0/4的面积.

【详解】（1）抛物线C:/=2px（p>0）焦点厂的坐标为（多0

联立抛目勿线方程y2=2“x,

化简并整理得，/一苧0一p2=o,显然△>（）,

设力01，力）,8（X2,先）,则必+为=号"夕，必必=-/，

则1彳同=^||必一必|=¥，（必+必『-4必为=半《半P-4X（-P2）

考・怦彗。解得”2,

所以抛物线C的方程为V=41：

⑵设4021）,8（必，，2），

显然直线/的斜率不为0,所以设直线/：工-1=少，联立抛物线方程/=4》,

化简并整理得丁2-4,-4=0,显然劣=16（/+1）,0,

所以乂+必=4，,必必=-4,

又尸（一1,2）,所以苏二（5+1,必-2）,而=（电+1,%-2）,

因为PAJ.PB,

所以苏•丽=（$+1）（超+1）+（必-2）（%-2）

=%巧+（X+W）+1+MV2-2（M+必）+4

+/（乂+必）+2+弘力-2（,+%）+5

=(9+Zx4/+2-4-2x4/+5=4(1『=0,

所以f=l,则必+8=4,必出=-4,

设△。力8的面积为S,

22

则5=；|0/必一为|=；x1xJ（必+必『一1\/4+4=2>/2,

所以△048的面积为26.

27.已知抛物线V=l2x的焦点为尸和定点。（6,3）,P为抛物线上一动点.设直线交抛物线于4月

两点，当|打1=9时，求,48的面积.

【答案】答案见解析

【分析】由抛物线炉=12”可知焦点产（3,0）,又。（6,3）,因此可知直线48的方程，与抛物线联立，

可求出弦长I月8|：因为冏|=9,由抛物线的定义可求与=6,进而可求出P（6,±6JI）,分两种情况

求△P/8的面积即可.

因为尸（3,0）,。（6,3）,所以左=汇=1,所以直线股方程为y=x—3.

设4（%力）5（%2，、2），

y2=12x

联立广-，</-12y-36=0,显然A>0,

y=x-3,

所以必+为=12,必外二一36,

则+尸)[(乂+%)2-4y必]=24.

因为|尸耳=9,所以X。=6,则网6,±6\/J).

|6-6衣-3|「拉

当网6,6人）时,尸到尸0的距离d=用8=产4乂6-

----67=---=6----

当P（6,—6&）时，Q到尸0的距离4=：+??-3|=6+孚,,

=；x24x16+=72+18人.

\PAB

/〃巩固练习/

28.已知彳、3是抛物线丁=4%上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P.

(I)若求p的坐标;

(2)若P为抛物线的焦点，且弦48的长等于6,求△。48的面积.

【答案】(1)(40)；

(2)76

【分析】(1)设直线43的方程为工二%，+，"WO),与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量

数量积公式可求得/的值，从而求出P的坐标；

(2)设直线的方程为》=町+1,与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得/的值，

再求出点O到直线的距离，从而求出△0/8的面积.

【详解】(1)因为直线48不垂直于y轴，设直线力8的方程为x=my+f,"00),片区,必),B(x”M),

x=my+t,,,

由y2=4x消去”得，卜-4*4/=。,

所以A=16/+⑹>0,必+为=4机，yxy2=-4t,

由04_L04,得力.砺=》/2+必/=(/2)+必必=1^__4/=尸一4/=0,

1616

解得Z=4,满足△>(),所以直线48方程为％="9+4,

令y=0得x=4,即P的坐标(4,0).

(2)由题意知抛物线的焦点为(1,0),因为直线力8不垂直于y轴，设直线的方程为x=〃y+1,

点4(/，%),8(%乂),

x=ny+\,

由〈2.消去x得，y--4=0,

所以△=16〃2+16>0,%+居=4〃，y3y4=-4,

所以\AB\=J1+〃2仅3—阂=J"”?V16/?2+16=4(1+//2)=6,解得/J=g,

点。到直线44的距离为d=-j」==*，

Cl+〃23

所以1°”=；|力⑼4=；乂6*一=后,

22J

故△046的面积为几.

B

29.如图，已知直线与抛物线C：/=2px（p>0）交于48两点，且O/1J.O8,OD上AB交AB于

点。，点。的坐标为（1,1）

⑴求〃的值.

（2）若线段的垂直平分线于抛物线C交于E,F两点、,求AOEF的面积.

【答案】（1）P=1

（2）12

【分析】（I）由两直线垂直得到直线48,再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出

即可；

（2）设线段48的中点为加（％,为），由中点坐标公式得到/印方程，联立曲线方程，得到韦达定理,

结合两点间距离公式化简即可：

【详解】⑴设4（修,力）,8（必，丫2），

因为交45于点。，点。的坐标为（1』），

所以直线4?的方程为^一1二-（工一1）,

y2=2px（p>0）.,

联立广，/,消去），可得炉+2朗-4P=0,A=4p-+16p>0,

则凹+月=-2夕，必必=-4〃，

因为04108,所以王马+乂%=。，

即4—2（乂+为）+2必必=0，即4+4，-8p=0,解得〃=1,

（2）

设线段48的中点为"（小，为），

由（1）知J、=乂；-为=-p=-l,所以々=2一%=3,

所以/加•：y+l=尤-3,即y=x-4,

r=2v

,消去x可得炉-2歹—8=0,A=4+32=36>0,

{r=y+4

设七（刍，必），尸（凡，居），则必+乂=2,%乂=-8,

所以归可=+（必-乂『=M（M+Mf~4必T=g，

又点。到直线£尸的距离为号=2立，

所以40环的面积为1x6及x2&=12.

2

30.已知动圆M过点打1，°）且与直线—一1相切，记该动圆圆心M的轨迹为曲线0

（1）求C的方程;

（2）若过点”（2,0）的直线/交。于48两点，且屈=2而，求△048的面积.

【答案】（l）/=4x

（2）6

【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式,建立方程方程,

可得答案；

（2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案.

【详解】（1）设M（x,y）,动圆A/的半径厂=）（》一1）2+•=|五+“,

整理可得_/=4x.故曲线。的方超为V=4x.

（2）法一:

设力（％1，丫1）,8（%2，、2），不妨设点A在X轴上方，

由27=2而可得必=一28，

由已知直线/斜率必不为0,故可设直线/：x=少+2,

y?=4JV

联立方程厂一…可得/-4少-8=0,

x^ty+2"

A=16Z2+32>0M=4

必+必=：,解净乃二-2,故4(4,4),8(1,-2),

故〈

必•乃二-8%+8=4/=2

.%=一2%A=l6r2+32=36

S'OAB=SQHA+SGOHB=5X冈必—%|=5'2'6=6.

设4（%1，、1）,8（%2小2），不妨设点A在X轴上方，

由屈=2而可得2-2=2（々_2）,242+王=6,

若直线/的斜率不存在，则屈=丽，不符合题意，舍去;

设直线/：y=A(x-2),

联立方程I，可得心2_4(公+1卜+4-=(),

y=k(x-2)

4

玉+x2=4A+后

<xr/=4,解得4(4,4),8(1,-2),\AB\=\l32+62=375,

x,+2X2=6

4

2

x,+x2=5=4+—,^k=4.

原点、。到直线,/的距离d=

JlJ2+*1〃2=-J%5="5,

故40AB的面积=；x|力6|xd=；x3逐x卡=6

【题型7】抛物线中三角形与四边形面积最值问题

基础知识

面积的表示：可以考虑结合铅锤高或水平宽来表示面积

求解最值：一般化为二次函数模型或利用基本不等式来求最值

///典型例题/

31.已知抛物线/=2px（p>0）,过该抛物线焦点产的直线,与该抛物线相交于48两点（其中点A

在第一象限），当直线/的倾斜角为60。时，忸4二2,。为坐标原点，则△048面积的最小值

为•

【答案】；9

2

3

【分析】结合题意求出〃，设直线48：X=〃"+5，结合韦达定理表示出△。48面积，结合基本不等

式即可求解.

【详解】如图所示，分别过44向准线作垂线，垂足分别为才、过8作力©的垂线，垂足为

当直线/的倾斜角为60。时,结合题意易得忸尸|=忸m=2,

3

所以忸7*0560。=p-|5F|<=>|5F|（l+cos60°）=p,即p=2x-=3,

设4（%,月）,合出以），满足4=6%,父=6X2,

设直线48：x=my+1-,代入抛物线方程y?=6x,

凹+必=6m

可得V_6my-9=0,«

.凹必一

所以S皿+|必而扇=:

9

当机=0时，三角形048面积取最小值，此时最小值为Q.

故答案为：

32.(23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期末)已知产是抛物线U/=4%的焦点，直线/与抛物线。交于

不同的两点48,且刀.砺=一4,则△48面积的最小值等于.

【答案】2V2

【分析】设方程为x=0'+〃，代入抛物线方程，应用韦达定浬得乂+乃，乂%，由a.丽=-4求得

〃，距离公式求得卜却，再求得原点到直线/的距离”可得三角形面积，从而得最小值.

【详解】抛物线。的方程为/=4x,

由题可知直线/斜率若存在，则斜率不为0,故设/为x=+

x=ty+n,

由<2彳，得尸一4少—4〃=0,则△=16〃+16〃>0，即产+〃>(),

y-=4x

工必+必=4/,乂必=-4〃，

"】'1

则OAOB-xix2+y\y2=+yxy2=n-4〃=-4,解得〃=2,

直线/方程为“="+2,恒过定点(2,0),

\AB\=+—H|=&1+*)[(必+%)2-4乂、2]=J。+尸)(16/+32)=4J(1+/)(/+2),

11-0-211