平行四边形中的几何综合压轴题（解析版）-人教版八年级数学下册

专题18」平行四边形中的几何综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

♦知识点总结

一、平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

二、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

♦典例分析

【典例1】已知固48CD,BC=2

DA

(1)如图1,若以8C为边作等边△8CE,且点石恰好在边40上，直接写出此时团力BCD的面积；

(2)如图2,若以为斜边作等腰直角△BCF,且点尸恰好在边21。上，过C作。G1C0交8尸于G,连接

①依题意将图2补全；

②用等式表示此时线段CD，CG,AG之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,以8C为边作团BCMN,且乙CMN=60°,BN=3.若M41BD,直接用等式表示此时8D与NA的

数量关系.

【思路点拨】

(1)作£7J.8C于点/,利用等边三角形的性质求得引的长，再利用勾股定理求得E/的长，最后利用平行四

边形的面和公式求解即可；

(2)①依照题意补全图形即可；

②延长CF交BA的延长线于点H,延长CG交8A的延长线于点J,利用ASA证明△HBF=△GCF,推出GC=BH,

FG=FH,再证明△力FG三△AFH(SAS),推出AG=AH,即可证明CG=CD+HG;

(3)连接BM,作BK1MN并交MN的延长线于点K,推出四边影4DMN是平行四边形，得到△8MC是直角

三角形，BD2+DM2=BD2+NA2=BM2,求得BM即可解决问题.

【蟀题过程】

(1)解：作E/1BC于点/,

BC

VABCE是边长为2的等边工角形,

：.Bl=IC=-BC=1,

2

/.£/=>/BE2-BI2=V3,

・•・此时国/BCD的面积为BCxF/=2xV3=2，5；

(2)解：①补全图形如图，

®CG=CD+AG；理由如下，

延长CF交BA的延长线于点H,延长CG交的延长线于点J,

••N8CF是以8。为斜边的等腰直角三角形，

：.BF=CF,乙BFC=LBFH=9M,Z.FBC=45°,

•・•四边形48CD是平行四边形，

：.AD\\BCfAB=CD,

C.LAFB=乙FBC=45°=^AFH,

丁四边形为BCD是平行四边形，CGLCD,

：.LB]G=Z.GFC=90°,

二人HBF=90°-Z-BG]=90°-乙FGC=乙GCF,

Z-HFB=1GFC=90°

在ZiHB/7和aGC/中，BF=CF,

乙HBF=乙GCF

：.△HBF三△GCF(ASA),

：.GC=BH,FG=FH,

y,'：^AFB=£AFH,FA=FA,

：.LAFG三△AFH(SAS),

：,AG=AH,

：.CG=BH=BA+AH=CD+AG；

(3)解：BD2+NA2=13.

连接BM,作BK1MN并交MN的延长线于点K,

由题意得MN=AD=8C=2,MNWACWBC,

・•・四边形AOMN是平行四边形，

：,MD=AN,MDWNA,

9：NA1BD,

AMD1BD,即^BMO是直角三角形，

•・•四边形BCMN是平行四边形，EzCM/V=60°,

"CBN=乙CMN=60°,(KBN=90°-60°=30°,

•:BN=3,

：.KN、BN=：,BK=y/BN2-KN2=—,

222

：.KM=KN+MN=-,

2

:.BM=ylBK2+KM2=V19,

：.BD2+DM2=BM2=19,即BD2+NA2=19.

♦学霸必刷

I.(22-23九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)四边形力BCD中R3ICD,匕ABC="DC.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)E是8C上一点，连接OE,F在0E上，连接4尸、CF,AF=CF,4DAF=(DFC,求证：CE=FD；

(3)在(2)的条件下，若乙BE。一乙4FD=60。，DE=5,AF=2.求线段BE的长度.

【思路点拨】

(!)证明4DIIBC,即可证得结论;

(2)在力。上取一点G,连接尸G,使FG=F4如图，证明△GFD三△FCE(AAS),即可得出结论：

(3)如图，作尸MIIBC交AB于M,证明△4FG是等边三角形，可得力尸=AG=FG=2,^AGF=60°,设

EF=x,用含x的代数式表示出直角三角形尸DH中的相关线段，然后利用勾股定理列出方程求出x,进而求

解.

【解题过程】

(I)证明：*：AB\\CD,

：.LB+Z-C=180°,

'：LABC=LADC,

：,£D+Z.C=180°,

：.AD||BC,

，四边形ABCD是平行四边形；

(2)证明：在力。上取一点G,连接FG,使FG=H4,如图，

,：WAF=ADFC,AF=CF,

：,LFGA=ZDFC,FG=FC,

：,LFGD=乙CFE,

*：AD||BC,

,"GDF=乙FEC,

：.AGFD三△FCE(AAS),

：,CE=FD；

(3)解：如图，作FM||BC交A8于M,MMF||AD,乙BED=iMFD,

：,LMFD-Z.AFD=60°,即4力尸"=60°,

：.£DAF=60°,

9：FA=FG,

•人"G是等边三角形，

：.AF=AG=FG=2,"GF=60°,

作FH1力。于点H,则HG=-AD=l/HFG=30°,

2

：.HF=V22-l2=V3,

设EF=x,则DG=£F=x,DF=DE-EF=5-%,OH=%+1,

2

，在直角三角形FD”中，根据勾股定理可得：(%+1)2+(百)=(5-x)2,

解得：X=p

4

.\AD=24-x=—4,DF=4EC=5—x=—,

•・•四边形/BCD是平行四边形，

：.BC=AD=—,

4

2.（22-23八年级下•广东•开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB1.AC,对角线AC、8D相交于点。,

将直线绕点。顺时针旋转一个角度a(00<a<90°),分别交线段BC、AD于点E、尸，已知L48=1,BC=圾,

连接BF.

(1)如图①，在旋转的过程中，请写出线段力尸与EC的数量关系，并证明；

(2)如图②，当a=45。时，请写出线段6F与DF的数景关系，并证明；

(3)如图③,当a=90。时,求△8。尸的面积.

【思路点拨】

(1)由平行四边形的性质得出ADIIBC,AO=CO,^\LFAO=LECO,由ASA证得△4尸。三△CEO,即可得

出结论4F=EC；

(2)由勾股定理得出AC=y/BC2-AB2=2,由平行四边形的性质得出8。=DO,AO=CO=AC=1,

推出力8=40,求出NB。尸=4408+4/10/=90。，BPFF1BD,由BO=DO,即可得出结论BF=D/；

(3)由N&4B=^AOF=a=90°,得出4BIIEF,证得四边形力BE5是平行四边形，则48=EF=1,由(1)得

△4F。三△CEO,得出。F=OE=：EF=由(2)得4。=1,由48||EF,AOLEF,则S^OF=S.AF=

-AO•OF.

2

【解题过程】

(1)解：AF=CE；理由如下：

•••四边形力8C。是平行四边形，

•••ADWBC,AO=CO,

:.Z.FAO=Z.ECOf

.•.在△力尸0与4CE。中，

(Z-FAO=乙ECO

AO=CO,

V^AOF=乙COE

三△CEO(ASA),

•••AF=EC；

(2)BF=DF；理由如下：

vAB1AC,

ABAC=90°,

:.AC=y]BC2-AB2=J(西)？-I2=2

•••四边形力BCD是平行四边形，

•••BO=DO,AO=CO=2-AC=1,

:.AB=AO,

又•.48_L4C,

:.Z.AOB=45°,

va=45°,Z.AOF=45°,

ZBOF=Z-AOB+Z.AOF=450+45°=90°,

•••EF1BD,

•••BO=DO,

BF=DF；

(3)-.ABLAC,

/.CAB=90°,

/.CAB=AAOF=a=90°,

:.AB\\EF,

•••四边形力8CZ)是平行四边形，

:.AFWBE,

四边形A8EF是平行四边形，

..AB=EF=lt

山(1)得：^AFOCEO,

,OF=OE=-EF=-,

22

由(2)得：AO=1,

vABWEF,AO1EF,

S^BOF=S^AOF=z力。,。/=gxlx[=[.

3.（22-23八年级下•湖北武汉•阶段练习）在△ABC中，4?=47,点/为△43。所在平面内的一点，过点

P分别作PEIh4c交AB于点心PFIIAB交8c于点。，交居于点E

图1图2图3

(1)如图1,若点P在BC边上，此时P0=O,直接写出PD、PE.P尸与48满足的数量关系；

(2)如图2,当点P在内，猜想并写出P。、PE、PF与满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(3)如图3,当点P在△/1BC外，猜想并写出PO、PE、P尸与718满足的数量关系.(不用说明理由)

【思路点拨】

(1)证平行四边形PEAF,推出PE=4F,PF=止平根据等腰三角形性质推出NB="=ZEP8,推出PE=

8E即可；

(2)过点P作MNIICB分别交48、AC于M、N两点，推出PE+P尸=4M,再推出MB=P。即可；

(3)过点P作MNIIC8分别交力8、4C于M、N两点，推出PE+尸产=4M,再推出MB=PC即可.

【解题过程】

(1)结论是PO+PE+PF=AB,

证明：VPEIMC,PFWAB,

•••四边形PE力F是平行四边形，

•••PF=AE,

vAB=AC,

•••Z.B=乙C,

9：PE\\AC,

:.乙EPB=乙C,

•••Z.B=乙EPR,

二PE=BE,

vAE+BE=AB,

•••PE+PF=AB,

vPD=0,

•••PD+PE+PF=AB.

（2）结论是PO+PE+PF=AB.

证明：过点尸作MNIICB分别交48、AC于M、N两点,

•••四边形80PM是平行四边形，

vMB=PD,

二PD+PE+PF=AM+MB=AB.

(3)结论是PE+PF-PD=AB.

证明：过点尸作MNIIC8分别交48、4C延长线于M、N两点,

•••四边形8DPM是平行四边形，

•••MB=PD,

AB=AM-MB=PE+PF-PD.

即PE+PF-PO=AB.

4.（22-23八年级下•辽宁沈阳•阶段练习）己知着48。。中，一动点P在力。边上，以每秒1cm的速度从点力向

点。运动.

<1）如图，运动过程中，若30平分且满足=求的度数.

AD

B--------------C

（2）如图，在（I）的条件下，连结CP并延长，与4B的延长线交于点心连结。/，若CO=26cm,直接

写出：aOPF的面积为cm2.

（3）如图，另•动点Q在8c边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当

点户停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（亡＞0）,若A0=12cm,则七=秒时，以P、D、Q、

8为顶点的四边形是平行四边形.

【思路点拨】

（1）可证A8=HP,从而可证A3=8P=AP,即可求解：

（2）设边上的高为九1，边BC上的高为九2，SAPBC=SACDF=^S^ABCD,可得S.DPF=SNAB，即可求解；

（3）当PD=8Q时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12-£=12-4t时，②当12-£=

24-4t时，③当12—£=4£-12时，④当12—t=4£-24时，⑤当12—£=36—4£时，⑥当12—£=4£一

36时,即可求解.

【解题过程】

（1）解：•••四边形48CD是平行四边形,

ADHBC,

Z.APB=乙CBP,

...BP平分4718c,

•••乙48P=乙CBP,

•••Z.ABP=Z.APB,

•••AB=AP,

vAB=BP,

•••AB=BP=AP,

.•.△ABP是等边三角形,

"BP=60°,

Z.ABC=120°.

(2)解：如图，设边CO上的高为hi，边BC上的高为电，

•.•四边形/BCD是平行四边形,

S«DF=~/ii•CD=-SQABCDf

S△尸8c=3八2.3C=2^ABCDf

54PBC=S^CDF=2^QABCD，

S&PCD+S^DPF=；S(3ABCD，

SAPAB+S&PCD=~S^ABCD,

SAP’O+5ADPF=S^PAR+5APCD»

SbDPF=SNAB，

••・△/IBP是等边三角形,

S^DPF=S&PAB=?X(2V3)=3V5.

(3)解：•••PDIIBQ,

当PZ)=8Q时，四边形PD8Q是平行四边形,

v-=12(s)，

1

•••0<t<12,

①当12-t=12-4£时，

解得：t=0;

此时当P与4重合，Q与C重合；

②当12—t=24—4t时,

解得：t=4；

③当12-£二牝-12时，

解得：t=4.8；

④当12—t=4t-24时，

解得：£=7.2；

⑤当12-亡=36-钮时，

解得：t=8；

⑥当12-t=4t-36时,

解得：t=9.6；

综上所述：£为0秒、4秒、4.8秒、7.2秒、8秒、9.6秒.

5.(22-23八年级下•浙江金华・期中)如图1,在RtA2B3中,LC=90°,Z-B=30°,AC=12,点P,Q

分别是。4,上的动点，。从。出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，。从A出发以每秒8个单

位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中•点到达终点时整个运动结束，设运动时间为，秒.过

点Q作QM1BC于点、M.

(I)AP=,QM=.(用含/的代数式表示)

(2)如图2,已知点。为8C中点，连接QO,PD,以QO,尸。为邻边作平行四边形。PEQ.

①当PA=3PC时，求QO的长；

②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形DQEQ的一边落在Rt/k/lBC的某边上？若存在，求出

所有符合条件的，的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)先利用含30。角的直角三角形的性质求出力8=24,进而得到CP=3t,AQ=8t,据此求出4P、QM即

可；

(2)①根据P4=3PC,求出t=1,则BQ=16,QM=8,利用勾股定理分别求出8M=8h，BC=12®

进而求出OM=2V5,^\QD=yjQM2+DM2=2^19；②分图2-1,2-2,2-3三种情况，讨论求解即可.

【解题过程】

(1)解：'•在RtA/lBC中，ZC=90°,=30°,AC=12,

：.AB=2AC=24,

•••户从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点4运动，。从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点4

运动，

CP=3t»AQ=83

：.AP=AC-CP=12-3t,BQ=AB-AQ=24-8L,

，：QM1BC,

，“MB=90。，

又•,"B=30°,

:,QM=；BQ=12-4t,

故答案为：12—3如12-4t；

(2)解:①:PA=3PC,

A3x3t=12-33

解得t=1，

：.BQ=24-8t=16,QM=12-4t=8,

:.BM=y/BQ2-QM2=8V3,

在ABC中，由勾股定理得8c=7AB2-4c2=12g,

•・•点。为BC中点，

:・BD=^BC=6V3,

・・・DM=BM-BD=2百，

在RtAOMQ中，由勾股定理得QD=JQM2+DM2=2回;

②如图2-1所示，当PE落在47上时,则PE||QD,

图2・1

：.QD1BC,

・•・此时点。与点M重合，

:・QD=12-4t,BQ=24-8t,

在RtZkQBD中，由勾股定理得+QO2=BQ?,

/.4t2-24t+27=0,

解得£=;或";（舍去）;

如图2-2所示，当QE落在A8上时，延KPO到〃使得尸。二〃0,连接3〃,

•:CD=RD,PD=HD,iPDC=LHDB,

：.△PCD^△H^D(SAS),

：・CP=BH,乙C=LHBD,

：・BH||AC,

•・•四边形DQEP是平行四边形，

:,PD||DE,

:.四边形是平行四边形，

：.AP=BH=CP,

.*.3t=12—33

解得£=2；

如图2-3所示，当点。运动到点8时，此时DQ在8c上,

CDB(Q)

图2-3

综上所述，f的值为:或2或3.

6.（22-23八年级下•江苏苏州•期中）如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图,

A,B,C,。分别是该区域的四个入口，两条主干道AC,BD交于点0,请你帮助苏州乐园的管理人员解决

以下问题：

（1）若48=1.3km,AC=2km,BD=2.6km,你能判断△A08的形状吗？请说明理由.

（2）在（1）的条件下，如图2,乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN,MN,CM,

其中点M在。8上，点N在。。上，且BM=ON（点、M与点、O,B不重合），并计划在△力。川与△COM两块

绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积.

（3）若将该区域扩大，如图3,此时4CJL80,力C=6km,8D=3km,8M=ON,修建（2）中的绿道每

千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值.

【思路点拨】

（1）利用平行四边形的性质求出04OBr进而可得88=。8±。4则△AOB是等腰三角形；

（2）根据已知条件口J得S^COM=SA.OM,从而SMON+S«OM的忧转化为求SA.MN=:SOABCD的值即可；

（3）如图所示，过点M作MPII4N,过点4作/PIIMN交MP于P,则四边形力PMN是平行四边形，AN=

PM,AP=MN,同理可得08==1.5km,求出AP=MN=1.5km,进而推出当C、M、P三点共线时,

PM+CM最小，即AN+MN+CM最小，最小值为PC+15由勾股定理得PC=^km,则（AN+MN+

CM）最小=（浮+1.5）km,据此求解即可.

【解题过程】

(1)解：AAOS是等腰三角形，理由如下：

•・•四边形4BCD是平行四边形,AB=1.3km,AC=2km,BD=2.6km,

*.0A=-AC=lkm»OB=-BD=1.3km,

22

.'.AB=OBHOA,

・♦・么4。8是等腰三角形；

(2)解：连接4M、CN,如图：

•••在AACM中，04=0C,

S“OM=SAAOM»

S&AON+S&COM=S^AON+SAAOM=S&AMN，

VOB=BM+M0,BM=ON,OB=OD=-2BD,

...MN=MO+ON=OB=：BD,

1

：,S“MN=S08D=^^QABCD9

2

过点B作BE1。力于点E,

，四=OE=RA=0.5km,

•••BE=yjAB2—AE2=1.2km,

2

•••S“0B=•BE=：x1.2x1=0.6km,

2

^HABCD=4sAAOB=4x0.6=2.4km；

:，S40N+SMOM=S&AMN=0.6km2.

种植马鞭草区域的面积为0.6km2.

(3)解：如图所示，过点M作MPIIAN,过点A作APIIMN交MP于P,则四边形力PMN是平行四边形,

：.AN-PM,AP-MN,

同理可得。8=；BD=1.5km,

•:BM=ON,

•••BM+OM=ON+OM,

:・MN=OB=1.5km,

：.AP=MN=1.5km,

：.AN+MN+CM=PM+CM+1.5,

・,.当C、M、P三点共线时，PM+CM最小,即AN+MN+CM最小，最小值为PC+1.5,

在心△4尸C中，由勾股定理得尸C=，4c2+4有2=亨km,

・•・（4N+MN+CM）最小=（吟+1.5）km,

・••修建这三条绿道投入资金的最小值为（序+1.5）x4=（6旧+6）万元.

7.（22-23八年级下•广东深圳•期中）如图所示，在平行四边形4ECD中，AE平分/8AD交8C边于E尸1AE

交CO于尸.

（I）求证：AB=BE；

（2）求证:CE=CF；

（3）延长4。、EF交于点H,延长84到G,使4G=CT,若40=7,DF=3,EH=2AE,求GF的长.

【思路点拨】

（1）根据平行四边形的性质可得ADIIBC,从而得到匕D4E=LAEB,再根据角平分线的性质可得乙ZME=

4BAE,从而即可得出48=BE；

(2)由题意可得：LDAE=LBAE=LAEB=-LBAD=-ZC,则乙4C+ZLFEC=90。，根据三角形内角和

222

可得［4C+/EFC=90°，则4CE》=iCFE，即可得结论；

(3)连接力C,作4P1BC于P,由题意可求48=8E=CD=5，CE=CF=2,即可求DH=3,根据勾股

定理可求力E的长，根据勾股定理可列出方程，可求出BP,AP,PE,PC的长度，再根据勾股定理可求4c的

长，由题意可证AC=G/,即可得GF的长.

【解题过程】

(1)证明：•.•四边形A8C0是平行四边形，

.•.40||BC,

:.Z.DAE=Z.AEB,

ME平分4DAB,

•••Z.DAE=Z.BAE,

Z.AEB=Z.BAE,

•••AB=BE；

(2)证明：•・•四边形4BCD是平行四边形,

ABAD=ZC,AD||BC,

ADAE=Z-AEB,

•••/E平分4048,

/.BAE=LDAE=-/,BAD.

2

A£BAE=Z.AEB=-LBAD=-^C,

22

-AE1EF,

AZ.AEF=90°,

/.Z.AEB+dEC=90°,

^Z.BAD+Z.FEC=90°,

/.-zC+zFEC=90°,

2

vLC+乙FEC+乙EFC=180°,

.•.-zC+zFFC=90°,

•••乙EFC=Z.FEC,

CE=CF：

(3)解：如图连接AC,作AP1BC于P,

•.•四边形力BCD是平行四边形，

AB=CD,AD=BC=7,AB||CD,

•••CE=CFf

:.BC-BE=CD-DF,且48=BE=CD,

.'.7-AB=AB-3,

:.AB=5=BE=CD,

CE=CF=2,

-AD||BC,

ZH=Z.FEC,且乙FEC=KEFC,乙DFH=乙EFC,

/.zW=乙DFH,

DH=DF=3,

••.AH=10,

在RtAAEH中，AH2=AE2+EH2,且EH2AE,

•••SAE2=100,

:.AE=2A/5,

在RtAA8P和Rt△力PE中，AP2=AB2-E2,AP2=AE2-PE2,

2222

/.AB-BP=AE-PE1

25-BP2=20-(5-BP)2

:.BP=3,

AP=4,PE=2,PC=4,

在RtaHPC中，AC=yjAP2+PC2=472,

VAB||CD,AG=CF,

•••四边形AGFC是平行四边形，

...GF=AC=4V2.

8.(22-23八年级下•辽宁大连•期末)如图1,四边形4BCD中，AD\\BC,ADLAB,BD1DC,E、尸分别

为DC、DB上一点,G为DB延长线上一点，DE=DF=GB,E尸的延长线交48于M,交DA的延长线于点N,

乙DBC=LDGM,DN=GM+BM.

(1)①求证4G=匕40G；

②试判断四边形N3C。的形状，并加以证明；

(2)如图2,过点M作MPII40,BF=7,MF=472,求BG的长.

【思路点拨】

(1)①由平行线的性质可得4/108=乙08。，结合已知即可证明；

②在DN取一点从使DH=GM,连接交NF于点K,可证△DEr是等腰直角三角形,NQ/E=LDEF=45°,

证明△GFMZ△BDH,得到NM/G=Z.HBD=45。，证明48KM=Z.NKH=90°,BK=KF,Z,HNK=乙MBK

可得AHNK三AMBK,NK=BK=KF,△BKN是等腰直角三角形，Z.BNK=Z.NBK=45°,得至=

90c,BN\\CD,即可证明;

(2)过点M作MQ1PG,设BG=DF=x,由勾股定理可得MQ=FQ=4,求得BQ=3,BM=5,GQ=

3+x,证明/MP8=4G,得到MG=MP,PG=2GQ=6+2x,PB=6+2x-x=6+x,由勾股定理可

得MP?=PB2-BM2=MQ2+PQ2,求解即可.

【解题过程】

(1)①证明：・・・4D||BC,

:,乙ADB=乙DBC,

■:乙DBC=Z.DGM,

Z.zG=Z-ADGi

②四边形NBC。是平行四边形，

证明如下：

如图，在DN上取一点H,使OH=GM,连接8H交N尸于点K,

G

,:DE=DF,BD1DC

・♦.A0E/是等腰直角三角形，(DFE=乙DEF=45°,

*：DN=GM+BM,

：.NH=BM,

♦：DF=GB,

:・DB=GF,

在43。〃和△GFM中，

(CM=DH

4。=乙HDB,

(DB=GF

.,.4GFM=A5Z)H(SAS),

：.LMFG=Z.HBD=45°,

：,BK=KF,/.BKF=90°,

：.LBKM=乙NKH=90°,

，乙HNK=乙MBK,

在AHNK和aMBK中，

(乙HNK=乙MBK

4"KN=/MKB=90。，

(HN=BM

・"HNK*MBK(AAS),

；・NK=BK=KF,

・•・△BKN是等腰直角三角形，乙BNK=乙NBK=45°,

・・・/NBF=90。，

■:乙NBF=Z.BDC=90°,

：.BN\\CD,

*：ND\\BC,

・•・四边形N5CD是平行四边形；

(2)如图，过点M作MQ1PG,设8G=OF=x,

■:LMFQ=45°

:・MQ=FQ,

\'MQ2+FQ2=MF2,MF=40,

：.MQ=FQ=4,

：BF=7,

；・BQ=7-4=3,

:・BM=JMQ2+8Q2="p+32=5,GQ=BG+BQ=3+X,

^MPWAD,

：.LMPB=乙PBC,

VzG=乙PBC,

:.乙MPB=乙G,

：.MG=MP,PG=2GQ=6+2x,PB=6+2x-x=6+x,

MP2=PB2-BM2=MQ2+PQ2

/.(6+x)2-52=42+(3+x)2

解得％=/

：.BG=-.

3

9.(23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)4。是△48C的中线，AE\\BC,BE交40于点儿且4尸=D凡

图1图2图3

(1)如图1,求证：四边形是平行四边形.

(2)如图2,在(1)的条件下，Z-ADB=120°,设对角线AC、DE交于点、0,过点。作OQ14c交4108的

角平分线于点Q，0Q与AO交于点P,求证：AD-DC=DQ.

(3)如图3,在(2)的条件下，若CE=3,QD=1,求4P的长.

【思路点拨】

(1)证明A/IEF三△OBF(AAS),得出力E=OB,证出力E=DC,由AEIIBC,即可得出四边形4OEC是平行

四边形；

(2)过点Q作QM18CF点M,作QN1力。于点N,连接力Q,CQ,由角平分线的性质得出QM=QN,乙QDM=

乙QDN=6。。,求出NDQM=/DQN=30。，由直角三角形的性质得出OM=ON=3OQ,由线段垂直平分

线的性质得出AQ=CQ,证明RtACMQ三由△ANQ(HL),得出CM=4V,进而得出结论;

(3)由平行四边形的性质得出AD=CE=3,由(2)得出Z)C=AD-DQ=2,过C作CK1于K,连接

CP,由直角三角形的性质得出DK=：CZ)=1,CK=V3DK=V3.得出PK=4。-4P-DK-2-4P,由

线段垂直平分线的性质得出力P=CP，在RtAPKC中，由勾股定理得出PC?=PR2+c/<2即7|p2=

(2—AP)2+3,解方程即可.

【解题过程】

(1)证明：•••4EIIBC,

AAEF=上DBF,

在△?1£1尸和△DBF中，

Z.AEF=乙DBF

Z.AFE=乙DFB,

AF=DF

.-.△/IFF^ADfiF(AAS),

•••AE=DB,

•••AO是△48C的中线，

:.DB=DC,

:.AE—DC,

X--,AE\\BCt

•••四边形4DCE是平行四边形；

(2)如图，过点Q作QM18C于点M,作QN1A。于点N,连接AQ,CQ,

AE

图3

DQ^^/-ADB,Z-ADB=120°,

•••QM=QN,RDM=Z-QDN=60°,

:.乙DQM=乙DQN=30°,

DM=DN=^DQ,

由(I)得：四边形力。CE是平行四边形，

:.OA=OC,

OQ1AC,

•••AQ=CQ,

在CMQ和Rt△力NQ中，

[CQ=AQ

IQM=QN，

Rt△CMQ=RtA4NQ(HL),

CM=AN,

工AD-DC=AN+DN-(CM-DM)=2DN=DQ,

即40-OC=OQ；

(3)•.•四边形力OCE是平行四边形，

•••AD=CE=3,

由(2)得：AD-DC=DQ,

•.DC=AD-DQ=3-1=2,

如下图，过点C作CKJ■力。于K,连接CP,

图3

vZ.ADB=120°,

:•乙ADC=60°,

:.乙KCD=30°,

...DK=,O=1,CK=>/3DK=V3,

•••PK=AD-AP-DK-2-AP,

v0A=OC,OPLAC,

AP=CP,

在RtAPKC中，

由勾股定理得:PC2=PK2+CK2^AP2=(2-AP)2+3,

解得：AP=^,

4

・•.AP的长为:.

4

10.(22-23八年级下•辽宁葫芦曳•期末)在四边形/WC。中，4SAO=4?=45。，AD=BD,LCBD=90°.

（1）求证：四边形A8C0是平行四边形；

（2）若点P为线段CD上的动点（点P不与点。重合），连接4P,过点户作EPlAP交直线BD于点E.

①如图2,当点P为线段的中，点时，请直接写出PA,PE的数量关系；

②如图3,当点P在线段CD上时，求证：DA+V2DP=DE.

【思路点拨】

（1）根据已知条件得到力B||CD,AD||BC,再由平行四边形的判定即可得证；

（2）①连接可知ABOC是等腰直角三角形，再证明△PzWwaPED（AAS）,利用全等三角形性质即可

得到P4=PE；

②过点P作尸F1CD交DE于点、F,首先证明^ADP-△EFP（ASA）,得4。=EF,进而再证明△。尸尸是等腰直

角三角形即可得到结论.

【解题过程】

(1)证明；-AD=BD,^.BAD=45°,

・•・/.BAD=Z.ABD=45°,

:.Z.ADB=90°,

vZ.CBD=90°,

•••Z.CBD=Z.ADB,

•••AD||BC,

vZC=45°,Z-CBD=90°,

Z.BDC=45°,BD=BD,

AZ.BDC=/.ABD=45°,

AB||CD,

•••四边形力BCD是平行四边形:

(2)解：①AP=PE,

由(1)知480C是等腰直角三角形，当点P为线段C。的中点时，BP=PD=：CD,乙CBP=乙DBP=^CBD=

45%

:.乙PBE=180°-乙PBC=135°,

-AB||CD,

•••Z.ADC=180°-Z.BAD=180°-45°=135°,

•••Z.ADC=Z.PBE,

v/.PAD+Z.AOD=Z.PEB+Z.POE=90°,

乙400=Z.POE,

A/.PAD=Z.PEB,

PADSAPED(AAS),

•••AP=PE；

②证明：过点P作PF1CD交DE于点心如图所示:

D

C

VPF1CD,EPLAP,

Z.DPF=/.APE=90°,

•••Z.DPA=乙FPE,

•••四边形力8co是平行四边形，

:.zC=Z.DAB=45°,AB||CD,

又：AD=BD,

LDAB=LDBA=zf=乙CDB=45°,

:.£ADB=乙DBC=90°,

:•乙PFD=45°,

•••Z.PFD=乙PDF,

:.PD=PF,

zPD/1=乙PFE=135°,

.•.△/OPFFP(ASA),

/ID=EF,

在RtAFOP中，上PDF=45°,则DF=&PD,

•：DE=DF+EF,

ADA+V2DP=DE.

11.(23-24九年级上•吉林长春•阶段练习)如图，在团ABCD中，。为对角线BD的中点，NADB=90。,=60°,

力0=4.动点P从点4出发，以每秒2个单位的速度沿折线-8c向终点C匀速运动，连结P。并延长交折

线C0-0A于点Q,将线段PQ绕着点P逆时针旋转60。得到线段尸E,连结QE,设点P的运动时间为t(s).

APB

（1）用含£的代数式表示P8的长.

（2）当点P在边48上运动时，求证：AP=CQ.

（3）当点E在△48。内部时,求£的取值范围.

（4）当△「（?£与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出t的值.

【思路点拨】

（1）利用含30。角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；

（2）连接4C,利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；

（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点E的临界值时的£值，从而得至血的取值范围;

（4）画出符合题意的图形，利用PB的长度列出关于t的方程解答即可.

【解题过程】

（1）解：•••44。3=90°,=60°,AD=4,

443。=30%

AB=2AD=8,

•••BD=\/AB2-AD2=4V3.

•.泗边形力BCD为平行四边形，

BC=AD=4.

①当04£44时，PB=AB-AP=8-2t,

②当4<tW6时，PB=2t-8

（2）证明：连接力C,如图，

•.•在团48CD中，。为对角线8。的中点,

•••4:经过点。，。4=。。，

•.•四边形力8co为平行四边形，

.-.ABWCD,

:.Z.QCO=Z.PAO.

在么APO和ACQ。中，

Z.AOP=乙COQ

OA=OC

ZOAP=LOCQ

••.△AP。三△CQO(ASA),

•••AP=CQ

(3)解：①当点E与点。重合时，如图,

由题意得：△PQE为等边三角形,

乙PQE=4QPE=60°,

-ABWCE,

•••乙QPB=乙PQE=60°,

乙4=乙QPB=60°»

•••/WIIPQ,

•••四边形4PQD为平行四边形，

:.PQ=AD=4,

DQ=PQ=AP=4,

:.2t=4»

t=2,

②当点E落在力8边.上时，如图，

由睡意得：△PQE为等边三角形,

:.CPEQ=60°,

Z.A=乙PEQ=60°,

49IIEQ,

•••四边形力EQ。为平行四边形，

•••EQ=AD=4,AE=DQ,

PE=4.

AE=AP-PE=2t-4.

(Z.DOQ=乙BOP

OD=OB,

UQDO=乙PBO

.*.△DOQ三△BOP(AAS),

:.DQ=PB,

:.PB=AE,

:.8-2t=2t-4,

•••t=3,

当点E在△43。内部时，t的取值范围为：2Vt<3

(4)①当点P在边上运动时，PE经过点。时,，APQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形,

:.OD=0Q,

ALODQ=乙OQD=30°,

•:乙QPE=60°,

乙PDQ=90°,

PD1DQ,

ABWCD,

•••DP1AB,

.'.AP=-AD=2,

2

:.2£=2,

At=1.

②当点P在边BC上运动时，如果B0=8P,则，aPQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图,

2£-8=2V3,

二t=4+y/3.

综上，当与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形时，t的值为1或4+

12.(22-23八年级下•河南安阳•期末)如图，在山WCD中，80为对角线，EF垂直平分80分别交力。、"的

于点E、F,交80于点0.

备用图1备用图2

(1)试说明：BF=DE；

(2)试说明：△48E三△CD尸:

(3)如果在即48CD中，AB=5,AD=10,有两动点P、Q分别从3、。两点同时出发，沿1和各

边运动一周，即点P自81力->£13停止，点Q自。tFtCt。停止，点户运动的路程是m,点Q运动的

路程是小当四边形8PDQ是平行四边形时，直接写出m与n满足的数量关系.

【思路点拨】

(1)证明△EOD三△/OB(ASA)艮】可；

(2)由(1)知：BF=DE,根据平行四边形性质求出NA=2C,AB=CD,AD=BC,推出XE=C尸，根

据SAS证明△ABECDF即可；

(3)分为三种情况，求出ADFC的周长，每种情况m+n都等于△OFC的局长.

【解题过程】

(1)证明：•・•四边形A8C。是平行四边形，

：.AD\\BC,

:.乙EDO=乙FBO,

：£尸垂直平分3。,

：.0B=OD,

在AEOZ)和AFOB中，

乙EOD=乙FOB

OD=OB，

乙EDO=Z.FBO

AAEOD三△fOB(ASA),

：.BF=DE；

(2)证明：由(I)知：DE=BFt

•・•四边形A8CQ是平行四边形，

Az/1=ZC,AB=CD,AD=BC,

：.AD-DE=BC-BF,

：.AE=CF,

在AABE和△CDF中，

(AB=CD

=LC，

VAE=CF

.\A/1SE=ACDF(SAS)；

(3)解：・・・EF垂直平分BD,

：.BF=OF,

•・•在团ABC。中，AB=5,AD=10,

：,CD=AB=5,BC=AD=10,AB\\CD,AD\\BC,

•・・A48E三△CD尸，AE=CF,

：,BE=DF,

:、kDFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15,

△48E的周长也是15,

①当P在/IB上，Q在CO上，

\'AB\\CD,

，乙BPO=zJ)QO,BPWDQ,

在ABP。和^OQ。中，

(/.BPO=乙DQO

\z-POB=乙QOD，

(BO=DO

AABPO三△DQO(AAS),

：.BP=DQ,

，四边形BPDQ是平行四边形,

zn+n

=BP+DF+CF+CQ

=DF+CF+CQ+DQ

=DF+CF+CD

=15：

②当P在力E上，Q在CF上，

a：AD\\BC,

・"PE。="F。，

,：hEOD/FOB,

：・OE=OF,

在AQ/7。中，

(乙PEO=Z-QFO

EO=FO,

UEOP=Z-FOQ

^PEO三△Q/7O(ASA),

：,PE=QF,OP=OQ,

•；0B=OD,

・•・四边形BPDQ是平行四边形,

*：AE=CF,

：.AP=CQ,

m+n

=AB+AP+DF+FQ

=CD+CQ+DF+FQ

=DF+CF+CD

=15；

③当P在BE上，Q在0尸上,

：,DE=BF,

・•・西边形BED尸是平行四边形，

：.BE=DF,BEWDF,OE=OF,

:•乙PEO=4F。，

在APE。和QFO中，

(Z-PEO=Z.QFO

EO=FO,

UEOP=Z.FOQ

/.APEO三△QFO(ASA),

：,PE=QF,OP=OQ,

YOB=OD,

，四边形BP0Q是平行四边形，

/.n+n

=AB+AE+PE+DQ

=CD+CF+FQ+DQ

=DF+CF+CD

=15,

综上所述，m与九满足的数量关系为m+ri=15.

13.(22-23八年级下•江苏无锡・期中)我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.类比平行

四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形.数学兴趣小组的

同学对其性质进行了探究.如图1,在平行六边形A8CDE/中,ABIIDE,BCIIEF.AFIICD,

(1)探究心力与乙0的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2,若AB=DE,则AF与CD相等吗？请说明理由；

(3)如图3,在(2)的条