曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型等）（四大题型）解析版-2026高考物理考前突击讲义

曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型）

【题型一】平抛运动

【例1】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质

点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度%=IOm/s抛出炸弹，

在距离地面2000m处设置面积为3OOOm2的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面枳比为拦截炸弹比，取

A?=10m/s2,兀。3,则拦截炸弹比约为（）

【答案】D

【详解】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知力=gg『=2000m,x=引=200m

cW）

以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为A==0.025

TTX~3x200"

故选De

1.“化曲为直”思想在平抛运动中的应用

根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：

（1）水平方向的匀速直线运动；

（2）竖直方向的自由落体运动。

2.做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何

知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。

【例2】人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示，出水管口最下端距水平地面一定高

度，出水管口横截面是圆，不计空气阻力，假如水从管口水平喷出的速度恒定，水流在空中不会中断，则

水柱落在水平地面上的形状大致是（）

出水管口

【详解】平抛运动在竖直方向为自由落体运动，则/?=g/2

水平方向为匀速直线运动，则水平位移为4=卬=%J"

所以水柱落在地面的形状左右不对称，最卜端和圆心的落地点间距时大于最上端和圆心的落地点间距△£,

故形状大致为D选项。

故选Do

【变式1】如图所示，A8是四分之一圆弧，固定在竖直面内，。是圆心，0A竖直，C是圆弧上的一点,

。是04上一点，CO水平，a、b、。三点将。。四等分，在。、。、〃、。四点分别水平抛出一个小球，

小球均落在C点，若小球落在C点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（）

oB

A.。点B.a点、D.。点

【答案】C

【详解】小球垂直打在C点时，速度方向的反向延长线过。点，且交于水平位移的中点，如图所示

由几何关系可知抛出点一定在方点。

故选C。

【变式2】如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的

方向以速度力水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为V2（V2>V/）

的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x,竖直方向位移为以已知发射器到墙壁的垂直

距离为乙重力加速度为g,不计空气阻力，下列说法正确的是（）

弹珠发射器

竖

直

墙

壁

A.x的最小值为晟L的最小值为孑心

C.y的最小值为罟D.y的最小值为~产八

2眩

【答案】C

【详解】CD.弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当也垂直竖直墙壁射出时，弹

珠运动时间最短An=（

丁的最小值为Win=g*n

故C正确，D错误；

AB.由于

则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为口=扃二?

此时x的最小值为L,故AB错误。

故选C。

【变式3］（多选）无人机依靠其强大的机动性与灵活性，在事故现场可以为救援工作提供有力的支持。如

图，某次救援演练中一架无人机正对一山坡水平匀速飞行，先、后释放几个相同的物资包均落到山坡上，

忽略空气阻力，则先释放的物资包落在山坡前瞬间（）

A.重力势能一定较大B.动能一定较大

C.机械能一定较大D.竖直方向速度一定较大

【答案】BD

【详解】无人机正对山坡匀速水平飞行，先后释放几个相同的物资包，取其中两个物资包A、B,其运动情

况如图所示

A.先释放的物资包下降的高度大，其在山坡上的重力势能一定较小，A错误；

BC.先释放的物资包下落的高度大，忽略空气阻力，物资包下落满足机械能守恒，可知先释放的物资包动

能一定较大，物资包的机械能相等，B正确，C错误；

D.物资包在竖直方向做自由落体运动，有匕

可知先释放的物资包竖直方向分速度一定较大，D正确。

故选BDO

【题型二】圆锥摆模型

圆锥摆模型

⑴圆锥摆模型的受力特点

受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

(2)运动实例

(3)规律总结

①圆锥摆的周期

如图，摆长为L,摆线与竖直方向夹角为仇

受力分析，由牛顿第二定律得：

4九2

其中r=LsinO

解得T=2K\J^=2«

②结论

a.摆高/?=Lcos。，周期丁越小，圆锥摆转得越快，〃越大。

b.摆线拉力尸=枭，圆锥摆转得越快，摆线拉力尸越大。

c.摆球的加速度q=gian。。

(4)圆锥摆对比分析的两种常见情况

情况1:具有相同摆角的圆锥摆（摆长不同），如图甲所示。

由。=gtan。知A、B的向心加速度大小相等。由/•知如〈山B，由。=亍知1么＞快

情况2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆,如图乙所示。

由T=2G\JG知摆高h相同，则TN=TB，COA=COB，由v=cor知VA>VB»由a=co2r知a.\>aB

【例1】如图所示，让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是（）

图

【答案】c

【详解】对水面上一个质量很小的水滴〃?受力分析，因受竖直向下的重力和水面对水滴的作用力，两个力

的合力充当向心力，因向心力沿水平方向指向转轴，可知水面对水滴的作用力应该斜向上方，设与竖直方

向夹角为仇则由牛顿第二定律mgtan0=nuo-r

可知tan0=——r

g

因「越大，则夕越大，可知水面的形状为C的形状。

故选C。

圆周运动动力学问题的解题方法

(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。

(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径o

(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。

【例2】如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕

竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为仇绳子长L水平杆长〃，小球的质量为〃不计绳子重力和空

气阻力，重力加速度为g,下列说法正确的是()

A.装置中绳子的拉力为"吆tan。

B.装置转动的角速度为厂*M

SI11Cz

C.装置转动的周期为2兀庐应

D.装置旋转一周，小球的动量变化为0

【答案】D

【详解】A.对装置受力分析如图所示

mg

装置受到重力和绳子的拉力作用，重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则Tcosgj咫

mg

解得7=

cos。

故A错误；

BC.由牛顿第二定律mgtan0=mRco1

其中圆周运动的半径为R=L*sin3+4)

gtan。

联立解得装置转动的角速度为。=

%+Lsin。

装置转动的周期为7=生=2乃4+LsinO

CDgUm夕

故BC错误;

D.装置做匀速圆周运动，装置旋转一周，速度变化量为零，所以小球的动量变化为0,故D正确。

故选D1,

【变式1】小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物

块底部。当小车以恒定速率丫通过某•水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，，如图

所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对

静止，下列说法错误的是（）

A.细线与竖直方向的夹角变大B.细线对小球的拉力变大

C.横杆对物块的摩擦力变大D.横杆对物块的支持力变大

【答案】D

【详解】D.令小铁球质量为〃?，物块与小球保持相对静止，对物块与小铁球整体进行分析，如图中所示

+m）g

甲

则有&=（M+m）g

可知，当小车以更大的恒定速率迫过该弯道时，横杆对物块的支持力不变，故D错误，符合题意；

C.火车转弯过程，将车内物体的转弯半径可以近似认为相同，令为此结合上述分析有以=[/+〃?），

可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的摩擦力变大，故C正确，不符合题意；

A.对小球进行受力分析，如图乙所示

0

mg

I

I

乙

则有Tcos，=，怨，Fsin0=m—

R

解得gtanO==

A

可知，转弯速度变大，则细线与竖直方向夹角变大，故A正确，不符合题意；

B.结合上述解得7=R

cos夕

由于细线与竖直方向夹角变大，则细线对小球的拉力变大，故B正确，不符合题意。

故选Do

【变式2】如图所示，制作陶瓷的圆形工作台上有A、B两陶屑随工作台一起转动，转动角速度为A在

工作台边缘，B在工作台内部.若A、B与台面间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是（）

A.当工作台匀速转动，A、B所受合力为0

B.当工作台匀速转动，A、B线速度大小相等

C.当工作台角速度0逐渐增大，陶屑A最先滑动

D.当工作台角速度”逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴

【答案】C

【详解】A.当工作台匀速转动时，A、B跟随工作台做匀速圆周运动，则所受合力不是0,选项A错误；

B.当工作台匀速转动，A、B角速度相等，根据片如、因转动半径不等，则线速度大小不相等，选项B错

误；

C.当陶屑将要产生滑动时一〃"抬=，〃就「

解得％=杵

可知「越大，产生相对滑动的临界角速度越小，可知当工作台角速度/逐渐增大，陶屑A最先滑动，选项C

正确；

D.只有当工作台匀速转动时，A、B所受的摩擦力充当向心力，其方向才指向圆心；则当工作台角速度,

逐渐增大，A、B所受的摩擦力不是指向轴00,选项D错误。

故选C。

【变式3］（多选）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，纽线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1

所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为线的张力丁随病变化的图像如图2所示（图中数

值单位均为国际单位），8取lOnWs?。下列说法正确的是（）

A.细线的长度为lmB.细线的长度为0.5m

C.小球的质量为2kgD.小球的质量为3kg

【答案】BC

【详解】设线长为心锥体母线与竖直方向的夹角为巴当0=0时，绳子的张力7=〃吆8^

当圆锥对小球的支持力为0时，角速度42—25（rad/$）2

此时TtosOumg

T'sin0=〃比sin夕

代入图中数据解得，〃=2kg,L=0.5m

故选BCo

【题型三】绳球与杆球模型

1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与

绳连接、物体沿内轨道运动等），称为“绳（环）约束模型”；二是有支撑（如球与杆连接、物体在弯管内运动等），

称为“杆（管）约束模型

2.绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型杆模型

常见寸L

类型、一）W

均是没有支撑的小球均是有支撑的小球

受力除重力外，物体受到的弹力向下或除重力外，物体受到的弹力向下、等

特征等于・零・・・一，于零或向上

受力八、

nifimg

mgmgmg

示意图

00000

过最高

v2由小球恰能做完整的圆周运动得V倍

点的临由，噌=巧;得y伍二诉，

=0

界条件

⑴当】，=0时，k=/咫，尺为支持力，

沿半径背离圆心；

⑴过最高点时，月历，心+/咫=

⑵当0<»mg—八=〃r^7，FN

〃弓，绳、圆轨道对球产生弹力外；

讨论

背离圆心，随U的增大而减小：

分析

(2)不能过最高点时，i个而*，在到达

(3)当^=诉•时，FN=0;

最高点前小球已经脱离了圆轨道2

(4)当"时，FN+mg=，尸N指

向圆心，并随V的增大而增大

【例1】(多选)某摩天轮的直径达120m,转一圈用时1600s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内

做匀速圆周运动，依次从八点经B点运动到C的过程中()

A.角速度为为rad/s

B.座舱对该同学的作用力一直指向圆心

C.重力对该同学做功的功率先增大后减小

D.如果仅增大摩天轮的转速，该同学在8点受座舱的作用力将增大

【答案】CD

2万7T一

【详解】A.根据题意可知周期为T=1600s,则角速度为®=—=-----rad/s

T800

故A错误；

B.该同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，则座舱对该同学的作用力和该同学的重力的

合力提供向心力，指向圆心，所以座舱对该同学的作用力不是•直指向圆心，故B错误；

C.根据重力功率的计算公式尸

可知重力对该同学做功的功率先增大后减小，故c正确；

2

D.在8点，竖直方向有心=〃吆，Fx=t^R

则该同学在B点受座舱的作用力大小为F=收”；=JUngf+UnR加？

如果仅增大摩天轮的转速，则该同学在8点受座舱的作用力将增大，故D正确。

故选CDo

【例2】〃泼水成冰”是一项极具视觉冲击力的冬日奇观。具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀

快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成

冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙，P为最高点，在最高点时杯口朝上，泼水过程中杯子的运动可看成匀

速圆周运动，人的手臂仰直，臂长为0.6m,人在0.4s内把杯子旋转了240°,重力加速度g=10m/s?。下列

说法不正确的是（）

图甲图乙

A.尸位置的小水珠速度方向沿。方向

B.杯子在旋转时的角速度大小为竽rad/s

C.从。到P,杯子所受合外力的冲量为零

D.若要将水从。点泼出，杯子的速度不能小于#m/s

【答案】C

【详解】A.P位置的小水珠速度方向沿轨迹的切线方向，即沿。方向，选项A正确；

B.杯子在旋转时的角速度大小为0=g=5rad/s=W\ad/s

t0.43

选项B正确；

C.从。到尸，杯子动量变化量不为零，可知所受合外力的冲量不为零，选项C错误:

2

D.若要将水从P点刚好泼出，则需满足〃依=加匕

R

I串p=#m/s

即若要将水从P点泼出杯子的速度不能小于"m/s，选项D正确。

此题选择错误的，故选C。

【变式1】如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为质量分别为2〃?和〃?的小球A、B（可视为

质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴。安装在支架的横梁上，。、A间的距离为4，

两小球和轻杆一起绕轴。在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示

竖直位置时，小球A的速度为v,重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（）

A.小球A、B的向心加速度大小相等

B.小球A的向心力大于B球的向心力

c.若口=杵,则底座对水平地面的压力为Mg+2,明

D.A、B两球恰好做匀速圆周运动

【答案】D

【详解】A.两小球和轻杆一起绕轴0在竖直平面内做圆周运动，所以两小球的角速度相同，根据a=

可知，小球A、B的加速度之比为小：传=1：2

故A错误；

B.根据尸=

可知，A、B的向心力之比为以："=1：1

故B错误；

C.若人传，对A有2"g-£w=?

解得轻杆对A的支持力为FNA=0

根据V=

可知％=2肾

3

解得轻杆对B的拉力为&8=3Mg

以支架、底座和轻杆为对象，水平地面对底座的支持力为"二知”3’阳

根据牛顿第三定律可知，底座对水平地面的压力为N=Mg+3mg

故C错误；

D.根据重力做功特点可知，重力做功卬=皿?力

L2L

由题意可知以=5，9=7，也=26，m=m

JJn

则转动过程，两球重力对系统做功为零，转动过程合外力对系统做功为零，系统的动能不变，两球的线速

度大小保持不变，则两球恰好做匀速圆周运动，故D正确。

故选Do

【变式2】如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性轻绳的轻质圆环套在长臂I：,

轻绳另•端与质量为1kg的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将轻绳水平拉直，已知轻绳长度为L=lm,

此时圆环距短臂x=0.4L,重力加速度为g=10m/s2,若将圆环与小球同时释放，则（）

A.小球开始做圆周运动

B.小球运动过程中机械能守恒

C.小球运动的最大速度大小为4m/s

D.小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等

于30N

【答案】C

【详解】A.轻环运动到短臂之前的过程中，细绳中没有张力，故该过程小球做自由落体运动，轻环与短臂

碰捽后到球运动到最低点的过程中，轻环被限制不动，故此时小球兀始绕轻环做圆周运动，当球运动至短

臂正下方时，小球速度的方向变为水平，之后继续往左运动，轻绳将一直保持竖直，即小球做匀速运动,

故A错误;

B.小球自由落体运动结束时，绳子绷直瞬间小球沿绳方向的速度瞬间变为零，有机械能损失，小球的机械

能不守恒，故B错误;

C.如图所示

设轻环与短臂接触时，绳子与竖直方向的夹角为，，根据几何

关系有sin。="白=0.6

可得6=37。

设轻绳绷紧前的瞬间小球的速度为叭对小球，从开始运动到

轻绳绷紧前瞬间，根据动能定理有机=

解得y=4m/s

轻绳绷紧后瞬间，小球垂直绳子的速度为巳=内出。=2.4m/s

沿绳方向的速度变为零，从此时到小球运动到最低点的过程中，对小球根据动能定理有

mgL（1-cos。）=g〃"广-g

解得小球运动到最低点时的受速度大小为匕=J9.76m/s<4m/s

可知小球运动的最大速度大小为4m/s,故C正确;

0

D.小球在运动到最低点前瞬间，根据牛顿第二定律得尸-mg=〃?岂

解得产=19.76N

根据牛顿第三定律可知，小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于19.76N,故D错误。

故选C。

竖直面内圆周运动问题的解题思路

/定模型a判断是轻绳模型还是轻杆模型

对轻绳模型来说能否通过最高点的

/确定1界点临界速度是”产病.而对轻杆模型

来说过最高点的临界速度为零

/研究状态通常情况下竖直平面内的圆周运动

L---------厂~1只涉及最高点和最低点的运动情况

对物体在最高点或最低点时进行受

/受力分析，一力分析,根据牛顿第二定律列出方

程%=%

质含拓应用动能定理或机械能守恒定律将

［立・上~初、末两个状态联系起来列方程

【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题

一圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆

周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。一般分为两类：

一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1.此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是

一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或

计算题考查。

2.解题关键

(I)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。

(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。

(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。

二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1.此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直

面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。

2.解题关键

⑴竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型''还是“轻绳模型”，•般要分析物体能够到达圆周最高点的

临界条件。

(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。

【例1】（多选）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在尸点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与尸

点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地

面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N,不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2,下列说法正确的是

（）

A.轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s

B.轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s

C.小球落地点与尸点的水平距离为1m

D.小球落地点与P点的水平距离为1.6m

【答案】BC

【详解】AB.设轻绳断裂时轻绳与竖直方向的夹角为如图。

由牛顿第二定律得/-mgcose=m上

L

由动能定理可得mgLcos夕=gmv1

解得cos0=0.8,v=4ni/s

故A错误，B正确；

CD.如图。

轻绳断裂时水平方向的速度大小为匕=ncos6=3.2m/s

小球从轻绳断裂到落地的水平位移大小为工=vxt=3.2x0.5m=1.6m

小球落地点与。点的水平距岗为心=x-Lsin。=1.6m-1x0.6m=1.0m

故C正确，D错误。

故选BC.

【例2】如图所示，半径为R的半圆弧轨道/WC竖直固定在水平面上，竖直半径08与倾斜半径。。、0E

2

的夹角为凡且8s0=§,现让可视为质点的小球从8点由静止释放，当小球运动到。点时正好脱离轨道,

小球此时速度的大小为％（为未知量）：再把小球拿到E点，并使小球在£点获得大小为V（为未知量）、方

向与EO垂直斜向上的初速度，小球从£点运动到。点，运动矶迹的最高点为G点，重力加速度为8,不计

一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（）

A.小球在。点的向心加速度为3

3

B.小球在/）点的速度％为孚

C.小球从E到。的运动时间为

3、g

D.G,8两点的距离为已

【答案】D

【详解】AB.把小球在。点的重力分别沿着0。方向与垂直OD方向正交分解，。点对小球的支持力恰好

为0,则重力沿着。。方向的分力充当向心力，则有〃?gC0S6=WWn

22

由同心加速度公式可得%=1v■结合cos®=2

R3

综合可得〃n=：g，％=军

故AB错误；

C.由数学知识可得sine=^

3

小球从E点到。点做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度大小为匕=vcos6

竖直方向做初速度为岭=vsin。的竖直上抛运动，则有2Rsine=%,v2=g^

综合解得秒，v=

故C错误；

D,斜抛运动的最大高度为储=gg（与产

由几何关系可得G、B两点的高度差为力=&-R（1-COS8）

R

综合可得/?=五

故D正确c

故选Do

【变式1】如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度%将一个质量为小的小足球踢出,

球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生工

的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为R,重力加速度为8,不I

计空气阻力，小足球可以看作质点。求：

⑴足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角。的正切值；

（2）从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功吗。

【答案】⑴孝；（2）11+孚,瞰_/比

【详解】（1）根据题意，设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动,经过AA\\

圆心。处，如图

在A处，设足球速度大小为乙由牛顿第二定律有〃取0皿=/〃下

斜抛运动过程，设运动时间为，，沿人0方向有R=；gsin。•一

沿垂直A0方向有，=——-

gcosO

联立解得tane=也

2

(2)有小问(1)可得，=Jg可sin。

从足球被踢出到脱离管道，设管道对足球做功为明,由动能定理有-，据R(l+sinO)+W；如,:

乙乙

解得叱=1+乎限*,就

\/

【变式2】为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自动灌溉系统。

如国所示.地下的水泵将水从水管(管壁厚度不计)底部。点推向卜方,水沿着水管卜升〃=L25m后从水

平水管喷出，已知水管横截面积S0=4cm2,水的密度P=lxl()3kg/m3,水管上端水平部分长L=0.3m,通

过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地面的夹角。=45。，忽略摩擦和

L=0.3m

空气阻力，取重力加速度大小gfOm/s?。

⑴求水管中水流的速度大小；

⑵求水泵对水做功的功率；

H=1.25m

⑶为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线勺速旋转，角速度

fd=14rad/s,求水落地点围成的区域的面积。(结果保留两位有效数字)

O地面

［答案］(l)%=5m/s；(2)尸=50W；(3)5=380?

【详解】(1)水落地时竖直速度写=^

解得y,=5m/s

根据速度的分解有tan〃=乜

%

解得%-5m/s

(2)A/时间内从水管中喷出的水柱长为A£=v0A/

根据功能关系有卬=bmgH+1△〃/2

W-

其中尸=—,Zn-pS()AL

A/

解得。=50W

（3）水在空中做平抛运动，时间f=肾。相

水沿半径方向运动的距离引=叩=2.5m

水沿切线方向运动的距离毛=sLi=2.1m

水落地点到。点的距离R=+=3.5m

水的落地点围成的区域的面积S=4R2=38n/

易错点一：水平转盘上的圆周运动及其临界问题

水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。

⑴如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最天静摩擦力,

则最大静摩擦力吊尸%，方向指向圆心。

（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设

条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉

力等）。

⑶运动实例

【例1】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d,带电小球C

固定在AA的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转

动角速度可变，A8之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为阳，带电量均

为P,小球C的带电量大小为4g,重力加速度为g。下列说法正确的是（）

Oc

A.C球带正电：

B.A球转动的角速度划为号后：

C.若增大C球电荷量，当A、BG球刚好离开地面时,C的电荷量Qc为名学”STEE-厂Ar

3如A：B

D.若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度w为工、26〃斓2-6kq2

3m

【答案】C

【详解】A.A、B两个小球绕过C的竖直轴转动，且A、B两个小球带同种电荷，互相排斥，则带电小球C

必给A、B两个小球吸引力，且吸引力的分力提供A、B两个小球绕过C的竖直轴转动所需的向心力，则根

据牛顿第三定律可知小球C的受力分析如图所示

a………a、

A!B

所以小球C必带负电，故A错误;

B.A球受力分析如图所示

OC

GA

对小球A,水平方向由牛顿第二定律有

c°s6。。-丝华=”赵

d22

解得A的转动的角速度为

如吟楞'故B错误;

C.若增大C的电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，地面对两球的支持力为零。

则A或者B小球竖直方向有

"Qgusm60°=mg

d~

解得C的电荷量为

0c=,故c正确;

3kq

D.当A、B小球刚好离开地面时，此时B小球受力分析如图所示

则水平方向由牛顿第二定律有

COS60。-

d2d22

解得B球转动的角速度为

,产加一记故D错误。

"dV3md

故选C。

【变式1］（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C,质量分别为机、

A放在BI.,C、B离圆心0的距离分别为2厂、3入C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张

力。已知C、B与圆盘间的动摩擦因数以及A、B间的动摩擦因数均为〃，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，

重力加速度为8,现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B之间能发生相对滑动则认为A立即飞走，B以后不再

受A物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（

A.当。=后时，A即将滑嚼B

当@=时，细线张力为警星

B.

C.无论。多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动

D.当。=卷，时，剪断细线，C将做离心运动

【答案】AC

【详解】A.当A开始滑动时有人="mg=m（o-x3r

解得3书

所以当。=