七年级数学专项提升：有理数的加法（原卷版）

专题06.有理数的加法

。R素养目标

1.理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算:

2.理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算；

3.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性；

4.感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。

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题型探究

题型1、有理数加法法则的辨析...................................................................3

题型2、有理数的加法运算.......................................................................3

题型3、有理数加法的运算律.....................................................................4

题型4、有理数加法的实际应用...................................................................6

题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题）......................................................8

题型6、有理数加法的综合运用（新定义）........................................................9

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................11

B组（培优拓展）...............................................................................13

新课轻松学

【思考1】一间0。。冷藏室连续两次改变温度：

（1）第一次上升5。。，接着再上升3。。；（2）第一次下降5。。，接着再下降3。。；

（3）第次下降5。。，接着再上升3（；（4）第•次下降3。。，接着再上JI5。。。

问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度？

注意：（1）上升：下降5。。即上升-5。（2；下降3C,即上升-3。（2；（2）共：对连续两次温度变化进行求和;

（3）可借助温度计（或数轴）理解。

hiiihiiiliiiiluiihiiiliiuhuihiiiliiiilinilinilniiliiiihiuluiil

-20-1001020304050

-7-6-5-4-3-2-101234567

【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在

十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。I5I4年，荷兰的赫克首次用“+”表示加法，用

表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”和表示加减，后来

又经过法国数学家韦达（叫加的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并

被广泛采用。

，二£知识梳理

1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。

2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等

的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，口和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；

互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数.

注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，

同时要熟练掌握计算法则；

3.运算律：

1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+A=A+a。

2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即9+0）+。=。+（。+。）°

注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。

2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。

.题型探究

题型1、有理数加法法则的辨析

【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数

相加得0;③一个数同0相加，仍得这个数.

例I.（2024七年级上•广东•专题练习）下列说法正确的是（）

A.三个有理数相加和一定大于每个加数B.三个非零有理数相加，和可能等于零

C.两个有理数和为负数时，这两个数都是负数D.两个负数相加，把绝对值相加

例2.（23-24七年级上•贵州铜仁•阶段练习）已知。力两个有理数，那么。+〃与小必定是（）

A.a+b>aB.a+b<aC.a+b<-aD.以上都不对

变式1.（2023・重庆•七年级校考期中）下列说法中正确的是（）

A.两数相加，其和大于任何一个加数B.异号两数相加，其和小于任何一个加数

C.绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零D.两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号

变式2.（23-24七年级上•广东惠州•阶段练习）如果a+"c<0,那么b,c三个数中（）

A.有一个数必为0B.至少有一个负数C.有且只有一个负数D.至少有两个负数

题型2、有理数的加法运算

【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。

例I.（23-24七年级上•广东•课后作业）（-1）+（-2）的符号取号，（+8）+（-6）的符号取

号，（―8）+（-6）的符号取号.

例2.（23-24七年级上.广东佛山•阶段练习）计算：（1）（-2.2）+3.8；（2）卜：）+（-，.

变式I.（2023•山东滨州•模拟预测）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指

出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，图1

可列式计算为（+1）+（-1）=0,由此可推算图2中计算所得的结果为（）

D.-7

变式2.（2024•吉林松原•二模）比-2大5的数是（）

A.3B.-3C.7D.-7

变式3.（2023•河北石家庄•统考二模）若要等式2成立，中应填的运算符号是（）

A.+B.~C.xD.+

题型3、有理数加法的运算律

【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合

法一无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数：⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。

例I.（23-24七年级上.江苏宿迁.阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（）

A.(一8)+(-9)=(一9)+(-8)B.4+(-6)+3=(-6)+4+3

C.[5+(-2)]+4=[5+(同+2

例2.（2023七年级上•江苏•专题练习）利用运算律计算：

（1）1、-1.9）+3.6+（-10.1）+1.4；（2乂-7）+（+11）+（-13）+9；

3Rio?

⑶33+万+(-2.16)+9m+(4)49^4-(-78.21)+27^-+(-21.79).

例3.(23-24七年级上•河南郑州•期中)阅读下面文字:

31

+24+2不可以如下计算:

原式=-3+f--^-

+-1++2+二+

\iuI5J

=卜3)+(-1)+2+2]+

=0+_____

上面这种方法叫拆项法.

(2、3(5、1

⑴请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：-20241+2023-+-2022-+2021-.

I416)7

变式1.(23-24七年级上.山东淄博・期中)(—8)+11+(-2)+(-11)=(一8)+(-2)+口1+(-11)]=-10+0=70,

上面的计算所运用的运算律是()

A.交换律B.结合律

C.先用结合律，再用交换律D.先用交换律，再用结合律

变式2.(23-24七年级上.山东临沂.阶段练习)下列变形，运用加法运算律正确的是()

A.3+(-2)=2+3B.4+(-6)+3=(-6)+4+3

C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2D.^+(-1)+^+^=^+^+(+1)

变式3.(23-24七年级上•江苏连云港•阶段练习)计算

1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+---+2013+(-2014)+(-2015)+2016+2017+(-2018)=.

变式4.(2024.广东七年级课时练习)计算：

(1)(-3)+40+(-32)+(-8)(2)43+(-77)+27+(-43)

(3)18+(-16)+(-23)+16(4)(-3)+(+7)+4+3+(-5)+(-4)

⑹(-2?)+17工+(+12-^-)+(-4-j)

(5)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)

623236

题型4、有理数加法的实际应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的力法和技巧。

例I.（23-24七年级上.福建漳州.期末）王叔叔10月1日9：00微信零钱还有83.18元，下图是王叔叔10

月I日9：00至5日9：00的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月5日9：00扫

二维码付款给超市后的微信零钱为（）

账单

10月1日09：24微信转账+50.00

10月2日16：36扫码付款给肉食店-60.00

10月4日10：2（）微信红包+120.00

10月5日9：00扫码付款给超方-18.18

A.175B.175.36C.185D.210.36

例2.（23-24七年级上•河南郑州•期末）某口小明在一条南北方向的公路上跑步.他从A地出发，每隔lOmin

记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：in）：-1008,1100,-990,1010,-960,988.

（l）lh后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距离4地多远？

（2）小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？

例工（2。24•北京通州•一模）呆公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项，作.具体筹备JJ乍包含

以下内容（见下表）.其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的

前期工作.

工作代码工作名称持续时间（天）前期工作

4张贴海报、收集作品7无

B购买展览用品3无

C打扫展厅1无

D展厅装饰3C

E展位设计与布置3ABD

F展品布置2E

G宣传语与环境布置2ABD

H展前检查1FG

（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰”最短需要天;

（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要天.

变式1.（2023•湖北•七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“+”，低于

80分记为“一”，例如：78分记为“-2”，81分记为“+1”，将某小组五名同学的成绩简记为+10,-4,-7,+11,

0,则这五名同学的平均成绩应为

变式2.（2023・重庆•七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左

移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数-6对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数Y对齐的度数是

变式3.（23-24七年级上.江苏南通・期末）一天,王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为+1,

向下一层记为-I,电楼上下层数依次录如下（单位层）：+5、-2、+9、-7、+10、-5、-10.

（1）请问王女士最后在几层？（2）该大楼，每层高3m.电梯每上（或下）1m零耗电0.2千瓦时，请你计算，她

乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？

题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题）

【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。

例I.（23-24七年级上.广东深圳期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今

天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，

如图是另一个三阶幻方，则a-〃的值为（）

洛书三阶幻方

A.3B.4C.5D.7

例2.（23-24七年级上•江苏泰州・期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1,-2,

3,-4,5,-6,7,-8分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等,

他已经将-4、5、7、-8这四个数填入了圆圈，则图中〃的值为.

变式1.（23-24七年级上.安徽.期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将-3,2,-1,0,1,-2,3,

-4分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中一。分别表示一

个数，则△-©的值为（）

3

A.-4B.1C.T或4D.T或1

变式2.（23-24七年级上.山西临汾•期中）阅读下面材料，并完成相应任务.

幻方

相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书用现在的数字翻译出来，就

是三阶幻方.其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中

心数，且幻和恰好等于中心数的3倍.如图1,是由1,2,3,4,5,6,7,8,9所组成的一个三阶幻方，

（1）清在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；

（2）请将-3,5,7,9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方.

题型6、有理数加法的综合运用（新定义）

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，

要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分

为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查

考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与己学知识

联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

例I.（2023•河北石家庄•七年级统考期末）对于一个非整数的有理数x（x工〃+05〃为整数），我们规定:

⑴表示不大于x的最大整数，卜]表示不小于x的最小整数，"}表示最接近工的整数.例如，（3.14）=3,

[3.14]=4,{3.14}=3.则使3（旬+2国+{X}=20成立的x的取值范围为（）

A.3Vx<3.5B.3.5<x<4C.3Vx<4且xw3.5D.以上答案都不对

例2.（2022秋・北京通州•七年级统考期中）用符号[火可表示a,〃两个有理数中的较大的数，用符号（。/）

11（3、

表示。，匕两个有理数中的较小的数，则-1--+0,-5的值为.

-/」\乙）

112

变式I.（2022秋•重庆•七年级校考期中）对有理数〃、人定义新运算如下：必匕=-〃+,贝iJ（3A；；）△（-；）=

7b23

变式2.（2022・七年级单元测试）设区表示不超过x的最大整数，计算：[-2.3]+[6.5]=.

变式3.（2022.重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种

分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：[=:+；，则二写

123430

成两个埃及分数的和的形式为为二=.

培优精练

A组（能力提升）

1.（2023・四川乐山•七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（）

A.两个加数必须都为正数B.两个加数都为负数

C.两个加数中至少有一个正数D.两个加数必须一正，一负

2.（23-24七年级上.浙江・期末）计算：-5+4的结果是（）

A.-1B.-9C.1D.9

3.（2024.广东•二模）甲地的平均海拔为-30m,乙地的平均海拔比甲地高40m,乙地的平均海拔为（）

A.-10mB.10mC.-70mD.70m

4.（22-23七年级」：・河北石家庄•阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的

算等（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是（+21）+（-32）=-11

的计算过程，则图2表示的计算过程是（）

ffll

=I『H胃『Tl

图2

A.(+23)+(-!1)=12B.(-23)+(+11)=-12C.(-23)+(-11)=-12D.(-32)+(+11)=-21

5.（23-24七年级上♦河北邢台・期末）5+（-3）+12=5+12+（-3）是应用了（）

A.加法交换律B.加法结合律C.分配律D.移项

6.（23-24七年级上•河北廊坊•阶段练习）关于“三个有理数的和为0”这个话题，数学活动小组成员甲、乙、

丙、丁四位同学发表了下列看法：甲：这三个有理数可能都是0；乙：这三个数中最多有两个正数；丙：这

三个数中最少有两个数是负数；丁：这三个有理数是互为相反数.则正确的看法是（）

A.甲、乙、丙、丁B.甲、乙、丙C.甲、乙D.乙、丙、丁

7.（23-24七年级上•广西南宇・期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——

九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的

三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则〃处对应的数字是（）

C.4D.I

8.(2023秋•山东济宁•七年级统考期末)下列是运用有理数加法法则计算-5+2思考、计算过程的叙述:

①-5和2的绝对值分别为5和2：②-5的绝对值5较大；2的绝对值2较小

③-5+2是异号两数相加；④结果的绝对■值是用5-2得到；⑤计算结果为-3；

⑥结果的符号是取-5的符号一一负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序(只写序号)：

9.(2023・广东七年级期中)(1)若。>0,〃>(),c>0,贝iJa+〃+c0

(2)若b<0,c<0,贝iJa+/?+c0

?222

10.(23-24七年级上.重庆.阶段练习)用简便方法计算：9+99-+999-+9999-+99999-+4=________

JJ。

11.(2023七年级上•江苏•专题练习)计算：(1)(-23)+72+(-31)+(+47)：(2)(+1.25)+卜；)+卜§+(+百

12.(23-24七年级上•广东广州•阶段练习)计算

(1)|-3)+40+(-32)+(-8);⑵*+0+(+11)+(一8.25)；

(3)5.6+(—0.9)+4.4+(—8.1)+(—1)：(4)(—33)4-|-56|+|-44|4-(—^7).

13.(23-24七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下

400m,规定核潜艇上升记为“+”，下降记为“一”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：

-1(X),-25,3(),-28,-52,40,-8().(单位：m)

⑴最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？

（2）如果这艘核潜艇每上升或下降1m,核动力装置所提供的能量相当于15L汽油燃烧所产生的能量，那么在

这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？

B组（培优拓展）

1.[2023•山东•七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若二个观测点中测量每两个相邻的可视观测点

的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测最数据的部分记录（用4-C表示观测点

A相对观测点C的高度），根据这次测显的数据，可得观测点4相对观测点B的高度是（）

A-CC-DE-Dr-EG-FB-G

100米80米-60米50米-70米20米

A.一240米B.240米C.390米D.210米

2.（23-24七年级上.江苏南通・期末）如图，数轴上点48表示的数分别是a,b,且满足。+方=2,则下

列各式的值一定是正数的是（）

AB

-----1----------1------->

A.aB.bC.-aD.-b

3.（2023秋・浙江绍兴•七年级统考期末）如图，数轴上依次有A,P,B,Q,C五个点，其中A,B,C

三点所表示的数分别为c,且AP=PB=8Q=QC.如果有。+〃<0,〃+c<0,b+c>0,那么该

数轴原点。的位置应该在（）

APBQC

abc

A.点。在线段4尸（不包括端点）上B.点。在线段依（不包括端点）上

C.点。在线段BQ（不包括端点）上D.点O在线段QC（不包括端点）上

4.（23-24七年级上•江苏无锡・期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，

将-6,8,-1（）,12,-14,16,-18,20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈

内4个数字之和都相等，则〃+/?的值为（）

b

A.-28或-10B.-28或10C.2或-2D.2或-16

5.（23-24七年级上•福建厦门•期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一