全等三角形的应用（学案）-2025湘教版八年级数学上册

第4章三角形

4.3.5全等三角形的应用

►学习目标与重难点

学习目标：

I.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。

2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达

距离测量等问题。

3.通过观察、分析、操作等活动，经历“实际问题一几何建模一问题解决”的过程，培养数学建模能

力和逻辑推理能力。

学习重点：

全等三角形模型的抽象与应用，包括从实际问题中识别全等关系、选择合适的判定定理、运用性质解

决问题。

学习难点：

在复杂情境中灵活构建全等三角形模型，尤其是隐含全等关系的挖掘。

►学习过程

一、复习回顾

回顾：全等三角形具有哪些性质？全等三角形的判定定理有哪些？

二、探究新知

探究：全等三角形的应用

教材第116页

【思考】如图，为测量河宽AB,小楠从河岸的A点沿着与AB垂直的

方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与

AC垂直的方向走到D点，使点D,E,B恰好在一条直线上.于是小楠

说：“CD的长就是河的宽度.”你认为小楠说得对吗？为什么？

问题1：CD的长就是河的宽度表明了什么样的等量关系？

问题2：怎么证明两条边相等?

解题过程;

三、例题探究

例8小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了

个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动（如图所示），使CD与瓶

底平行，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗（木

条的粗细忽略不计）？

例9在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯.其中A灯恰好照到B灯，B灯恰好照到甲楼的顶部C

处，如图所示.已知AE为水平线，CA±AE,BE1AE,如果两盏灯的光线AB,BC与水平线的夹角

相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的2倍？为什么?

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

1.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块.你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与

原来大小一样的三角形玻璃？（）

4

2

3

A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块

2.如图，把两根钢条A4,89的中点连在一起，可以做成•个测量工件内槽宽的卡钳.若求A8的

长，只需测量下列线段中的（）

3.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与NPRQ的顶

点R重合，调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上，过点A,C画一条射线AE,AE就是

NPRQ的平分线.此角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABCgAADC,这样就有

NQAE=NPAE.则说明这两个三角形全等的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

选做题

4.如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点0（即跷跷板的中点）至地面的距离是

48cm,当小红从水平位置CD卜'降28的时，这时小明离地面的高度是cm.

小明

5.某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A,B的距离，如图所示，已

知43垂吏于河岸"，先在8F上取两点C,D,使C0=C3,再过点D作B产的垂线0M,小明在射线

DM上移动，当小明移动到点E时，点A,C,E在一•条直线上，此时测出DE=10.2米，则48的长

是米.

6.用同种材料制成的金属框架如图所示，已知乙8=4E,AB=DE,BF=EC,其中△力BC的周长为

24cm,CF=3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为cm.

【综合拓展类作业】

7.小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F.C、E在

直线I上(点F、C之间的距离为池塘的长度)，点A、D在直线1的异侧，且4BIIOE,Z/1=

△D,测得AB=DE.

(2)若BE=1207九，BF=38m,求池塘尸。的长度.

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么？

六、作业布置

1.如图所示，小刚站在河边的点A处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道

电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到讪D

处，然后他左转90。直行，当小刚看到电线塔、树与自己现史的位置E在一条直线时，他一共走了

140步.如果小刚一步大约50cm,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为（）

A.40mB.50mC.60mD.70m

2.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，。4与地面垂直，两脚在地面

上用力一蹬，妈妈在8处接住她后用力一推，爸爸在距地面15m高的C处接住她.若妈妈与爸爸到

OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m,/-BOC=90°,妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的

高度是（）

A.ImB.1.17nC.1.2?九D.1.3TH

3.如图，小虎用10块高度都是3c771的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚

好可以放进一个等腰直角三角板04c=BC,zACB=90。），点C在OE上，点A和3分别与木墙的

顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（）

A.30cmB.27cmC.24cmD.21cm

4.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好

可以放进一个等腰直角三角板（AC=8C,乙AC6=90。），点A和8分别与木墙的顶端重合.

（1）求证：AADOCEB：

（2）求两堵木墙之间的距离.

答案解析

课堂练习：

1.【答案】D

【解析】解：由图可知，带第4块去，符合“ASA”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃.

故答案为：D.

2.【答案】A

【解析】解：:。为A4,8夕的中点，

：,A0=40,8。=B'O,

又=60",

，△A0B三△A'OB'(SAS),

：.AB=",

・•・若求/IB的长，只需测最下列线段中的A*.

故答案为：A.

3.【答案】D

【解析】解：VAB=AD,BC=DC,AC=AC,

••・△ABC^AADC(SSS),

AZBAC=ZDAC,即NQAE:NPAE.

故答案为：D.

4.【答案】76.

【解析】解：如图，连接AC、BD,

小明

由题意可得点O是AB于CD的中点，BD=28cm,

・・・AO=BO,CO=DO,

在△AOC与^BOD中，

VAO=BO,ZBOD=ZAOC,CO=DO,

/.△ACO^ABDO(SAS),

/.AC=BD=28cm,

・••小明离地面的高度是48+28=76(cm),

故答案为：76.

5.【答案】10.2.

【解析】解：•••48JLBF,DEA.BF,

:.Z.ABC=Z-EDC=90°,

在△力8。和4EOC中，

Z-ABC=Z-EDC

CB=CD，

/.ACB=4ECD

:心ABC三△EDCG4SH),

AB=DE=10.2(米)，

故答案为：10.2.

6.【答案】45.

【解析】解：〈BF=EC,

•••FB+FOFC+CE,即BC=EF,

在^ABC和^DEF中，

AB=DE,

Z-B=Z.F,

BC=EF,

••・△ABC^ADEF(SAS)

AAB+BC+AC=DE+EF+FD=24,

・•・制成整个金属框架所需这种材料的长度2x24-3=45cm

故答案为：45.

7.【答案】⑴解：'：AB||DE,

：,/-ABC=乙FED,

••,在△/18。和40EF中，

(Z.ABC=乙FED

AB=DE,

(Z.A=ZD

：.LABC三△DETQISA)；

(2)解：由(1)得△/BCWAOEF,

:,BC=EF,

:・BF=CE,

*：BF=38,

・"E=38，

'：BE=120,

：.FC=BE-BF-CE=120-38-38=44,

・•・池塘FC的长为44nl.

作业布置：

1.【答案】A

【解析】解：由题意可得NA=ND=90。，AC=CD=30步，

，DE=140-60=80步，

■:一步大约50cm,

DE=80x50=4000cm=40m,

在4ABC与^DEC中，

VZA=ZD=90°,AC=DC,ZACB=ZDCE,

.*.△ABC^ADEC(ASA),

.\AB=DE=40m,即小刚在点A处时他与电线塔的距离为40m.

故答案为：A.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可知，ZCEO=ZBDO=90°,OB=OC,

VZBOC=90°,

工ZCOE+ZBOD=ZBOD+ZOBD=90°,

AZCOE=ZOBD,

NCOE=乙OBD

在ZkCOE和^OBD中，KCEO=^BDO,AACOE^AOBD(AAS),ACE=OD,OE=DB,

OC=OB

VBD=1.2m,CE=1.6m,ADE=OD-OE=CE-OE=0.4m,VAE=1.5m,AAD=AE-DE=1.1m,即妈妈在

B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.1m,

故答案为：B.

3.【答案】A

【解析】解：由题意得：AC=BC,ZACB=9O°,AD1DE,